合理布局图象 严密代数推理

唐宜钟

摘 要：对一道多参量二次函数的绝对值在给定区间内最大值的最小值的解法进行了探究，并通过类比对三次函数和无对称性函数的相关问题进行了探究.给出了高位知识和解法感悟：合理布局函数图象，严密代数推理.

关键词：对称性；最大值的最小值；函数图象

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0038-07

函数是数学重要的载体之一，而函数图象和性质从不同的方面描述函数.在较为复杂的函数问题中，需合理布局图象，严密代数推理，综合调度，才能有效解决问题.

1 题目呈现

引例 已知函数f（x）=x2+px+q，对p，q∈R，总x0∈［1，5］，使fx0≥m成立，则m的取值范围是.

该题以二次函数的绝对值函数为背景，里面涉及p，q，x0，m四个未知量，同时存在全称量词和特称量词.题目叙述看似简洁，但限定条件众多，且每个条件都需合理转化.具体说来，可做如下转化：①x0∈1，5，fx0≥m成立，即m≤f（x）max.②对p，q∈R，m≤f（x）max，即选取适当的p，q，使得m≤f（x）maxmin.③f（x）=x2+px+q，x∈［1，5］，即将g（x）=x2+px+q在y轴下方的图象翻折到上方.要解决本题，一方面需要合理布局函数图象.f（x）=x2+px+q的最大值可能取得的三个点为左右端点和顶点，问题处理的核心就是布局这三个点.另一方面，题目中涉及存在、任意、大于等于等诸多要求，故极易在解答过程中借助图象进行想当然地描述，而弱化了代数推理.笔者尝试以图象的布局为突破口，对问题进行了探索.

2 解法探究

探究1 取特殊值探究图象.

为方便叙述，记g（x）=x2+px+q.考虑到p，q的任意性，取特殊值.当p=0时，f（x）=x2+q，需f（x）的最大值取得最小值.由g（x）的单调性和绝对值的性质，需g（5）和g（1）的值互为相反数.g（5）>0，g（1）<0，g（5）=-g（1）.则25+q=-1-q，即q=-13.此时f（x）maxmin=|g（5）|=12.

由以上探究可知，不同的p，q会对应不同的最值，要求得f（x）maxmin，（p，q）应为某组特值，不可直接特殊化p或q计算.另外，f（x）还有以下可能的七种情形：

①g（5）>0，g（1）<0，g（5）=-g（1）；

②g（5）<0，g（1）>0，g（5）=-g（1）.

即p∈（-10，-2）时，

探究2 图象的七种情形.

25+5p+q=-（1+p+q）.

得q=-3p-13.

所以f（x）maxmin=|g（1）|=|1+p+q|=|1+p-3p-13|=|-2p-12|，当p=-2或p=-10时，f（x）maxmin=8.

25+5p+q=1+p+q.

则p=-6.

f（1）=f（5）=|-5+q|.

即9-q=-5+q，則q=7，f（x）maxmin=2.

故p=-2时，即对称轴为x=1时取得最值.

归结至p≥-2时的情形，有f（x）maxmin=8.

探究3 解法优化与结论推广.

通过以上探究不难发现，对于二次函数，在区间长度固定的情况下，只需对称轴取区间中点，且两端点及对称轴处等值时，就能取得f（x）maxmin.换言之，将抛物线平移至y轴为对称轴时，不影响f（x）maxmin的取值.故本题同解于对函数f（x）=x2+q′，x∈［-2，2］时，任取q′，求f（x）maxmin.即f（-2）=f（2）=f（0），即4+q′=-q′，即q′=-2，故f（x）maxmin=2.

推广 函数f（x）=x2+px+q对p，q∈R，x∈［m，m+2n］（n>0）时，f（x）maxmin的值与函数f（x）=x2+q′对q′∈R，x∈［-n，n］时，f（x）maxmin的值相同.

由f（-n）=f（n）=f（0），得

探究4 三次函数.

简证 记A（m，f（x2）），B（x1，f（x1）），M（x0，f（x0）），C（x2，f（x2）），D（n，f（x1））.

由f ′（x）=3ax2+2bx+c，得f ″（x）=6ax+2b.

令f ′（x）=0，其两根为x1，x2，则

则2x1+n=x1+x0+x2.

即x1+n=x0+x2.

即x1，x0，x2，n成等差数列.

同理，m，x1，x0，x2也成等差数列.

故m，x1，x0，x2，n成等差数列.

类似地，对于三次函数，利用其对称性和等差性，合理布局图象，就可以求得f（x）maxmin.

例1 设函数f（x）=|x3-6x2+ax+b|.若对任意的实数a和b，总存在x0∈［0，3］，使fx0≥m成立，则m的取值范围是.

解析 令g（x）=x3-6x2+ax+b，由g′（x）=3x2-12x+a，g″（x）=6x-12=0，得x=2.

即g（x）的对称中心为（2，g（2））.

由三次函数图象特征，需g（2）=0，g（3）=

g（0）<0（g（1）=-g（3）>0）时，f（x）maxmin=f（3）=f（1）=f（0）.

