渗透数学思想 彰显核心素养——以“二次函数与一元二次方程”的设计与思考为例

⦿ 甘肃省高台县第二中学 王丽娟

教育部颁布的《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确指出:数学课程设计要体现数学学科特征,要符合学生的认知规律,有助于学生理解、掌握数学的基础知识和基本技能,形成数学基本思想,积累数学基本活动经验,发展核心素养[1].由此可见,在平时的教学中潜移默化地渗透基本的数学思想方法,提升核心素养至关重要.笔者结合多年的一线教学经验,对学生核心素养的培养也做了一些探索和反思,下面就以“二次函数与一元二次方程”的设计与思考为例,谈谈自己的认识.

1 教学设计

1.1 复习旧知,引入课题

教学内容:复习一次函数与一元一次方程的联系以及一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式.

师生活动:教师先利用希沃白板展示3道小题,让学生思考并积极回答.

(1)一次函数y=x-1与x轴的交点坐标为______.

(2)一元一次方程x-1=0的解是______.

(3)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标为1,请直接写出一元一次方程kx+b=0的解:______.

设计意图：任何学习都是在学习者已经具有的知识经验和认知结构、已获得的操作技能、习得的态度等基础上进行的.通过复习环节,一方面巩固旧知,唤醒学生思维,另一方面为学习二次函数与一元二次方程的关系做准备,此处用到了类比的数学思想.

1.2 探索新知,得出性质

教学内容:研究二次函数与一元二次方程的关系,深刻体会数形结合思想在数学中的应用.

师生活动1:教师利用几何画板画出二次函数y=x2+2x的图象(图1),让学生直观观察该函数图象与x轴有几个交点以及交点坐标分别是什么.

图1

学生在教师的引导下,很容易发现二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点坐标分别是(-2,0),(0,0).接着,教师再引导学生用因式分解法求一元二次方程x2+2x=0的两个根,分别是x1=-2,x2=0.

师生活动2:同样地,利用几何画板画出二次函数y=x2-2x+1的图象(图2),让学生直观发现二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标是(1,0).同时,学生不难求得一元二次方程x2-2x+1=0的解是x1=x2=1.

图2

师生活动3:最后,请学生观察图3,课件出示二次函数y=x2-2x+2的图象,该图象与x轴没有交点,进一步通过计算一元二次方程x2-2x+2=0根的判别式得出Δ<0,因此这个方程无实数根.

图3

设计意图：利用数形结合,让学生直观感受到二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的情况和一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况有很多相似之处.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况,即有两个交点、有一个交点、没有交点;与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况,即有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根,亦即二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的个数是一元二次方程实数根的个数.再进一步,引导学生从“形”的角度来看,二次函数与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根(从“数”的角度)是相同的,从而顺理成章地突破了本节课的重点,提升了学生的思维.

1.3 抓住本质,学以致用

教学内容:通过例题的讲解学习,学生进一步夯实本节课的重点,体会恰当的数学思想方法对解题的简化和辅助作用.

例题一元二次方程ax2+bx+c=3的解可以看作是抛物线______与直线______交点的横坐标.

设计意图：此题着重体现化归思想,培养学生的发散思维能力,可以从不同的角度进行理解.一元二次方程ax2+bx+c=3的解可以看作是抛物线y=ax2+bx+c-3与直线y=0(即x轴)交点的横坐标,也可以看作是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交点的横坐标,还可以看作是抛物线y=ax2+bx与直线y=-c+3交点的横坐标.

1.4 提炼总结,收获感悟

这节课我们复习了哪些旧知?又学到了哪些新知?用到了哪些数学思想?你有什么收获?请同学们畅所欲言,勇于归纳总结.

师生活动:学生畅谈自己本节课新的收获.教师用课件出示知识要点,如图4.

设计意图：照应课中的复习旧知,让学生对本节课的内容进一步系统化,归纳新知识.课件中“新”“旧”知识的对比,实际问题数学化的建模,更增强了学生的直观感受,体会数学思想的独特魅力.

2 教学反思

2.1 前后贯通,衔接备课

数学经验是学习数学的基础,也是学习新知与情境创设的前提,北师大版数学教材也正好是按照这样的规律进行编排的,该教材最大的特点就是“螺旋式”上升,让学生在循序渐进中潜移默化地接受知识.九年级学生的思维处于继续由形象思维向抽象思维、逻辑思维提升的阶段,但由于学生认识、知识储备的差异,有一部分学生仍以形象思维为主,因此教师备课就要以旧知为基础,以学生已有的认知为切入点,通过对教学要求、教材内容、数学学科素养、教法与学法等方面的衔接探讨,进行衔接式备课.比如本节课,在讲授二次函数与一元二次方程的时候,我们在备课环节设计一次函数与一元一次方程的关系,通过类比,顺理成章地过渡到二次函数与一元二次方程的联系.

2.2 适度变式,举一反三

课堂是数学核心素养落脚的主阵地.学生学习的主要目的是由学会到会学,教师在例题的讲解和习题的设计上要凸显一题多解、一题多变.一题多解能培养学生的求异思维和发散思维,使学生学会多角度分析和解决问题;一题多变,可以加深学生对数学原理、通性通法的认识,在“异”中求“同”,得通法,在“同”中找“异”,探优法,从而促进学生创造能力、分析问题和解决问题能力的发展,这也与课程标准中提倡的核心素养一脉相承.

2.3 引领思维,内化思想

著名教育家弗赖登塔尔曾说过:“与其说让学生学习数学,不如说让学生学习数学化.”意思是学生学习数学的终极目标应该是形成自己的数学思想和方法,学会用数学的眼光看待事物,学会用数学的方法解决问题[2].多年的一线教学生涯使笔者坚定这样一个认识,即数学教师应该将渗透数学思想成为提升学生核心素养的有意识行为,“授之以鱼,不如授之以渔”,学生只有在教师这种长期有意识的熏陶下,慢慢领悟数学思想,切身体会到数学的奥妙,才能激发出学习数学的兴趣,才有可持续发展的潜力.总之,教之道在于“会导”,学之道在于“会悟”.如果教师在教学过程中把学生思维的培养和数学思想的渗透作为目标之一,那么我们相信学生核心素养的提升将不是一句空话!