高中数学函数与导数的三种解题技巧

张家权

摘 要：文章以高中数学函数与导数的教学模块为例，对函数与导数的三种解题技巧进行详细分析，让学生能够在更加多元化的教学体系建设下获得更加全面的核心素养发展.

关键词：高中数学；函数与导数；解题技巧；应用探究

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0062-03

关于函数的相关知识内容在初中阶段就有过一定的教学，在高中阶段会以初中内容为基础，为学生提供更加详细和深入的教学.同时，在新高考环境下对于函数值与导数的相关知识教学重点也有了一定的变化，新老高考对于函数与导数模块的考法和测验内容存在一定的差异，同时也具备一些相同点[1].因此在当下的高中数学教学中，必须充分结合新课标以及新高考的教学需求和特点，针对性地解决函数与导数模块教学所存在的问题，让学生能够充分掌握本模块的知识内容以及解题技巧，从而彰显新课标和新高考背景下的教育改革实效.

1 常见的辅助函数构建方式

1.1 结合积、商函数求导法则构建函数

（2）关于不等式f ′（x）k（x）+f（x）k′（x）＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=f（x）k（x）.

1.2 结合差、和函数求导法则构建函数

（1）关于不等式f ′（x）-k′（x）＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=f（x）-k（x）.

（2）关于不等式f ′（x）+k′（x）＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=f（x）+k（x）.

（3）关于不等式f ′（x）＜a（或者＞a）（a≠0），可以构建辅助函数F（x）=f（x）-ax.

1.3 结合积、商函数求导法则的特殊情况构建函数

（2）关于不等式xf ′（x）+f（x）＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=xf（x）.

（4）关于不等式xf ′（x）+af（x）＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=xaf（x）.

（6）关于不等式f ′（x）+f（x）＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=exf（x）.

（7）关于不等式f（x）-f ′（x）tanx＜0（或者＞

（8）关于不等式f（x）+f ′（x）tanx＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=sin x f（x）.

（10）关于不等式f ′（x）-f（x）tanx＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=cosxf（x）.

（12）（理）关于不等式f ′（x）+af（x）＜0（或者＞0），可以构建辅助函数F（x）=eaxf（x）.

2 构建具体函数进行解题

面对函数与导数相关问题时，一般会将题目中所给的函数解析式直接代入，然后求出不等式的解集.如果在此过程中发现无法求出解集，或者是求解过程过于困难，那么就可以把解题思路放在构建一个新函数的方向上.

例1 已知f ′（x）为偶函数f（x）（x≠0）的导函数，在x∈（0，+∞）时，xf ′（x）-2f（x）＞0，那么不等式4f（x+2 021）-（x+2 021）2f（-2）＜0的解集是.

解析 根据题目可知xf ′（x）-2f（x）>0（x>0）.

因此x2f ′（x）-2xf（x）>0.

因为4f（x+2 021）-（x+2 021）2f（-2）<0，

因此F（x+2 021）

所以当x∈（0，+∞）时，F′（x）>0.

因此F′（x）在（0，+∞）单调递增.

所以|x+2 021|<2，可得-2 023

又因为x+2 021≠0，因此x≠-2 021.

故x∈（-2 023，-2 021）∪（-2 021，-2 019）.

设k（x）=exf（x），则k（-x）=k（x）.

由于当x<0时，f ′（x）+f（x）>0，可得

k′（x）=ex[f ′（x）+f（x）]>0.

因此函数k（x）在（-∞，0]上单调递增，在

[0，+∞）上单调递减.

由于ecf（2c+1）≥f（c+1），可得

e2c+1f（2c+1）≥ec+1f（c+1）.

所以k（2c+1）≥k（c+1），|2c+1|≤|c+1|.

3 构建抽象函数进行解题

结合题目所给出的条件构建出一个新的辅助函数，这是我们在解答函数与导数相关问题时所应用的一种最为关键的技巧.在题干中已经告知了一些方程、最值或者是与导数相关的讯息时，就需要以此为基础构建出目标函数，同时要拟定变量的限制条件.随后对函数最值、单调性等条件进行分析，以此来理清解题思路.

例3 定义在R上的函数f（x）满足e4（x+1）f（x+2）=f（-x），同时对任意的x≥1都有f ′（x）+2f（x）>0，（f ′（x）是f（x）的导数），那么下面的叙述中正确的一项为（  ）.

A.e6f（3）>f（-1）

B.e4f（2）>f（0）

C.e2f（3）>f（2）

D.e10f（3）>f（-2）

解析 設F（x）=e2xf（x），可得

F′（x）=2e2xf（x）+e2xf ′（x）=e2x[2f（x）+f ′（x）].

已知f（x）对任意的x≥1都有f ′（x）+2f（x）>0，

所以F′（x）>0，那么F（x）在[1，∞）上单调递增.

F（x+2）=e2（x+2）f（x+2），F（-x）=e-2xf（-x）.

由于e4（x+1）f（x+2）=f（-x），因此e2xe2（x+2）·f（x+2）=f（-x），且e2（x+2）f（x+2）=e-2xf（-x）.

所以F（x+2）=F（-x）.

可得F（x）關于x=1对称.

因此F（-2）=F（4）.

又因为F（x）在[1，+∞）上单调递增，因此F（3）

所以e6f（3）

也就是说e10f（3）

因为F（3）=F（-1），F（0）=F（2），因此选项A，B也都不对；

因为F（3）>F（2），所以e2f（3）>f（2），故选C.

4 抽象问题具体化

解答函数与导数相关问题时，必须要对函数的单调性和奇偶性做出充分的认知，这些知识贯穿了整个高中数学的教学.因此在解答此类问题时，必须熟练掌握不同表达形式的函数单调性、奇偶性，在解题过程中充分发掘其内在关联，找到问题的本质，将抽象问题具体化.

3）在x∈[1，3]上恒成立，那么实数a的取值范围为.

解析 根据题目可得f（x）是偶函数，同时在[0，+∞）单调递减.

5 结束语

总的来说，求解函数与导数相关题型的过程中，会涉及较多的抽象函数问题，许多学生因此降低了答题效率和正确性.但是在面对函数与导数类的问题时，只要能够按照题目所给的函数与导数关系式，联想导数的运算法则，然后以构造辅助函数为基础，通过导数判断其单调性，就能够迅速解出这类函数与导数的题目[2].

参考文献：

［1］杨晔. 高中数学函数与导数解题研究[D].昆明：云南师范大学，2022.

[2] 赵如国.导数在高中数学函数中的解题应用分析[J].高考，2018（07）：88.