一道高中力学题的十种解法

李红伟 姜付锦

摘 要：本文通过对高中力学一道题展开分析与研究，发现了十种不同的解法，从而拓展了学生的思维，将数学与物理知识融会贯通，提升了学生的关键能力.

关键词：匀速运动；拉力最小值；数形结合

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0121-03

高中物理力学中有一类问题很有趣——极值问题[1-2]，这类问题与高中数学联系非常紧密.解决这类问题通常是两类方法，一类是解析法，所用的思想是三角函数、不等式、判别式等思想；另一类是图解法，所用的思想基本上是点到直线垂线的距离最短[3-4].这些思想与方法若用熟练后，还可以融会贯通到其他章节中使用，这也印证了物理学一种说法：千题万题源自母题，千变万变方法不变.

1 题目

如图1所示，物体与水平面之间的摩擦因数为μ，物体的质量为m，为了使物体在水平面上做匀速直线运动，则拉力的最小值是多少？

2 解析

2.1 方法一： 积化和差，方显物理的数学本质

设拉力为F，拉力与水平面的夹角为θ，对物体进行受力分析后，得

上式中的分子为一个定值，只要能求出分母的极值就可以得到拉力的最小值.

2.2 方法二：矢量三角形，尽显平面几何的魅力

如图2所示，可以将地面的支持力与摩擦力合成为一个力，它与竖直方向的夹角为α，则tanα=μ.三物体受到的三个力的矢量可以组成一个闭合的矢量三角形，再根据点到直线垂线段最短，可以得

2.3 方法三：判别式法，体现代数的无穷能力

设cosθ+μsinθ=a，则化简消去cosθ得

（1+μ2）sin2θ-2aμsinθ+a2-1=0

因为sinθ有解，所以上面的等式中的Δ≥0，可以求得（2aμ）2-4（1+μ2）（a2-1）≥0，

整理后得

2.4 方法四：柯西不等式，具有深入浅出的能力

2.5 方法五：向量点乘，也可以化腐朽为神奇

上式中的α为两个向量的夹角，当且仅当它们夹角为零时，向量积有最大值，即

2.6 方法六：函数求导，让复杂的问题简单化

将cosθ+μsinθ对角度求导并使其为零，则

2.7 方法七：勾股定理，也可以另辟蹊径

如图4所示，构造下面的直角梯形ABED，取∠ACD=θ，AC=1，BC=μ，則AG=cosθ+μsinθ

2.8 方法八：构造对偶式，柳暗花明又一村

令a=cosθ+μsinθ，其对偶式为b=sinθ-μcosθ

将这两个式子的平方相加得：

a2+b2=1+μ2

2.9 方法九：线性规划，也可以妙笔生花

如图5所示，令圆和直线分析为，x2+y2=1，z=x+μy=cosθ+μsinθ，则

当直线z=x+μy平移到与圆相切时最大，根据点到直线距离求出

所以拉力的最小值为

2.10 方法十：极坐标方程，完美再现解析几何的威力

当ρ2有最大值时，ρcosθ+μρsinθ最大， 即cosθ+μsinθ=ρ有最大值.

ρ2=x2+y2即圆上点到原点的距离.

3 两道例题

下面通过两道例题来展示这道母题的特点与规律.

例1 如图7所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值．

例2 如图8（a）所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图8（b），若让该小物块从木板的底端每次均以大小相等的初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.

（1）求小物块与木板间的动摩擦因数；

（2）当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值.

4  结束语

通过以上十种方法的分析不难发现，在物理题目中处理极值问题时，方法基本都是数学中的常见的知识，平面几何、解析几何、向量法、判别式法、不等式法都是用武之地，就是线性规划也能有精彩的分析.这样的分析方法不仅体现了物理学科数学本质，也充分证明了数学思想的多样性和灵活性.

参考文献：

［1］王志良.刍议物理极值问题中常用的数学方法[J].中学物理，2022，40（09）：43-47.

[2] 汪俊，叶玉琴.例析数学知识在中学物理极值问题中的应用[J].湖南中学物理，2019，34（08）：88-90.

[3] 魏谦.高中物理中的极值问题[J].中学生数理化，2018（11）：47-48.

[4] 竺斌.高中物理极值问题的物理求解方法[J].物理教师，2018，39（10）：68-70.