初中数学“综合与实践”项目化学习探索

谭云奇

【摘要】初中数学“综合与实践”实行项目化学习是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求.本文以“设计资江三桥”为例，以跨学科真实问题为导向，以学生活动为中心，经历从真实问题中抽象出数学模型，通过小组合作探究解决问题，形成成果.积累数学活动经验，改革教学方式，多学科深度融合，让学习成为一种包括情感体验在内的综合性活动.

【关键词】初中数学；项目化学习；综合与实践

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，初中阶段的综合与实践建议采用项目化学习的方式，把解决问题作为导向，整合其他学科知识，“让学生从数学的视角观察与分析、思考与表达、解决和阐述社会生活以及科学技术中遇到的现实问题”.引导学生从现有的知识经验入手，从实际问题中抽象出数学模型进而解决问题，积累数学活动经验，培养“四基”“四能”和核心素养.下面以“设计资江三桥”为例进行阐述.

1  项目概述

1.1  项目名片

项目名称：设计资江三桥；项目时长：3课时（课外一课时，课内两课时）；年级：九年级；学科：数学、物理（实地测量）、美术（大桥模型）.

图形的相似与锐角三角函数在解决现实问题中发挥着重要的作用，如工程、建筑中测量物体的长、宽、高，常常要用到这方面的知识.我们组织学生开展项目化学习，以“设计S235冷水江资江三桥”为项目线索，探究“测量河的宽度”“设计桥的模型”，综合运用数学、物理、艺术等学科知识，引导学生“做中学”，培养学生核心素养和高阶思维.

1.2  内容分析

“设计S235冷水江资江三桥”项目式学习活动，是建立在学生已经掌握了勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数的知识的基础之上.九年级的学生已具备一定的分析和归纳能力，“测量河的宽度”需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆地建立模型.但对实地测量还有一定的困难，因此在实地测量过程中需要物理教师的指导.

“设计桥的模型”需要美术教师的指导，从桥的形体、线条、光影等方面指导学生艺术创作.

用“测量河的宽度”“设计桥的模型”作为问题驱动，强调问题情境与生活经验及所学数学知识相结合，便于学生独立思考问题，开展小组合作探究，设计问题解决的方案，培养学生的创造性思维和社会实践能力.

2  知识与能力建构

2.1  核心知识

2.1.1  项目中的主要知识点

认识图形相似的含义，并了解相似三角形的性质和判定.掌握三角函数的定义，会用计算器求三角函数值.能根据实际问题中的数量关系构建直角三角形或相似三角形模型求解.对解决问题过程的可行性、完整性能准确有条理地表达和评价.

2.1.2  学科关键概念和能力

数据观念，模型观念，应用意识，创新能力.

2.2  项目目标

（1）构建相似三角形和三角函数模型解决生活中的实际问题.体验建立几何模型处理实际问题的一般方法，发展抽象能力和模型观念.

（2）在小组查阅资料、共同设计方案、实地测量中发现问题、提出问题，在合作测量数据、制作模型的实践操作中分析问题、解决问题，发展学生数学关键能力和跨学科素养.

（3）能够对设计方案做出合理的评价.

2.3  实施策略

“设计资江三桥”项目化学习，第一课时导入任务，教师分发项目单，指导学生分小组完成入项活动的资料查询、任务分工、工具准备、拟定方案，填写入项报告表.第二课时，按拟定的方案完成实地测量，选择桥梁建设方案，设计桥梁模型（用素描的方式描画外观、造型，展示学生的思维与创意，不要求画三视图，无需拔高要求）.第三课时，学生分组展示探究成果，开展组间交流评价活动，邀请相关教师和桥梁设计施工等方面专业人士参与评价.

3  设计

第1课时：项目启动

创设情境：（播放电视新闻）4月24日，冷水江市召开S235冷水江大湾里至禾青公路工程方案云端研讨会，该项目作为重点民生实事项目，写进了《政府工作报告》，是向全市人民公开作出的一项承诺.方案设计既要从解决大湾里交通拥堵问题着手，也要充分考虑冷水江长远发展、资江母亲河保护、人民群众对美好生活的向往及城市宜居宜业谋划等多方面内容……现向社会公开征集方案.

师：S235公路最关键的工程就是修建资江三桥，请大家按任务单要求提前做好准备.

课前任务单

任务1：你能测量出资江河的宽度吗？通过回顾知识、查询资料，了解测量物体长度、宽度、高度、角度的基本工具与模型，做好测量有关的物理知识储备.

任务2：请查阅资料了解桥梁设计的相关知识和素描方面的美术知识，用笔描绘出我们身边的资江三桥模型.