由f（2）=2a+b-16=0，f（1）=f（0），即

a+b-5=-b.

则a=9，b=-2.

此时，f（x）maxmin=f（0）=2，故m≤2.

探究5 无对称性函数.

例2 设函数f（x）=（x-1）lnx+ax+b，a，b∈R，总存在x0∈［1，e］，使得不等式f（x0）≥m成立，则实数m取得最大值时，实数a的值为.

显然，φ（x）=（x-1）lnx+ax+b不具有对称性，无法直接布局出其函数图象.依据前面探索，影响取值点的有端点和极值点.由于参数a的存在，极值点无法求得.此时考虑分离函数，令

g（x）=（x-1）lnx，

h（x）=-ax-b，

则f（x）=|（x-1）lnx+ax+b|可看作g（x）=（x-1）lnx与h（x）=-ax-b在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离.此时，合理布局g（x）与h（x）的图象即可.

解析 由g（x）=（x-1）lnx，x∈［1，e］，可取

A1，0，Be，e-1，所以AB的直线方程为

l1：y=x-1.

由（x-1）-（x-1）lnx>0得，l1的图象始终在g（x）上方.设l2与AB平行且与g（x）=（x-1）lnx相切于点Cx0，y0，

当h（x）与l1，l2平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在l1，l2的中间，此时

通过分离函数，将问题转化为一个不含参数的函数g（x）与一条直线h（x）纵坐标的竖直距离.此时，将函数g（x）介于两端点连线l1与平行于l1的切线l2之间，h（x）即为l1与l2的“中位直线”.从而将一个复杂函数的问题转化为一个简单函数与直线的问题，拓宽了思路，降低了难度.

探究6 特征点.

不难发现，分离函数后切点（即为原来函数的极值点），二次函数的对称轴，三次函数有关的极值点、端点，都影响着f（x）maxmin.这些极值点和端点，我们统称f（x）的“特征点”.如引例的特征点为1，3，5.例1的特征点为0，1，3.例2的特征点为1，x0，e.对于例1，利用特征点，可做如下解答：

记f（x）max=M，则有

f（0）=|b|≤M，

f（1）=|-5+a+b|≤M，

f（3）=|-27+3a+b|≤M.

由待定系数法，设A，B，C为常数，令Ab+B（-5+a+b）+C（-27+3a+b）=（-5B-27C）+（B+3C）a+（A+B+C）b，令B+3C=0，A+B+C=0，其中（A，B，C）的一组解为（2，-3，1）.由绝对值三角不等式，有

12=|2f（0）-3f（1）+f（3）|

≤2|f（0）|+3|f（1）|+|f（3）|=6M，

故M≥2.

此解法利用绝对值三角不等式，使得解答看起来简洁迅速.但事实上，式子中必须包含函数所有的“特征点”.合理布局“特征点”的位置和系数，才能求得f（x）maxmin.而“特征点”的寻找，是破题的关键.

特征点法：在处理函数的最大值的最小值问题时，我们可以采取“三点控制”或者“四点控制”法，结合函数图象的特征，几个“特征点”如下：

①对于二次函数而言，采用“三点控制法”，这三个点分别是两区间端点和区间中点.

②对于三次函数而言，一般采用“四点控制法”，这四点分别是两区间端点和分别靠近两个端点的四等分点.但有些三次函数也只需“三点控制”，求解时需要灵活处理.

③对于平口（端点同高）的对勾函数而言，这三点分别是两端点与极值点；对于一般的对勾函数而言，这三点除了端点外，就是平行于两端点连线的直线与该曲线的切点[2].

3 背景探究

事实上，上述问题都源于切比雪夫逼近问题.

由多倍角公式，我们知道cos（nx）可以表示成cosx的多项式，具体如下：

cos0=1，

cosx=cosx，

cos2x=2cos2x-1，

cos3x=4cos3x-3cosx，

cos4x=8cos4x-8cos2x+1，

cos5x=16cos5x-20cos3x+5cosx.

从而，我们得到：

3.1 切比雪夫多项式

定义1 Tn（x）=cos（narccosx）是一个n次多项式，称为n次切比雪夫多项式，其中x∈［-1，1］，n∈N.

T0（x）=1，T1（x）=x，T2（x）=2x2-1，T3（x）=4x3-3x，T4（x）=8x4-8x2+1，T5（x）=16x5-20x3+5x.

3.2 最佳逼近直線

如果f（x）不是n次多项式，以上方法还适用吗？为了解决此类问题，需给出如下定义与定理.

性质3 若函数f（x）是定义在区间［a，b］上的连续函数，则f（x）的最佳逼近直线存在且唯一.

性质4 直线g（x）是连续函数f（x）（x∈［a，b］）的最佳逼近直线的充要条件是g（x）至少具有三个偏差点，且它们依次轮流为正、负偏差点.

注 定理2告诉我们，可根据如下步骤作出凹、凸函数在区间［a，b］上的最佳逼近直线g（x）.

