高职微积分数学思想方法的教学策略实践研究

摘 要：本文以高职微积分的教学现状为基础，论述了微积分数学思想方法的起源和发展，总结了在高职院校微积分教学中的主要数学思想方法，研究了微积分教学中数学思想方法的教学策略、教学途径、教学价值，并以定积分的概念为例对微积分教学中主要数学思想方法进行了案例分析。通过以上研究指出在微积分教学中渗透数学思想方法的教学有助于学生形成辩证唯物主义思维方法，培养学生的抽象概括能力、逆向思维能力，提高学生对现实生活中客观现象的认知能力和培养踏实认真的工作态度。

关键词：微积分教学；数学思想方法；教学策略及途径

高职教育在大一阶段的數学课是就是微积分教学，其实学生在高中阶段已经学习过一部分导数等微积分知识，但是高中阶段学习的许多知识只是单纯地学习解题方式，有些知识强调其“然”，但不注重其“所以然”，所以在高职阶段的微积分教学并不是高中阶段知识的重复和难度加深，而是着重对微积分的思想方法进行深入系统地解读和数学分析。微积分学对人的思维方式和思维能力的训练都起着十分重要的作用，无论将来学生毕业后从事何种工作，微积分的数学思想方法都是不可或缺的。在高职数学教学中强化数学思想方法，能够为学生建立系统的数学知识体系，使学生形成完整的数学观念，指导学生思维创新，提升学生综合素质。

一、高职微积分的教学现状

高职院校的数学课程是“高等数学”，由于高职学生基础薄弱，学习能力比较弱，对于数学学习有畏难情绪，有部分职业学院的领导和教师认为职业教育就是注重动手能力，注重专业课的观点，对基础课教学不太重视，特别是数学课，由于学生期末不及格的人数较多，也使教师和学生都对在高职院校要不要开设“高等数学”课产生了疑虑，有的高职学院将数学课缩减课时等方式，让“高等数学”课成为在高职院校开设课程中变得可有可无，目前本人所在学院“高等数学”课程中只开设一个学期，基本是70学时左右。

二、微积分教学中主要的数学思想方法

（一）微积分数学思想方法的起源和发展

微积分的研究起源于西方研究，18世纪末以前，英国的数学家牛顿和德国的数学家莱布尼茨提出了无穷小量方法——微积分，奠定了微积分学的基础，是数学发展史上的一个伟大的发明，其思想方法一直影响到现在数学的发展；18世纪末到20世纪初：柯西、魏尔斯特拉斯、康托尔，在数学分析中提出了极限与集合论的思想方法，其代表人物是集合论的思想和数学公理化方法的运用，极大地推动了20世纪数学的发展。

我国很早就对极限的思想方法有较深入的研究和理解，古代数学家刘徽“割圆术”，这是极限思想方法的萌芽——圆周率，体现了极限的思想。通过以思想方法的分析来带动具体数学知识内容的教学，我们即可真正地做到把数学课“讲活”“讲懂”和“讲深”。

现代数学家郑毓信在《数学方法论》提出教师在数学教学中不仅应当使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生领会内在的思想方法。

（二）微积分教学中所体现的主要数学思想方法

在高职微积分数学课的教学中，主要着重介绍讲解的数学思想方法主要有函数思想方法、极限思想方法、类比思想方法、数形结合思想方法、化归思想方法、整体与局部思想方法、数学建模思想方法等。

三、微积分数学思想方法的教学策略

（一）根据学情，选编教材

高职学生学习基础薄弱，很多学生初中的知识都没学好，如果直接讲解微积分知识，会让学生听不懂，产生厌学情绪，因此学生成绩大部分不及格。这些都是客观事实，面对这样的情况，就要适当调整微积分的教学内容，现在微积分教材绝大部分都是本科的微积分教学内容，不适合高职学生，因此选编教材十分必要，在高职教学一线的教师应该根据多年的教学经验以及本学校学生的学情特点，编写适合高职学生的教学，在教材编写上应该充分体现微积分的数学思想方法，培养学生的逻辑思维能力，发散学生思维，提高学生的学习能力。