设计意图  教师用电视新闻导入，用真实情境引导学生搜集资料，激发学生的求知欲望，在教师的引导下完成资料的查找和学习，让学习成为一种包括情感体验在内的综合性活动.

第2课时：项目开展

任务1  制定测量方案

师生活动：学生根据课前知识储备，梳理出测量的常用方法和理论依据，制定测量方案.教师提出问题，强调实用性、简明性、可操作性等要点，布置任务.

师：大家都已经查找了相关资料，知道可以用学过的哪些知识测量物体的长宽高吗？哪位同学愿意上台展示一下你了解的测量知识？你们能预见你们的测量过程会遇到哪些困难吗？为了确保测量的准确度，你们会采用哪些措施？户外测量要做好哪些保护措施？

学生活动1：分组确定测量方案（每个组的方案原则上不重復，但鼓励尝试多个方案，取测量平均值），写出河宽与河岸上测量线段之间的数量关系.

方案1，河宽

DE=AB·tan∠DBE·tan∠DAEtan∠DBE-tan∠DAE；

方案2，河宽DE=AE·tan∠DAE

方案3，河宽

CD=AB·tan∠CAB·tan∠CBAtan∠CAB+tan∠CBA；

方案4，河宽GF=EF·ACBD；

……

设计意图  鼓励学生用尽可能多的方法设计方案，培养学生的发散思维、创新能力.

任务2  实地测量，收集数据

师生活动：学生准备测量需要的工具和仪器，并在教师的指导下填写研究报告中的数据采集信息，学生小组分工合作，按既定的设计方案测量所需要的数据.物理教师负责指导测量工具的使用，告知减少误差的方法.数学教师指导学生数据的收集和整理，减少由地形影响导致的测量误差.美术教师指导学生创作，班主任负责学生的安全.

学生活动2：选取工具.包括：水平仪、标杆、皮尺、激光笔、测角仪、计算器、秒表、信号枪.

学生活动3：人员分工，实地测量，计算结果，填写研究报告.表1为其中一个组的研究报告.

学生活动4：分组讨论产生误差的原因及减少误差的方法.

设计意图  设计解决问题的方案时，既要考虑方法的多样性，又要考虑方案的简洁性，同时还要考虑实地测量的可操作性，渗透数学优化思想.同时巩固相似三角形和三角函数知识.

任务3  获取结论，设计桥梁

师生活动：学生回到教室，以小组为单位，根据桥梁功能，讨论桥梁设计模型，完成“设计资江三桥研究报告书”.数学教师指导学生对数据汇总和整理，指导学生进行数据运算，指导小组间比对结果，反思模型的合理性及测量结果的误差来源，提出修正方案的建议.美术教师指导学生开始构思，着手创作.

图4

学生活动5：分组讨论桥梁的设计方案，一人负责描绘，其他人提修改意见.图4为几个小组设计的“资江三桥”模型.

设计意图  通过合理使用数据，建立模型计算出河的宽度，加深对所学知识的理解；经历用数学知识处理实际问题的过程，积累数学活动经验；经历数学与美术知识融合解决问题的过程，发展数学思维与艺术素养.

第3课时：项目作品展示与评价

任务1  分组展示研究成果

师生活动：教师按学生的设计方案安排展示顺序，学生分享设计方案及理由、测量过程及具体数据、大桥设计理念.各小组派一位成员展示研究成果，其他组员负责补充解释.其他小组可以提出质疑，展示组负责解答并优化.

学生活动1：展示研究成果.项目小组全员参与，负责人展示研究报告，展示自己的设计作品，讲述测量过程和结果、遇到的困难、解决的办法、体会和感悟等.其他小组做好记录，待展示完成再提出疑问，由展示小组解释补充.小组互评和教师评价相结合.

活动1教学片段：

生：我们组展示的是构造X型相似测量河的宽度.

如图5所示，我们在C，E，B，A处设立标杆，某同学从C处沿河垂直的方向走到D处，发现D，E，A三点在同一直线上，插上标杆D，此时我们测量出CD=21米、CE=18米、EB=360米；因为△CDE∽△BAE，所以CD：AB=CE：EB，得到AB=420米.

生：我们组还发现用发令枪和秒表也可以测量河的宽度，因为声音的传播速度是每秒340米，而光的传播速度也很快，所以看到发令枪冒烟开始计时，听到声音卡表，用时间乘以340就可以计算距离.

生：我们的桥梁设计采用斜拉桥的方式设计，斜拉桥由斜拉索与主梁共同承受荷载，我们翻阅资料了解到河床下面是煤海，不适宜建立桥墩，同时考虑到冷水江市是一个工业城市重型货车比较多，所以我们考虑到桥梁承重能力设计了双斜拉索，同时为了缓解交通拥堵我们将桥设计为双向四车道.

