运用GeoGebra软件提升高中生数学建模素养的研究

摘 要：GeoGebra是由数学教授Markus Hohenwarter设计的一款动态数学教学软件，具有几何、代数、统计等多种教学功能，在中小学数学教学中得到了广泛运用。建模素养是高中数学核心素养之一，教师要用多种方式提升学生的数学建模素养。从GeoGebra软件的优势与功能入手，分析运用GeoGebra软件辅助提升高中生数学建模素养的基本原则与教学策略。

关键词：GeoGebra软件；高中数学；建模素养

作者简介：廖昕（1990—），女，甘肃省兰州市第三中学。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模纳入数学学科核心素养，细化了实施建模活动的具体要求，包括实施课时、评价体系、教材编写建议。GeoGebra是一款集计算、绘图、动态演示等功能于一体的数学软件，本文结合课题实践，就如何运用GeoGebra软件提升高中生数学建模素养展开研究。

一、GeoGebra的优势与功能

（一）GeoGebra的教学优势

GeoGebra软件运用于高中数学教学的优势主要体现在数形结合、操作简便、开源性强和兼容性强四个方面。就数形结合而言，运用GeoGebra的数形结合优势，既能精确绘制各种几何图形、自动执行数值计算和函数微积分等运算，又支持图表分析和数据可视化，使学生能以直观的方式理解和解决数学问题。就操作简便性而言，GeoGebra界面设计简洁明了，功能清晰易懂，采用了中文命令支持和操作提示，使学生更容易上手和掌握操作技巧。就开源性而言，任何人都可下载并修改GeoGebra的源代码，促进了软件的持续发展，用户可根据实际需求灵活地选择和运用多元的软件功能和丰富的教学资源。就兼容性而言，GeoGebra支持多个平台和操作系统，便于多平台、跨终端操作，突破了时间与地域限制。

（二）GeoGebra的教学功能

1.动态演示功能

为培养学生建模素养，教师应结合具体的数学建模内容，有针对性地运用GeoGebra软件的动态演示功能。

以二次函数模型的构建为例，运用GeoGebra软件的动态演示功能时，为了直观展示二次函数模型建构过程，帮助学生理解和掌握二次函数模型的性质，教师按照下列流程进行动态演示：导入GeoGebra→输入二次函数表达式→定义常数→生成图像→动态演示。在导入时，打开GeoGebra软件，在顶部菜单栏中点击“文件”下拉菜单，选择“新建”，创建新的GeoGebra工作区。输入二次函数表达式时，在GeoGebra的输入框输入二次函数的一般形式：f（x）=ax2+bx+c。其中，a、b、c为常数，即二次函数系数。在定义常数时，在GeoGebra界面点击“脚本”标签页，选择“定义常量”选项，此处定义3个常数：a=2、b=3、c=1。生成图像时，在GeoGebra的输入框中输入命令graph（ f（x），x），生成二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象，即f（x）=2x2+3x+1。动态演示时，通过改变参数的值，实现函数图象的动态变化。例如，在GeoGebra的输入框输入命令Slider（a，-5）、Slider（b，35）、Slider（c，-13）后，界面下方生成3个可以动态改变a、b、c的值的滑动条。随着滑动条移动，二次函数图象实时更新以反映新的参数值。GeoGebra动态演示功能的优势之一在于能使学生实时观察函数图象变化情况，具体详见图1。

2.人机交互功能

在动态演示的基础上，可以运用GeoGebra的人机交互功能，观察参数a、b、c的变化对二次函数图象的影响以及认识二次函数的性质。在GeoGebra软件界面移动滑动条a，观察函数图象如何从向上开口变为向下开口；移动滑动条b，观察图象在对称轴上的变化；改变c的值，观察图象如何上下移动，深入理解二次函數的性质和特征。学生通过GeoGebra的交互功能，能够自主探索参数改变对二次函数图象的影响，而教师借助GeoGebra的实时反馈功能，可以了解学生的知识掌握情况，及时调整教学策略。

运用GeoGebra解决问题的教学策略，旨在引导学生积极参与学习，提高学生的自主学习能力和问题解决能力，教师则能及时掌握学生的学习情况和需求，在潜移默化中培养学生数学建模素养。