（二）挖掘提炼，系统讲解

有了蕴涵数学思想方法的教材，就要求我们一方面要充分挖掘、提炼隐含在教材中的数学思想方法，善于将教材中的数学思想方法凸现出来，以便学生领悟和体会；另一方面要把数学思想方法的教学纳入教学目标，做到有目的、有计划、有步骤地进行教学。如数形结合思想方法的教学，在讲解定积分的应用的时候，对于具体求面积的习题要让学生将图形画出来，直观理解需要求解哪一部分的面积，应该采用什么样的方法能更简便合理地把图形中的面积求出来；在讲解导数的概念时要充分提炼极限的数学思想方法，要让学生充分建立极限的思想，用极限的思想去理解无穷小、导数、积分等微积分的有关概念。这样教学，不但让学生理解了该概念，而且展现了这一概念形成的过程以及该概念定义的合理性与必然性，更重要的是将数学思想和方法的教学真正落到实处。

（三）综合把握，阶段渗透

数学教学是一个系统的、整体的教学过程，在教学中要有整体思想，综合把握微积分的数学思想方法，在不同的阶段，要以相应的方式讲到恰当的程度，把数学思想方法教学落实到每一个教学环节。高职学生在大一的时候讲一元函数的微积分，主要是讲函数的概念、极限和连续、导数和微分、导数的应用、不定积分和定积分以及定积分的应用等，当在讲函数的概念的时候就要重点讲解函数的思想内涵、运动变化的思想、讲解变量之间的关系、让学生建立数学建模的思想等；要讲解极限的时候要让学生通过中学阶段的数列极限进一步理解函数的极限、理解无穷小和无穷大、理解通过极限的思想方法可以让无限求解从近似到精确的思想精髓；导数和微分部分要继续理解极限思想、学会利用极限思想理解导数和微分的概念，理解导数的实质是求极限；讲解积分的时候要继续渗透极限思想、整体与局部思想、以直代曲思想。这样在每个不同的知识阶段有计划地阶段性渗透，使学生循序渐进，在潜移默化中对微积分思想方法理解和掌握。

（四）运用现代化技术，提高课堂教学效率

现代教育的发展，教育技术手段先进、信息量大、直观生动，教师在教学中有效地加以利用，会使得课堂教学更为直观、生动、有趣。高职数学课属于基础课，与专业课相比更抽象难懂，采用多媒体技术，可以吸引学生的注意力，提高学生的学习积极性。如我们在讲解定积分概念的时候对于曲边梯形面积的求法，就可以采用动画演示，表现“无限细分”“近似替代”“无限累加”，对于极限以刘徽的“割圆术”为例，通过动画直观展示，充分理解由“无限”到“有限”，由“近似”到“精确”的思想精髓。

四、微积分中数学思想方法的教学价值

（一）完善认知结构

认知结构是学生头脑中的知识结构，按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、思维等，形成一个具有内部规律的知识结构。数学学习过程是一个数学认知的过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。

良好的数学知识结构不只是取决于知识点的数量多寡，更为重要的是知识的联系和组织方式，是结构排列的层次性和有序性，数学思想方法能够优化这种组织方式，促进各部分数学知识的融合，成为数学知识结构的核心和灵魂。

我们在讲解导数的时候，要深入挖掘其思想内涵，让学生理解运动和静止的辩证统一、“匀速”代替“变速”的思想方法、“无限趋近”的涵义，这样就在学生心中形成了一种新的认知结构，完成由常量数学到变量数学的学习思维的转变，可见微积分数学思想方法的教学对优化、发展、完善学习者的数学认知结构有着十分重要的影响，为以后的高等数学的学习打下基础。

（二）引导学生学习的迁移

迁移是一种学习对另一种学习的作用和影响，它是学习中的普遍现象，我们所讲的迁移是一种对学生起到积极作用的正迁移，也就是我们平时所说的“由此及彼”“举一反三”。微积分中教学目的不是只是教会学生如何解题，重要的还是引导学生学会学习的迁移，学习迁移包括两个方面的迁移，一个是对以后数学学习的迁移，一个是非数学领域的迁移。

我们在讲函数的连续的时候，尽管这部分内容对于学生的考试并不是重点内容，但是这部分内容起到了一个承上启下的作用，我们要让学生形成连续的认知结构，迁移到学习到导数概念，连续函数、中值定理等数学定理和公式，同时对于连续概念的理解也让学生在工作和学习中坚定信心、持之以恒，应对各种困难和挑战。

