利用三角函数与相似性解决三角形问题的方法研究

谭康

【摘  要】  本文旨在揭示相似三角形、三角函数和解三角形之间的紧密关系.在解决与角、边长有关的问题时，我们可以通过找出两个或多个三角形的相似关系，三角函数的边角关系，将问题简化，从而求解未知数.通过对具体题目实例的分析，展示了如何运用这些基本定义和性质来解决实际问题，为学生提供有效的解题思路和技巧.

【关键词】  相似三角形；三角函数；边角关系

1  引言

相似三角形和三角函数是高中数学中的重要内容，也是各类考试中常见的考点.通过对近两年来相似三角形和三角函数综合应用题的考查情况的研究，可以看出这类题目在各类考试中的重要性和难度逐渐增加.这类题目通常涉及几何图形的变换、比例关系以及三角函数的性质等知识点的综合运用.因此，对于学生来说，掌握好相似三角形和三角函数的基本概念和性质，并能够灵活运用于解决实际问题，对于提高数学素养和应对考试具有重要意义.

2  利用三角函数与相似性解决三角形问题

例1  在中，，若的三边都扩大倍，则的值（）.

（A）放大倍 （B）缩小倍 （C）不变 （D）无法确定

解析  在中，的三边都扩大倍，变化后的三角形与原三角形相似.因为相似三角形的对应角相等，所以的大小没有发生变化，所以的值不变．故选：C．

例2  如图1，是平行四边形的对角线，，，点是的中点，点、分别是线段、上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（    ）

图1

（A）或  （B）或 （C）或 （D）或

解析  为平行四边形，，是的中点，.

，是直角三角形，，所以，故，.

当时，如图2，过点作于点.

图2              图3

则．因为，所以，，，，又因为，所以，；

當时，如图3.

则，；

当时，点与点重合，不存在．

综上所述，的长为或．故选：A．

例3  在四边形中，，，，，，于点．在中，，，．将按如图放置，顶点在上，且，然后将沿平移，如图，至点与点重合，再改变的位置，如图6，将顶点沿移动至点，并使点始终在上．

图4       图5       图6

（1）①当点在上运动时，如图4，连接，当时，求的长；

②如图5，设与的交点为，当顶点落在上时，求的长；

（2）如图6，点在上运动时，交于点，设，请用表示的长，并求出长度的最小值．

解析  （1）①因为，，，所以，，.

因为，所以.

又因为，即，所以；

②当点落在上时，因为，，所以.

因为，所以，所以，.

因为，所以四边形为矩形，，

.

因为，，所以，.

（2）因为，，所以.

又因为，所以，，.

如图7，作于.

图7

因为，，所以，，，所以.

，，.

当时，的值最小，最小值为：．

3  结语

相似三角形为三角函数提供了理论基础.通过研究相似三角形，我们可以更好地理解和掌握三角函数的性质.同时，三角函数也在解决相似三角形问题中发挥了重要作用，可以方便地求解相似三角形中的未知边长或角度.为了有效地解决这类题目，学生需要具备扎实的数学基础知识，包括相似三角形和三角函数的定义、性质和运算法则等.同时，学生还需要培养灵活运用知识的能力，能够将所学的知识与实际问题相结合，进行图形理解和计算.通过研究利用三角函数与相似性解决三角形问题的方法，可以为学生提供一些解题思路和技巧，帮助他们更好地应对考试挑战.

参考文献：

[1]林运来.例谈三角函数最值问题的求解方法[J].中学数学杂志，2023（11）：44-46.

[2]袁玲，鲍聪晓.第11讲  图形相似的运用与拓展[J].中学数学教学参考，2022（05）：54-57.

[3]罗培洲.高中数学中三角函数的解题技巧——以三角函数的图形与性质为例[J].数理化解题研究，2023（30）：50-52.