3.概率统计功能

除上述功能外，GeoGebra软件还有概率统计功能。运用GeoGebra进行概率统计的基本流程如下。

第一步，定义数据。为了统计某组数据的概率分布，在这里定义一组随机数作为数据：在GeoGebra的输入框中，输入命令Random（100），该命令将生成一组范围在1到100之间的随机整数。第二步，统计概率，如统计这组随机数据中小于或等于50的数的个数。在GeoGebra的输入框中，输入命令Count（f（x）≤50）可以统计数据中小于或等于50的数的个数，输入命令Count（f（x））可以输出这组随机数据的总数，输入命令Proportion（f（x）≤50）可以统计小于等于50的数的出现概率。第三步，计算平均值和标准差。在GeoGebra输入框中输入命令Mean（f（x）），可以计算这组数据平均值，输入命令Standard Deviation（f（x））可以计算该组数据的标准差。第四步，绘制这组数据的直方图。在GeoGebra的输入框中，输入命令Histogram（f（x），20），可绘制20个分组的直方图。第五步，计算中位数和四分位数。在GeoGebra的输入框中输入命令Mean（f（x））可计算这组数据的中位数，输入命令Quartile（f（x））可计算这组数据的四分位数。

GeoGebra的概率统计功能能够直观展示概率与统计的基本概念和方法，帮助学生理解和掌握相关概念，进一步培养学生的数学建模素养［1］。

二、GeoGebra软件运用的基本原则

（一）主体性原则

在培养数学建模素养的过程中，学生是学习的主体。教师要引导学生主动参与课堂活动，帮助学生理解和掌握数学知识，提升数学建模素养。例如，在学习指数函数时，教师首先出示指数函数的一般形式y=ax（a＞0且a≠1），其中x是自变量，y是因变量，再出示y=2x和y=3x的图象。其次，为了引导学生探究指数函数的图象和性质，让学生利用GeoGebra软件自主绘制指数函数图象，并观察图象的特点，归纳指数函数的性质。最后让学生开展小组合作交流，列出指数函数的例子，尝试描述指数函数的特征。

（二）因材施教原则

这一原则要求教师根据学生的实际情况展开教学。例如，将学生分为学习挑战者、学习探索者、学习领导者三种类型。学习挑战者运用GeoGebra自主绘制指数函数的图象，加深对指数函数的概念和性质的理解；学习探索者运用GeoGebra解决一些难度稍高的例题，培养解题能力；学习领导者运用GeoGebra研究和解决一些实际问题，提高应用能力。

（三）有效性原则

有效性原则指结合学情，加强对GeoGebra软件的实践应用，为学生培养数学建模素养提供有效支撑。例如，为了理解指数函数的性质，教师除了介绍指数函数的概念和基本形式y=ax（a>0且a≠1），还要展示输入函数表达式、绘制函数图象等GeoGebra软件的操作方法，引导学生利用GeoGebra自主探究y=ax的图象和性质，比如分析当a>1和当0

三、GeoGebra软件运用策略

为提升学生的数学建模素养，本文以湘教版高中数学第一册中指数函数的相关教学内容为例，分析如何帮助学生通过建立函数模型来解决实际问题。

（一）精心计划

基于函数模型解决实际问题的教学，旨在提升学生的数学建模能力，使其形成良好的建模素养。在计划阶段，教师应高度重视学情分析，因为学生通过前期学习，已经具备了一定的知识基础和数学建模素养，具有较强的协作意识，但是结合现实情境进行自主建模的能力还有待加强。为引导学生运用GeoGebra软件掌握数学建模的知识与技能，学会如何将实际问题转化为数学问题，教师可以采取小组合作的方式，使学生感受数学建模的一般流程，深化学生对数学知识的理解，增强其抽象概括能力。

例如，明确探究活动主题：构建指数函数模型，了解茶水水温随时间变化的规律，为泡茶爱好者提供关于泡茶最佳时长的建议。

教学目标：理解指数函数在实际问题中的应用方法，增强数据分析和处理能力，培养抽象概括能力，提高数学建模实践水平。

制订数学建模活动计划如下：（1）数据收集与整理。通过查阅相关资料或咨询专业人士，搜集泡茶热水的初始温度、最佳泡茶温度、泡茶时长等数据，并对收集到的数据进行筛选和处理，确保数据的准确性和有效性。（2）建立模型与数据拟合。根据泡茶水温度随时间变化的规律，选择合适的指数函数模型进行拟合，并使用GeoGebra的函数图象工具进行图象绘制。将收集到的数据导入GeoGebra软件，然后对模型进行拟合，调整初始温度和降温速率，使图象与数据尽可能接近。（3）计算和分析数据。根据拟合结果，计算出最佳泡茶时长，探究泡茶最佳时长与初始温度、降温速率等因素之间的关系［3］。