（三）促进思维的发展

在学习微积分的过程中形成的数学思维一般有抽象概括思维、逆向思维、类比思维、一般与特殊思维等，数学思维的训练对改善思维能力、掌握思维方法都是比较重要的，数学是思维训练的一个主要通道，一个人如果数学思维能力比较高，那么他在其他方面如物理、天文甚至是哲学等方面都会有较高的理解能力，对于培养学生的创造性思维是一个突破口。

历史上数学家的创造性的数学思维推进了科学的发展，牛顿以“匀速”代替“变速”的思维解决了变速运动的瞬时速度，从物理方面发明了微积分，德国数学家莱布尼茨以“以直代曲”的思维从几何方面发明了微积分，微积分的发明在数学史上具有跨时代的伟大意义，两位数学家以数学思想方法传导着数学精神，极大地推进了现代科学的发展和进步。

（四）培养学生辩证唯物主义的世界观和方法论

我们现在提倡课程思政教学，对于数学课的思政教学，不能简单地为了思政而思政，不能在教学中将思政内容简单插入课堂教学中，这样的教学显得突兀、与学生有距离，应该在数学思想方法的基础上，有机融入教学。微积分所体现的数学思想方法就已经体现了抽象概括能力、辩证唯物主义的思想，如在讲导数的时候，其中所体现的函数的思想就体现了运动和静止的辩证统一关系，在讲复合函数的时候体现的整体和局部的思想就体现了看问题的时候要由表及里、层层递进的思想。在讲定积分的时候其中所体现的无限细分的思想方法，可以告诉学生在工作中如果遇到一个复杂的问题就可以把大问题分解成小问题，逐个求解。因此一个人的数学能力比较强的时候，在工作和生活中就会自然而然地应用数学思维解决生活中和工作中的疑难问题。

五、微积分教学中主要数学思想方法解析实例（以定积分的概念为例）

定积分的概念是微积分教学中一个比较重要的章节内容，在微积分发明的时候先从求解运动路程函数和不规则图形的面积发明了定积分，进而发明了微积分，因此定积分中所体现的数学思想方法对领悟微积分的思想内涵具有重要的意义。具体解析如下：

（一）两个实例演示，一个是曲边梯形的面积，一个是变速直线运动的路程

通过上述两个实例的教学活动可以得出他们的共同特征：

（1）都通过“四部曲”——分割、近似替代、求和、取极限来解决问题。

（2）都归结为求同一种类型的和式∑ni=1f（ξi）Δxi的极限问题。

（3）解决问题的思想方法相同——在局部小范围内“以直代曲”“以不变代变”和“逼近”的思想。

这种以直代曲、抽象概括、化整为零、由繁化简、由难化易，也可以培养学生抽象概括能力和严谨的科学精神和工作态度。

把这些问题从具体的问题中抽象出来可以给定积分的定义。

（二）定义解析：定义的讲解中蕴涵着数形结合思想方法、极限的思想方法、矛盾转化的思想方法

让学生体会到事物的发展变化由量变可以到质变、从有限可以到无限，由近似可以到精确的数学哲学思想。学习这种矛盾转化和无限变化的观点有助于学生由常量数学的学习发展到变量数学的学习。

（三）定积分的几何意义解析：结合上述曲边梯形的面积及定义得到定积分的几何意义

本段内容体现了数形结合的思想方法，学生通过直观图形可以直接得出结果，培养学生在实际生活中的观察能力和形象思维能力。

（四）小结：定积分的思想方法归纳

（1）定积分的实质：特殊和式的极限；

（2）定积分的思想和方法。

结语

微积分的教学尽管是高职课程的一门基础课，但其中所体现的思想方法有助于学生对“高等数学”课程的学习及专业课的学习，有助于学生形成辩证唯物主义思维方法，有助于培养学生的抽象概括能力、逆向思维能力，同时也提高了学生对现实生活中客观现象的认知。对学生今后的工作和学习都将产生深远的影响。

参考文献：

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基金项目：辽宁省职业技术教育学会科研规划项目《高职微积分教学中数学思想方法的研究与实践》（项目编号：LZY22192）

作者简介：张玲（1970— ），女，汉族，吉林德惠人，硕士，副教授，教师，研究方向：统计学。