（1）连接MN；

（2）在函数图象上找一点C，使得在该点处的切线与直线MN平行；

（3）过线段MC的中点D作直线MN的平行线l.

这样的直线l就是所求的最佳逼近直线g（x），点M，C，N依次轮流为正、负偏差点[3].

4 真题赏析

纵观近年来各地高考模拟、强基、高联试题，都有以上述问题为模板的题目，或者直接出现，或者变换函数，或者变换设问方式.简录几个如下：

题1 （2010年全国高联）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），当0≤x≤1时，|f ′（x）|≤1，试求a的最大值.

（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；

（3）若对任意实数a，b，总存在实数x0∈［0，4］，使不等式f（x0）≥m成立，求实数m的取值范围.

题4 （2021年竞赛模拟）对于区间I=［a，b］（a

题5 （2022年强基模拟）已知函数f（x）=1-x2x2+bx+c，x∈-1，1，记f（x）的最大值为Mb，c.当b，c变化时，求Mb，c的最小值.

题6 （2023年绍兴期末）已知函数f（x）=|x+a|+|x2+b|，x∈［0，1］.设f（x）的最大值为M，若M的最小值为1时，a的值可以是（ ）.

5 几点感悟

5.1 合理布局函数图象是破题关键

从某种意义上讲，函数解析式是隐性的，函数图象是显性的.函数的性质是抽象的，函数的图象是具象的.函数的性质为函数设定了“边界”，使函数只能满足某些特定的属性，而不能拥有与之相悖的属性.但在这指定的“边界”内，函数依旧有着多样的可能性.如何在这些“可能性”中恰当选择，我们需要一个可视化的操作对象.函数图象就是这个操作对象.利用函数的零点、特殊点、极值、最值、对称轴、对称中心、单调性、奇偶性、周期性等，结合图象的平移、翻折、伸缩、旋转等变换，合理调整、布局函数的图象，是破题的关键.如在引例中，通过对二次函数单调性、对称性、最值，以及绝对值函数图象变换规律，最终在七种图象中，通过对比、调整，选定了f（1）=f（5）=f（3）形式的图象.而在例2中，无法直接作出φ（x）=（x-1）lnx+ax+b的图象时，通过转化，再合理布局g（x）=（x-1）lnx与h（x）=-ax-b的图象，才实现了题目的突破.同时，合理布局的函数图象，还能实现题目几何意义的表达，借助几何关系，进而实现解题目标的直观和路径通畅.在例2中，正是利用切线和割线，完成了从最大值的最小值到“中位平行线”的转化.

5.2 严密代数推理尽显解答之妙

虽然函数图象能够快速直观地解决问题，但在说理过程中，其依旧有着诸多缺陷.由于图象的具象性，具体函数图象只是列举了函数的某些可能性，而满足某种性质的函数是无限的.如函数f（x）在其定义域内单调递增，可以是一次函数，可以是三次函数，也可以是底数大于1的指数函数等.当然，如果情形是有限的，可以使用图象结合分类讨论的方法解决问题.函数图象的说理具有不严密性，如从函数的意义上讲，函数上的点是无限的，而所作出的图象是有限的.图象甚至具有误导性，如在例1的探究过程中，笔者在最初作图探究时发现函数的左右端点处等值，三次函数的对称中心处值为0就能得到最大值的最小值，进而进行了忽略三次函数中端点、极值点、对称中心横坐标等差性的限定.另外，图象还有局限性和冗余性等特点，而代数推理高度概括的特点使之具有更广的操作空间.

5.3 高位知识是活水之源

所谓高位知识，是指在学生知识体系之外，高于學生认知的知识，其包括高等数学的弱化、初等数学的升华、跨学科的融合等.高位知识并非深不可测，他只需学生在现有知识体系内，往前迈出一小步.如本文中的切比雪夫逼近直线所用的知识全是高中知识，只是将解答流程规范化、名词化.立足高位知识，更容易建立起知识的体系性.如通过切比雪夫多项式和最佳逼近直线，很容易建立起一元n次多项式和一般连续函数在最大值的最小值问题上的递进性关系.立足高位知识，更容易发现解法之间的关联，如对于例1，布局函数图象，转化为一个三次函数与一条直线纵坐标差值，或者特征点法三种方法，其实都是关于三个特征点的处理.高位知识是命题的活水之源，只要是函数f（x）在区间［a，b］上存在二阶导数，且f ″（x）在［a，b］上不变号，就能通过最佳逼近直线求得最大值的最小值.只要掌握高位知识，就能达到解一题知一类，实现知识的通达和思维的深化.

6 结束语

总之，合理布局函数图象是解题的切入点，严密代数推理是解题的基本素养.初等方法是解题的必须要求，高位知识是思维贯穿的保障.综合并用，方能更好抵达.

参考文献：

［1］甘志国.一元三次函数图象对称性的推广[J].高中数理化，2019（24）：2-3.

[2] 李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[M].安徽：中国科学技术大学出版社，2022.

[3] 佩捷，林常.切比雪夫逼近问题[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2013.