例说解决排列组合问题的基本策略和常见模型

白亚军

摘 要：排列组合历来是学生学习中的难点.通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦、不易挖掘、题目多变、解法独特、数字庞大、难以验证.

关键词：排列;组合;策略;模型

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0002-03

排列组合知识是高中数学必不可少的内容之一，对于思维能力的要求比较高，解题时一定要讲究策略.本文将对高中阶段排列组合问题的基本策略和常见模型进行全面总结.

1  解决排列组合问题的基本策略

1.1 特优策略

例1 用0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？

解析 五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为N=4×A44=96种［1］.

1.2 正难则反策略

例2 在10件产品中，有7件合格品，3件次品，从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种？

解析 如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，所以N=C310-C37=85种.

1.3 先取再排策略

例3 从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种？

解析 本题由于需要先确定人数的选取，再进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有C24C13种可能，然后将选出的三个人进行排列为A33，所以共有C24C13A33=108种方案.

1.4合理分类与分步策略

例4 在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？

解析 10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员，以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究.只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员共有C23C23 种，只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员共有C15C13C24种，只会唱歌的5人中只有2人选上唱歌人员有C25C25种，由分类计数原理共有C23C23+C15C13C24+C25C25=199种.

1.5构造模型策略

例5 马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路燈，现要关掉其中3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？

解析 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C35=10种.

2 排列组合问题的常见模型

2.1 相邻问题（捆绑法）

例6 5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法？

解析 考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有A44种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有A22种位置，所以排法的总数为N=A44A22=48种.

评注 当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.

2.2 不相邻问题（插空法）

例7 有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法？

解析 考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有C25种选择，然后四名同学排序，甲乙排序.

所以N=C25A44A22=480种.

评注 当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序，注意两点：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边；（2）要从题目中判断是否需要各自排序.

2.3 涂色问题（种植问题）

例8 如图1所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则有多少种染色方法？

解析 A，C不相邻，按照A，C是否同色分类，按照A→C→S→B→D的顺序进行染色：第一类，A，C相同颜色，则有5×1×4×3×3＝180种不同的染色方法，第二类，A，C不同颜色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法，根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法.

评注 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可以找出不相邻区域，按它们相同颜色和不同颜色进行讨论.

2.4 错位排列

例9 安排6个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？

解析 第一步先确定哪两个班班主任监考自己班，共有C26种选法，然后剩下4个班主任均不监考自己班，则为4个元素的错位排列，共9种，所以安排总数为N=C26·9=135.

评注 排列好的n个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n个元素的一个错位排列.例如对于a，b，c，d，则d，c，a，b是其中一个错位排列，3个元素的错排有2种，4个元素的错排有9种，5个元素的错排有44种，以上三种情况可作为结论记住.

2.5 特定顺序排列

例10 已知A，B，C，D，E，F6个人排队，其中A，B，C相对位置不变，则不同的排法有多少种？

2.6 多排问题直排处理

例11 在一次讲座活动中，前后排分别有11，12个座位，需空出前排中间的3个座位，现安排两名学生分开就座（即彼此不相邻），有多少种不同的排法？

解析 依题意去掉不可坐的3个座位后实际可坐的座位共有20个，两名同学就座有A220种坐法，其中包含了两人相邻的情况；再将这20个座位排成一排（前后排两端相接），将任意两个座位视为一个整体，则两人相邻的坐法有A119A22种，需从中减去；而这其中又包括了实际不相邻的两种情况（前后排两端相邻，与前排3个空位左右两侧的相邻），还应加上2A22.因此，不同的排法总数为A220-A119A22+2A22=346種.

评注 多排元素排列问题通常可简化为一排考虑，然后分段进行研究.但在其中需要注意的是，多排转化为一排后会存在实际不相邻的情况（如前后排的首尾是不相邻的，将其拉成一排则首尾相连），因此在解决此类问题时，需仔细观察实际情况.

2.7 不同元素分组

例12 将编号为A，B，C，D，E，F的6个小球，放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法有多少种？

解析 第一步：先将6个小球分成3组，有每组2个球和1个球+2个球+3个球的两类方式分组，

评注 将n个不同元素放入m个不同的盒中（n≥m），先将n个元素分为m组，再将m组放入m个盒子中，注意平均分组的重复情况要减掉，分组中有k组元素个数相同就用总分组数量除以Akk.

2.8相同元素分组

例13 将6个相同的小球放入到4个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球，则不同的放法有多少种？

解析 6个小球去掉首尾有5个空档，选择3个位置放“搁板”将小球分为4组，共有C35=10种可能.

评注 将n个相同元素放入m个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有Cm-1n-1种，解决此类问题常用的方法是“搁板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n个元素排成一列，去掉首尾空隙，还有（n-1）个空，使用（m-1）个“搁板”进入空档处，则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子.

3 结束语

只有熟练掌握基本的解题策略，根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础.

参考文献：

［1］钱美兰.解决排列组合问题的几个基本原则[J].高中数学教与学，2014（12）：46-47.