一道教材习题的解析及教学启示

韦珍

【摘 要】 本文以湘教版教材九年级上册第90页第9题为例，对多种解题方法和解题思路进行分析，进而阐述对解题教学的思考.

【关键词】 解题教学;解法分析;教学启示

“解题方法多样化”在数学教学中有着重要的指导作用，新版的《数学课程标准》中提倡全新的教学理念，其中“问题解决策略多样化”就是对学生解决问题方式的诠释，提倡多策略解决问题旨在让学生开拓数学思维、优化思想、创新研究，让教师实施解题方法多样化教学，老师不要“死教学”，学生不能“读死书”，将重视结果教学转变成重视过程教学。“解题方法多样化”将重新构建师生关系，老师评价学生的准绳变得更加宽泛，学生分析问题、解决问题的形式多样化，使得教学过程中的理念在提升，真正讓数学课堂变得高效，很准确地落实课堂教学。

笔者认为，数学问题如烟海，解题思路不单一，若能在解题教学过程中善于借助课本例习题，就不会在备课时为“讲什么题目”而发愁，而选定好要讲评的题目本就是一节好课堂的关键。

1 试题呈现

例题 如图①，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上.已知BC=30cm ，AD=20cm，求这个正方形的边长.

2 试题解读

2.1聚焦核心知识和方法，具有评价的价值

本题是以三角形为知识载体的题目，考查了初中阶段相似三角形的性质应用和矩形的判定等，涉及方程思想、数形思想、化归思想等多种思想方法。

难点在于如何根据基本几何模型图选择知识点来确定解题方法.

作为传递数学知识的载体，课本中孕育着丰富的思想方法.除了数形结合、函数方程、

化归转化等耳熟能详的思想方法外，我们还要善于提取一些隐藏于所学习知识和例题习题中，对解题有直接帮助的思想方法.它们以内隐的形式躲在幕后，却往往是解决问题的关键.^[1]

2.2 聚焦多元解法，展现教学价值

由条件易得AAHGAABC，但是直接由这对相似三角形的对应边成比例无法直接求出正方形的边长，故可以考虑用相似三角形的对应边上的高之比等于相似比快速求解. 也可用两对相似三角形对应边成比例，再在两个比例间建构联系方可解.也可用两种不同的方式（整体、部分）表示△ABC的面积，列出方程，进而求解边长. 也可对关键线段设两个参数求解，其中一个设而不求. 也可建立平面直角坐标系，用坐标表示线段长度，再用相似三角形对应边成比例求解.

3 解法精析

解法1 如图②，设AD与HG交于点M，

因为AD是边BC上的高，

所以 N3=9（）。.

因为四边形EFGH是正方形，

所以 Z1 = N2=90°，HG〃BC.

所以四边形DFGM是矩形.

所以AD±HG，MD =GF.

设正方形的边长为zcm，则MD =GF=HG =

所以正方形的边长为12cm.

评注 解法1是直接应用相似三角形对应边上高之比等于相似比，进而建立关于边长的方程求解.

解法2 如图③，设AD与HG交于点M ，

解得x=12.

所以正方形的边长为12cm.

评注 解法2是直接应用三角形和正方形面积之间的和差关系建立关于边长的方程求解.

解法3 如图④，设正方形的边长为xcm，则EH=HG=xcm^，

所以正方形的边长为12cm.

解法4 如图⑤，设AD与HG交于点M，设正方形的边长为xcm，HM=ycm，则HE=GF=HG=xcm^，

因为AD是边BC上的高，

所以 N3=90。；

因为四边形EFGH是正方形，

所以 Z1 =/2=N6=90°，HG〃BC.

所以N5 =90。，且四边形DFGM是矩形.

所以AD ± HG，MD =GF=xcm，所以AM =（20-x）cm，N4= N5 =90。

评注 解法3和解法4均是应用了两对相似三角形联立比例解决问题.

解法5 如图⑥，设AD与HG交于点M，

评注 解法5是利用解析法，建立平面直角坐标系利用坐标表示线段长度，再结合相似三角形建立方程求解边长.

4 教学启示

罗增儒教授曾说：“数学家创造了知识，而教师创造的是对知识的理解”，这种创造，需要基于我们对自己教学思维活动的不断地反思.

解题教学实质上是学生思维活动的教学，教师是否善于抓住问题的本质，找到解题的规律，逻辑清晰而准确地概括和表达，决定了他能否帮助学生认识到问 题的本质、解法的本质，经历完整的数学思考，才能够提高学生的思维能力，发展核心素养.^[2]

章建跃认为，教学的目的是要帮助学生长知识、长见识，使学生建立知识的整体架构，在掌握知识、领悟内容所蕴含的数学思想和方法的过程中提升理性思维水平，提高数学能力和用数学问题解决的能力.教学应注重学习结果的可迁移性，实现举一反三、触类旁通，在己有基础上再创造知识，而不是原地踏步的进行重复训练. ^[3]

雅诺夫斯卡娅有句名言：“解题就是把题目化归为已经解过的题”.课本作为教学的首席资料，不仅是我们教知识的载体，同样也能教我们怎样去解题.愿我们每位数学老师用好课本例习题，充分发挥其应有的价值.

参考文献：

[1]张俊.从课本中汲取解题营养[J].数学通报，2020（8）：55-59.）

[2]程华.从“一题多解”审思解题教学的思维培养[J].数学通报，2020（8）：50-54

[3]章建跃.研究一点真问题[J].中小学数学（高中版），2021 （9）：96