一道圆锥曲线中直线过定点问题的多角度探究

龚条枝

摘 要：从一道椭圆中直线过定点问题出发，多视角分析、探寻证明问题的思路，归纳总结解决问题的通法及简化运算的常用策略.

关键词：直线；定点；常用策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0082-03

圆锥曲线中直线过定点问题往往以压轴题形式出现，因运算量大，成为大多数考生获得高分的“拦路虎”.本文从一道具体证明题出发，通过一题多证，并进行解法的比较与选择，达到拓展学生思维、提高学生分析问题、解决问题的能力.

1 题目呈现

2 解法探析

（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0.

设B（x1，y1），C（x2，y2），则

△=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）>0.

即1+3k2>m2.

所以y1y2-y1+y2+1=-x1x2.

又因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，

所以（1+k2）·x1x2+k（m-1）（x1+x2）+（m-1）2=0.

代入韦达定理，并整理得（m-1）（2m+1）=0.

证法2 （1）当直线BC斜率为0时，设lBC：y=n，此时lAB：y=x+1，lAC：y=-x+1.

（2）当直线BC斜率不为0时，设lBC：x=my+n.

（m2+3）y2+2mny+n2-3=0.

由△>0得m2（n2+3）>9.

设B（x1，y1），C（x2，

则（m2+1）y1y2+（mn-1）y1+y2+1+n2=0.

代入韦达定理，并整理，得（n+m）（2n-m）=0.

由直线方程的点斜式，得

因为点B（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆E上，

所以x21+3y21=3.

所以3x1y2+3x1-x2y1+x2=0.②

所以3x2y1+3x2-x1y2+x1=0.③

所以x1（y2-t）=x2（y1-t）.

交替更换一次有

所以3x1y2-x2y1+3x1+x2=0.④

再交替更換一次得

所以3x2y1-x1y2+3x2+x1=0.⑤

证法7 依题意，直线AB与AC的斜率存在，设lAB：y=k1x+1，即y-k1x-1=0.

lAC：y=k2x+1，即y-k2x-1=0.其中k1k2=-1，直线AB与AC的组合用“双直线方程”表示为 （y-k1x-1）（y-k2x-1）=0.

观察图形易知A，B，C的坐标为该方程的三组解.因为点A（0，1），所以B，C两点的坐标满足方程（k1+k2）x+2y+4=0，所以（k1+k2）x1+2y1+4=0，（k1+k2）x2+2y2+4=0.所以直线BC的方程为（k1+k2）x+2y+4=0.

联立化成关于x′，y′的二次齐次式，得

x′2+（3+6n）y′2+6my′x′=0.

3 结束语

以上九种证明方法从不同视角合理解决问题.教学中应有意识引导学生多角度思考问题，提高学生分析问题、解决问题的能力；拓展解题思路，提升思维品质；重视通解通法，总结和归纳简化运算的技巧与策略，切实在解析几何的学习中发展学生的数学运算核心素养.

参考文献：

［1］彭耿铃.2021年全国Ⅰ卷理科解析几何压轴题的多角度探析[J].数理化解题研究，2022（13）：14-17.