利用角度变换方法解决空间角问题

王道金

摘 要：空间角是立体几何中的重要问题.在空间坐标系下解决空间角问题思路直接，但有时候运算量比较大，而且弱化了对图形本质的认识，如果能够抓住空间角之间的逻辑关系，运用等价转化思想，实现有效降维，就可以简化求解过程.文章通过四个基本事实，得到空间角的变换依据，展示了角度变换在解决空间角问题中的有效应用.

关键词：空间角；逻辑关系；等价转化；降维；角度变换

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0045-04

空间角包括二面角、线面角、线线角，平面角是空间角的基础，文[1]和文[2]指出了常用的解决空间角问题的几何法（添加辅助线结合空间角的定义）和空间向量法（建立空间坐标系）.文[3]则提出了解决空间角问题的几何法与空间向量法（提出了方程思想），也提出了构造法.笔者发现，在特定环境下，空间角之间可以相互转化，利用空间角度的变换可以简化空间角的作图和计算.有几个关于空间角关系的基本事实，可以用来简化空间角的求解过程.下面以四个基本事实作为依据，以角度变换的视角求解高考中的空间角问题.

1 对有公共棱的二面角实施和差变换

变换依据 如图1，平面ABEF在二面角D-AB-M的两个半平面ABCD和ABNM之间，二面角D-AB-M大小为θ，二面角D-AB-E大小为α，二面角E-AB-M大小为β，则有θ=α+β.

问题1 （2023年全国Ⅱ卷20）如图2，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BDCD，ADB＝ADC＝60°，E为BC中点，

（1）证明：BC⊥AD;

又DE⊥BC，所以BC⊥平面ADE.所以BC⊥AD.

（2）如图3，二面角D-AB-F的大小设为θ，可以看成二面角D-AB-C和二面角F-AB-C组成的.

二面角F-AB-C为直二面角，作EM⊥AB于点M，连接DM，则由DE⊥平面ABC得到∠DME为二面角D-AB-C的平面角.

（1）证明：DE⊥平面ACD；

（2）求二面角B-AD-E的大小.

分析 三个二面角D1-AC-D，D1-AC-B1，B1-AC-B之和为π，可以先求二面角D1-AC-D与二面角B1-AC-B.

设二面角D1-AC-D的大小为α，设二面角

B1-AC-B的大小为β，

可以证明AC⊥AB，AC⊥平面ABB1，∠B1AB=β，tanβ=2.如图7，设H为AC中点，连接DH，D1H，则有DH⊥AC.

2 对二面角实施降维变换

变换依据 如图8，OP⊥平面ABNM，OQ⊥平面ABCD，则∠POQ与二面角M-AB-D的平面角相等或者互补.

问题4 （2015年湖北理19）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称

问题5 （2016年全国Ⅰ卷理18）如图11，在以A， B， C， D， E， F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD= 90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.求二面角E-BC-A的余弦值.

分析 如图12，考虑寻找平面ABCD与平面BCE的垂线，作CM⊥EF，垂足为点M，作MN⊥AB，垂足为点N，连接CN，则AB⊥平面CMN.作MP⊥CN于点P，则MP⊥平面ABC.作MH⊥CE于点H，则由平面BCE⊥平面EFDC得到MH⊥平面BCE［3］.

3 对二面角的半平面实施位置变换

变换依据 如图13，平面ABFE∥平面MNCD，则二面角D-AB-E与二面角A-CD-M的大小互补.

问题6 （2014年全国Ⅰ卷19）如图14，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

4 对线面角实施降维变换

变换依据 如图16，直线AB与平面α相交，

分析 设法找到平面PAM的垂线，先求此垂线与PC所成的角，如图18，取PA的中点K，OK∥PC，设I为AK的中点，则OI⊥AK.设AM与BO交于点N，由BO⊥AC，BO⊥平面PAC得到BO⊥AK.

所以AK⊥平面INO.

问题8 （2021年全国甲卷19）如图19，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2， E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

分析 因为AB⊥平面BCC1B1，要使面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小，需要AB与平面DEF所成角最大.

EF为定直线，AB与平面DEF所成角最大值为AB与EF所成角，EF∥AC1，所以需要平面AC1B与平面DEF垂直.

又平面AC1B与直线B1C垂直，所以需要B1C∥平面DEF，如图20.

5 结束语

从上面的求解过程可以看出，角度变换方法可以直接抓住几何本质，以较小的运算量解决空间角度问题，在教学中可以引导学生自觉加以应用，这对培养学生的空间想象力，提升学生的基本学科素养方面大有益处，值得研究.

參考文献：

［1］王冬冬.高考立体几何空间角解题技巧[J].数理化解题研究，2019（22）：10-11.

［2］ 张宇.例谈“空间角”的求解策略[J].中学数学，2023（01）：78-79.

［3］ 张宏俪.聚焦立体几何中空间角的求解[J].高中数理化，2021（23）：13-15.