师：说得很好，其他组的同学有什么问题吗？

生1：（质疑）我认为A处不必要设立标杆，在对岸找一个參照物就可以.

生2：（质疑）怎么确保AB⊥BC ？

师：对于两位同学提出的质疑，请第五小组的同学再去优化方案.

学生活动7：小组开展自评、互评，教师和专家点评学生活动.下面以第五组的学习评价量化表为例说明.

本节课共有55名学生参与，参与评价的教师3名，家长5人，专业设计人员2名，表2是第五组的评价统计表，其中综合评价在90-100分的记为“优”；80-89分的记为“良”；60-79分的记为“合格”；60分以下的记为“差”.

设计意图  通过成果展示、相互评价，培养学生深度思考和评判性思维，逻辑推理及口语表达能力.

任务2  活动反思，方案修正

师生活动：学生针对其他小组的评价和教师、专家提出的建议，进行反思，讨论并完善方案.教师主持活动，指导学生从测量操作流程、测量数据的误差校正等方面展开修正.

学生活动8：各小组根据综合评价和专家的点评完善设计方案.

设计意图  鼓励学生互相讨论，让学生交流自己的反思和经验.培养学生的数学应用意识，及运用所学的知识解决实际问题的能力，让学生学会用数学的眼光观察现实，用数学的思维思考，用数学的语言表达.

任务3  总结成果，实践应用

师生活动：总结构建直角三角形或相似三角形模型解决实际问题的方式，推广应用到其他项目的测量，指导学生解决在测量中遇到的问题.

学生活动9：（1）总结成果：将研究报告、模型设计方案整理成册，在校内公开展示.

（2）知识迁移：如何运用测量河宽的经验测量山的高度呢？你觉得会有哪些方面的异同？

设计意图  巩固已有成果，迁移所学知识，用已有的实践经验，解决新的实际问题.

4  项目思考

“设计资江三桥”课例，是数学中利用已有知识解决实际问题的一个本土化真实案例，是跨学科项目化学习的一个有益的尝试.该课例的主要特点如下：

4.1  丰富学生的社会实践体验

本项目选取“设计资江三桥”这一现实的问题情境作为主题，为学生提供了反映抽象数学内容的载体和原型，学生在学习中必须整合教学内容，运用跨学科的知识，从综合与实践的角度理解和应用相关知识.学生在项目中有足够的自主空间和活动机会，突出了学生的主体地位，增加了学生的学习经历，让学生获得了更丰富的学习体验.

4.2  培养学生的数学核心素养

（1）小组成员（六人一组）把教科书上测量山高、测旗杆与测河宽作比较，通过分析、综合，把实际问题抽象为数学问题，将数学问题归纳为图形相似和三角函数问题，从感性认识上升到理性认识，培养了抽象能力.

（2）学生从多角度尝试测量资江河的宽度，涉及“勾股定理”“相似三角形”“三角函数”“标杆测量”“镜面反射原理”“用声音测距”等知识，每一种方法都有相应的推理证明依据，都对知识进行了相应的加工，形成正确的表象，体现了数学逻辑推理素养.

（3）学生通过小组协作研究，经历模型假设—模型建立—模型求解—模型分析—模型检验这一过程，反映了数学建模素质.

（4）学生实地测量采集数据，对数据进行整理，为了确保测量的准确性，多次修正测量工具，使用激光瞄准仪，高精度水平仪，提高测量的精确度，多次测量取平均值，制作数据采集表进行数据分析，体现了数据分析素质.

从评价量化表可以发现，学生“解决问题”的得分总体偏低，说明学生普遍缺乏社会实践体验，创造性解决实际问题的能力有欠缺.承载现实问题的实践活动是课本知识和现实问题之间的桥梁，也是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的平台，同时还是发展学生核心素养的良好载体，因此在教学实践中设计一些问题真实、有挑战性，学科融合科学合理，过程完整，成果豐富的项目化学习，符合新课程标准的要求，可以起到“一桥飞架南北，天堑变通途”的目的.

【本文系湖南省基础教育教学改革研究项目《初中数学“综合与实践”课程教学中存在的问题与对策研究》项目编号Y20230548课题中期成果】

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］黄雄.初中数学“综合与实践”课程教学改革研究［M］.厦门：厦门大学出版社，2021（05）：140-145.

［3］夏雪梅.项目化学习设计：学习素养视角下的国际与本土实践［M］.北京：教育科学出版社，2021（03）：165-169.

［4］沈杰，郭衎，周远方.跨学科主题学习设计与实施［M］.北京：教育科学出版社，2023（08）：198-211.