巧妙借助类比法提高初中生数学解题能力

向定云

【摘 要】 数学作为一门有着极强实用性且比较抽象的特殊科目，对学生的逻辑思维能力有着较高要求，在初中数学解题训练中，大部分学生都没有完善的思维体系，解题时思路容易变得混乱，以至于错误频出，究其原因在于数学解题能力有待提高.初中数学教师可教授给学生类比法的使用技巧，提高他们的数学解题能力.本文据此展开深入分析与研究，并罗列出部分解题实例.

【关键词】 类比法;初中数学;解题教学

类比法作为依据两类对象具有的某些类似特征同其中一类对象的已知特征，推导出另外一类对象同样具有此类特征的一种方法.在初中数学解题训练中，一些学生往往会经历推测和联想，这便是对类比思想的应用，从特殊到一般的体现，当遇到部分难度较大的题目时，教师可指导他们采用类比法，结合两个对象间的相似属性推测出存在的联系，使其通过类比解决数学试题，在这种新途径、新方法支持下提高学生的解题能力，增强他们的自信心.

1 巧妙借助结构化类比，探究数学解题本质

在之前的初中数学解题教学中，不少教师都比较喜欢着重讲解理论知识的方式，多次强调数学试题中涉及的公式、定理等，知识点之间的内部关联性通常遭到忽视，没有带领学生通过类比的方式展开训练，影响他们解题能力的提高.要想解决这一不利问题，教师可巧妙借助结构化类比的教学方式，引领学生结合数学题目的结构特征，将原题引申、转化成比较熟悉的题目，展开比较，帮助他们掌握题型结构，探究数学解题本质^[1].

例1 如图1所示，已知AB=3，BC=7，AC=5，那么A的度数是多大？

解题思路 当题干中直接给出一个三角形的三边具体长度时，能够基于正弦、余弦定理视角进行解决，但是初中学生刚刚学习过勾股定理相关知识，这一方法难度稍大，不少学生都不知所措.这时教师可提示学生巧妙借助结构化类比方法，使其结合有关直角三角形的知识把NA和直角相联系，他们将会对BA进行延长，再过点C作延长线的垂线段，把垂足设为点D，AD=z，如图2所示.接着，学生结合已学知识和辅助线得到CD= 25-z²，根据勾股定理能够得到（3+z）2 + （ 25-z²）²=49，求得z= 55，然后根据直角三角形的性质及AD=：AC，能够求出NBAC=120°之后，教师要求学生在三角形内部构造出一个新的直角三角形，让他们分析、对比这两种解题方法的相同点与不同点，提高数学解题能力.

设计说明 在这一试题中，学生因为没有正式学习过正弦、余弦定理知识，教师指导他们灵活使用结构化类比的方法，把求解难度较大的常规三角形類比特殊的直角三角形，让他们利用直角三角形相关知识解答试题.

2 巧妙借助模式化类比，确定数学解题途径

针对初中数学解题教学来说，相对于结构化类比而言，模式化类比即为根据试题展现出的表象特征，找到可以展开类比且性质相同的试题，关联表现主要体现在解题方法与策略方面，有着一定的类似性，这是进行类比切入的关键之处.具体来说，教师在平常的解题训练中，应当引导学生在解题过程中自主归纳与积极概括，探寻最佳解题途径，巧妙借助模式化类别感知到数学知识内部之间的关联性，从而有效提高他们的数学解题能力^[2].

例2 已知存在实数a "，c满足aWbWc，且ab +bc + ca = 0，abc =1 ，使得不等式 |a+b| ）k|c|恒成立的最大实数k是什么？

解题思路 通过对题目内容的阅读发现有两个方程和三个变量，学生进行解题时极易受到这些已知信息的干扰，教师应引领他们基于固有信息切入，获得一个与之等价的条件，由于a6c =1，则实数a，b，c均不为0，这三个实数不存在负数，或者存在2个负数，又结合abc=1可以得到ab= 1 >0，将其

c

代入ab +bc +ca=0就能够得到a +b = - ＼ < 0 ，c²

所以有a &b < 0，接下来，教师应指导学生根据基本不等式的性质巧妙借助类比法，根据“一元二次方程根和系数之间的关系”构造出以ab两个实数为根的一元二次方程，建立出相应的不等式，类比推理后发现a，b两个实数为一元二次方程z² + ＼x+ 1

_c2 _c

=0的两个根，所以1 a + b |= 12 24c = 4 | c 1 ，此c²

时不等式满足题设条件，求得最大实数k为4.

设计说明 本道试题难度相对较大，学生需结合问题表象找到能够进行类比且性质相同的问题，即为不等式的关系，同一元二次方程展开类别建立不等关系，有助于他们快速求出本题结果，使其找到最佳解题路径.

3 巧妙借助特殊化类比，找到数学解题灵感

特殊化类比即为把原命题中比较复杂的元素作精简化处理，采用多维化的诉求方式把复杂问题类比成简单问题，这是一种化繁为简、由难到易的解题方法，能够省掉一些计算步骤，减少学生出现错误的概率，锻炼与提高他们的解题能力.对此，在初中数学解题教学中，当遇到一些比较复杂的试题时，教师可以指引学生巧妙借助特殊化类比法，由此将复杂化的问题内容进行简单化处理，使其从中快速找到解题的灵感，帮助他们形成简洁的解题思路^[3].

例3 在直角三角形ABC中，已知ZACB=90°，AC=8，BC=4，现在分别以AC與BC为直径画两个半圆，如图3所示，求阴影部分面积的大小.

解题思路 面对此类图形比较复杂的题目，学生很难快速找到解题的切入点，从而陷入到思维障碍之中，这时教师可引领他们深层次梳理解题思路，巧妙借助特殊化类比的方法对图中的阴影之处进行观察，且把它们类比成两个半圆的面积，把图中各个部分的面积分别设为S「S2，S3，S4，S5，如图4所示，这样能够得到两个半圆的面积之和是Si+S：， +S4 +S2+S3 +S4，直角三角形ABC的面积是S3 +S4 +S$，阴影部分的面积是S1 +S2 +S4，则图中阴影部分的面积是两个半圆的面积减去三角形的面积，将相关数据代入到相应的公式之中，最终经过计算得出图中阴影部分的面积是1（反一16.

设计说明 这类试题不仅可以助推学生更好地巩固计算扇形面积的方法，还能够让他们回顾有关三角形面积的知识，教师指导学生巧妙借助特殊化类比的方法，将原题中复杂的内容变得简单化，借此改善他们的思维品质，使其通过不间断的解题训练逐渐养成善于思考的优良习惯.

4 结语

总而言之，在初中数学解题训练活动中巧妙借助类比法，能够驱使学生积极展开类比推理，激起知识迁移意识，这对增进他们知识理解程度、提升数学综合运用能力意义重大，教师需明确类比法在解题中的优势，引领学生通过专项解题训练慢慢形成类比习惯，使其善于寻求知识点之间的内在联系，全力提高他们的数学解题能力.

参考文献：

[1]杨梅.类比法在初中数学解题教学中的应用技巧[J].数学学习与研究，2023（07）：143-145.

[2]高钰良.浅谈初中数学教学中类比法对解题思维的促进作用 [J].读写算，2021 （03）：57 - 58.

[3]陈兆绪.类比中获新知 应用中显能力———从初中数学类比法解题谈起[J].数学教学通讯，2020（08）：68 - 70.