多维探究课本例题 发展学生核心素养

摘 要：首先给出课本一道求轨迹方程例题的多种解法，然后根据例题给出的条件探究出更多的结论，并类比推广到椭圆和双曲线，给出了相应性质.结合课本例题，在核心素养导向下，运用“问题解决”教学模式，将核心素养融入课堂教学中.

关键词：核心素养；轨迹方程；探究；最小值

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0029-09

教材是重要的课程资源，这是毋庸置疑的.教材中

有的例习题具有拓展性，可以設计为具有科学探究价值的问题或课题，以此为载体，引导学生合理运用科学的思维方法，分析问题或进行深入研究.对于广大学生提高核心认知品质，发展关键能力，进而提升学科核心素养，具有深远意义.

1  课本例题，探究之源

题目 如图1，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程［1］.

此题是人教社A版（2007年1月第2版）普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4《坐标系与参数方程》第33页例3.

2 解法探究，曲径通幽

思路1 设A，B两点坐标，分别写出直线AB，OM方程，充分利用OA⊥OB这一条件，即可求出点M的轨迹方程.

即（y1+y2）y-2px-y1y2=0.

由OA⊥OB，有y1y2=-4p2.

故（y1+y2）y-2px+4p2=0.①

将②代入①整理，得

x2+y2-2px=0（x≠0）.

当y1+y2=0时，点M的坐标是（2p，0），此时点M的坐标满足方程x2+y2-2px=0（x≠0）.

因此，点M的轨迹方程是x2+y2-2px=0（x≠0）.

思路2 利用kAB·kOM=-1建立等式，消去参数得轨迹方程.

y2-（y1+y2）y+（y1+y2）y0-2px0=0.

故 y1y2=（y1+y2）y0-2px0.

又y1y2=-4p2，

化简，得x20+y20-2px0=0（x0≠0）.

当y1+y2=0时，点M的坐标是（2p，0），此时点M的坐标满足方程x2+y2-2px=0（x≠0），

因此，点M的轨迹方程是x2+y2-2px=0（x≠0）.

思路3 充分挖掘已知条件，由已知我们易知直线与x轴交于定点N（2p，0），这样一来，问题就好解决了.

解法3 设M（x，y），由解法1中的①式，即

（y1+y2）y-2px+4p2=0.

易得 （y1+y2）y-2p（x-2p）=0.

故直线AB过定点N（2p，0）.

即x2+y2-2px=0（x≠0）.

因此，点M的轨迹方程是x2+y2-2px=0（x≠0）.

思路4 建立直线AB的斜截式方程y=kx+b，然后y=kx+b与y2=2px联立，并利用已知条件OA⊥OB，用p和b表示k，把k代入y=kx+b，也可以得到直线AB过定点N（2p，0）.

解法4 设直线AB的方程为y=kx+b（bk≠0），

k2x2+（2kb-2p）x+b2=0.

设A（x1y1），B（x2，y2），则

又由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0.

故直线AB过定点N（2p，0），下同解法3.

思路5 利用抛物线的参数方程，设A，B的坐标分别（2pt21，2pt1），（2pt22，2pt2）（t1≠t2且t1·t2≠0），然后利用平面向量有关知识来求解.

即（2pt1t2）2+（2p）2t1t2=0.

所以t1t2=-1.⑤

即2px（t22-t21）+2py（t2-t1）=0.

所以x（t1+t2）+y=0.

所以（x-2pt21）（2pt2-y）=（y-2pt1）（2pt22-x）.

化简，得x-（t1+t2）y+2pt1t2=0.⑦

即x2+y2-2px=0（x≠0），这就是点M的轨迹方程.

设点M的坐标为（x，y），则

由A，B，M三点共线可得

由OM⊥AB，得kAB·kOM=-1.

当k≠±1时，点M的坐标是（2p，0），此时点M的坐标满足方程x2+y2-2px=0（x≠0）.

即x2+y2-2px=0（x≠0），这就是点M的轨迹方程.

解法7 设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）.

又y21=2px1，y22=2px2，

所以x1x2=4p2，y1y2=-4p2.

又|y1-y2|≠0，即x2+y2-2px=0（x≠0），这就是点M的轨迹方程.

思路8 设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），求出AB的斜率，利用OM⊥AM，OM⊥BM，OM⊥AB，再由平面向量有关知识可求出点M的轨迹方程.

由OA⊥OB易得y1y2=-4p2.

把B12代入B13，得

即x2+y2-2px=0（x≠0），这就是点M的轨迹方程.

思路9 M是Rt△AMO与Rt△BMO的交点，也就是以OA为直径的圆与以OB为直径的圆的交点，这样可以利用圆的直径式方程求解.

化簡，得y1y2=-4p2.

以OA为直径的圆的方程为

以OB为直径的圆的方程为

由14-15，得

由14+15，得

把y1·y2=-4p2代入B17，得

把B16代入B18，化简得x2+y2-2px=0（x≠0），这就是点M的轨迹方程.

思路10 利用极坐标求轨迹方程.在利用极坐标求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用极坐标表示，再通过代数变换进行化简.而且，与用平面直角坐标求曲线方程相比，求它的极坐标方程更加简便，代数变换更加直接.根据题目的要求可以把极坐标方程化成直角坐标方程.

解法10 由求轨迹方程解法1中的①式知直线AB过定点N（2p，0）.

3 根植沃土，横纵拓展

解答完例3之后，课本给出了“探究：在例3中，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？”这可以看成是例3的变式，教参给出的解答是解法1，在此给出“探究”的多种解法.

探究1 如图1，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，当点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？

解法1 由例3（课本上例3）可得

当且仅当t1=-t2，即当点A，B关于x轴对称时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.