（二）积极行动

仍以“茶水水温随时间变化的规律”的探究活动为例，运用GeoGebra软件进行建模教学的过程如下：根据活动计划，给学生布置课前任务，让学生结合日常生活中的泡茶场景，观察泡茶时茶水温度随时间变化的情况，利用秒表、温度计等工具收集有关数据。比如，将茶水刚泡好的时间记为0時，在一定时间间隔后记录茶水水温，如每隔一分钟记录一次。基于此，教师提出引导问题：用85℃的热水泡制茶水，当茶水温度下降到60℃时的饮用口感最佳，那么在25℃的室温下，刚泡制好的茶水需要放置多久才能获得最佳饮用口感？

为了解决这一引导问题，学生按照以下步骤建立模型进行求解。

步骤1：采取分组交流的方式分析数据，运用GeoGebra绘制针对上述实际问题的散点图（如图2所示）。

步骤2：结合函数知识进行建模，每个小组派出代表展示本组所建模型，教师引导学生思考和讨论如何选出最贴切的数学模型，以及应采用什么解析式来说明茶水温度的变化，从而达到用数学语言描述变化规律的目的。

步骤3：学生对每个小组所建模型进行讨论后，提出本组的看法，最终选定的数学模型为：y=kax+25（k∈R，0

步骤4：进入拓展交流环节，学生思考如何验证所得函数模型与茶水温度随时间变化规律是否相符，检验模型的完善性。在讨论中，有的学生认为可以用GeoGebra画出模型的函数图像，与之前的散点图进行对比，即通过几何法判断；有的学生认为可以代入其他数据，对比计算所得y值与实际情况是否相符，采用代数法检验模型吻合度。

步骤5：设置课后探究内容，学生结合学习过程开展数学建模活动。例如，开展“乒乓球下落高度与第一次反弹高度间的关系”的课后探究活动，学生认真记录实验过程，在墙上量取10 cm、20 cm、30 cm……140 cm、150 cm，做好标记，分别让乒乓球从相应位置自由下落，记录其第一次回弹高度。学生在数学建模报告中体现乒乓球下落高度、第一次回弹高度、反弹比例等要素，达到进一步培养建模素养的目的［4］。

（三）观察探究

在观察探究環节，学生需要经历观察现实情境、建立模型与求解、模型检验与完善三个阶段。教师应当根据学生的研究课题，引导学生进行观察与探究。

以“乒乓球下落高度及其第一次反弹高度间的关系”的建模活动为例，在观察现实情境阶段，教师先让学生亲自开展实验活动，观察乒乓球下落和反弹的过程，记录有关数据。接着，引导学生思考乒乓球下落高度和反弹高度之间是否存在某种函数关系，并提出问题，例如：“乒乓球下落和反弹的高度是否相等？”“乒乓球反弹的高度是否与其下落高度有关？”

在建立模型与求解阶段，教师定义乒乓球下落高度为h，反弹高度为b，让学生运用GeoGebra软件建立数学模型来描述乒乓球下落高度和反弹高度之间的关系，并利用公式或函数来表示这种关系。学生利用先前的实验数据来分析乒乓球下落和反弹高度之间的关系，根据数据分析结果来求模型的解，得出反弹高度的表达式或比例关系。

在模型检验与完善阶段，教师先要求学生根据实际情况对所建立的模型进行验证，比较模型预测结果与实际数据的差异，分析原因并进行修正。再提供一些与乒乓球下落和反弹高度关系相关的探究内容，例如研究不同材质的乒乓球的下落和反弹效果、探究乒乓球下落和反弹过程中的能量转化等，让学生进行拓展学习。最后，让学生对整个观察探究过程进行总结和评价，思考自己的表现和收获，找出自己在解决问题过程中需要提高的地方［5］。

结语

综上所述，GeoGebra软件具有数形结合功能强大、操作简便易学、开源性强和资源丰富等优势，是培养高中生数学建模素养的有效工具。教师在利用GeoGebra软件辅助教学时，既要加强对教学内容和学生学情的分析，以确定教学目标与重难点，又要积极推送学习资源，为营造良好的学习环境提供资源支撑，通过交互探究和学习实践提升学生的实践能力与数学建模素养。

［参考文献］

韩晓娟.新课改背景下基于GeoGebra软件的高中生空间想象能力培养策略［J］.甘肃教育研究，2023（8）：133-135.

胡硕芳.基于数学建模素养的高中函数教学设计研究［D］.重庆：西南大学，2023.

凌翔.GeoGebra软件辅助高中数学教学的实践研究［D］.阜阳：阜阳师范大学，2023.

陈丁怡.基于GeoGebra培养高中生数学核心素养的立体几何教学实践研究［D］.重庆：西南大学，2023.

刘建玉.基于GeoGebra高中生直观想象素养的培养策略研究［D］.阜阳：阜阳师范大学，2023.