解法2 设A（x1，y1），B（x2，y2）.

由OA⊥OB，易知

x1x2+y1y2=0，x1x2=4p2，y1y2=-4p2.

当且仅当x1=x2且y1=-y2，即当点A，B关于x轴对称时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.

由OA⊥OB，易知

当且仅当x1=x2且y1=-y2，即当点A，B关于x轴对称时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.

当k=±1时上式等号成立，即当点A，B关于x轴对称时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.

解法5 由求轨迹方程解法3知直线AB过定点N（2p，0），

可设直线AB的方程为x-2p=ty，A（x1，y1），

B（x2，y2），

把B19代入B20，整理得

y2-2pty-4p2=0.

所以y1+y2=2pt，y1y2=-4p2.

当且仅当t=0时，上式等号成立.即当点A，B关于x轴对称时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.

解法6 把y2=2px化成极坐标方程

探究2 如图1，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，求|AB|的最小值.

x1x2=4p2，y1y2=-4p2.

当且仅当y1=-y2时等号成立，所以|AB|的最小值为4p.

解法2 由求轨迹方程解法3知直线AB过定点N（2p，0），可设直线AB的方程为x-2p=ty，A（x1，y1），B（x2，y2）.

把B19代入B20，整理得y2-2pty-4p2=0.

所以y1+y2=2pt，y1y2=-4p2.

当且仅当t=0时等号成立，所以|AB|的最小值为4p.

探究3 如图1，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，求|OA|+|OB|的最小值.

当且仅当y1=-y2时等号成立，

探究4 如图1，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，求△OAB周长的最小值.

探究5 如图1，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，求证直线AB与x轴相交于定点，并求定点坐标.

其解法见求轨迹方程解法3.

探究6 O是直角坐标原点，M（2p，0），过点M作直线交抛物线y2=2px（p>0）异于顶点的A，B两动点，则OA⊥OB.

把B19代入B20，得y2-2pty-4p2=0.

所以y1+y2=2pt，y1y2=-4p2.

探究5与探究6互为充要条件.

探究7 O是直角坐标原点，T是抛物线y2=2px（p>0）上的定点，过T作抛物线两条互相垂直的弦TA与TB，A，B都异于原点，则直线AB过定点.

证明 设T（2pm2，2pm），A（2pa2，2pa），B（2pb2，2pb），其中m为常数，a+b≠0.

所以（2pa2-2pm2）（2pb2-2pm2）+（2pa-2pm）（2pb-2pm）=0.

即（a+m）（b+m）+1=0.

则ab+（a+b）m+m2+1=0.

则ab=-（a+b）m-m2-1.

化简，得（a+b）y=x+2pab.

则（a+b）y=x+2p［-（a+b）m-m2-1］.

则（a+b）（y+2mp）=x-2p（m2+1）.

故直线AB过定点Q（2p（m2+1），-2mp）.

探究8 如图1，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）异于顶点的两动点，且OA⊥OB，过A，B分别作抛物线的切线，则两切线交点在定直线上.

由两切线方程联立求解得x=-2p.

故两切线交点在定直线x=-2p上.

探究9 O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2=2px（p>0）异于顶点的两动点，过A，B分别作抛物线的切线，若两切线的交点在直线x=-2p上，则OA⊥OB.

又x=-2p，

所以y1y2=-4p2.

所以OA⊥OB.

探究10 已知双曲线的中心为O，实轴、虚轴的长分别为2a，2b（b>a>0），A，B分别为双曲线上的两点，且OA⊥OB.

（2）求△AOB面积的最小值.

将双曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，得

（2）由（1）知

4 溯源教材，升华思想

波利亚在《怎样解题》一书中写道：“好的题目和某种蘑菇有点相似之处，它们能成串生长，找到一个以后，再四处看看，很有可能在附近的地方能找到更多.”

题1 如图2，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.

题1是人教版（2004年6月第1版）全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第八章圆锥曲线方程第126页小结与复习例2，课本给出了该题的两种证法.

人教A版（2007年2月第2版）普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1第二章圆锥曲线与方程第73页习题2.4第6题也是该题，只是给出的形式不同，一个是例题一个是习题.

题2 如图3，已知直线与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值.

题2是人教A版（2007年2月第2版）普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1第二章圆锥曲线与方程第80页复习参考题B组第3题.

人教A版（2020年5月第1版）普通高中教科书《数学》选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程第145页第10题也是该题.

题3 经过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O任作两条互相垂直的線段OA和OB（点A，B均在抛物线上），以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程.

题3是人教A版（2007年1月第2版）普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4《坐标系与参数方程》第二讲参数方程第34页习题2.2第5题.

题4 已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a>b>0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.

（2）求△AOB面积的最大值和最小值.

题4是人教A版（2007年1月第2版）普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4《坐标系与参数方程》第一讲坐标系第15页习题1.3第6题.

5 结束语

高中数学学科核心素养包括数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模、数据分析、数学抽象.对课本例习题进行多解多变有利于发展学生的思维品质，从而获得正确的数学观念，增进科学态度和责任.教师不仅要结合教学实际情况创设多种探究情境，以此激发学生的学习动机，还要通过积极改进和创新，引导学生大胆尝试，养成敢于批判质疑和勇于创新的精神.对于学生独特的解决问题的方法，教师更应该重视，适时给予鼓励，让学生体验成功的喜悦，激发学生的创造热情，最终达到发展学生核心素养的目的.

参考文献：

［1］周赛龙，储炳南.对一道课本例题的再发现[J].中学数学研究（广东），2021（15）：24-27.

［2］ 彭光焰.对一道课本例题的解法探讨［J］.数理化解题研究，2022（34）：15-18.