搭建探究平台 促进思维深耕

⦿ 浙江省衢州新星初级中学 周灵龙

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:要选择能引发学生思考的教学方式,改变单一讲授式教学方式,注重启发式、探究式、参与式、互动式教学,让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想,积累基本活动经验,促进核心素养的发展.数学探究活动就是在表达、质疑、探究、讨论、理解等一系列过程中形成的一种主动探求知识以及重视解决问题的学习方式,是培养学生实践能力和创新精神的有效手段,可见探究活动在数学学习中有非常重要的地位.笔者在教学实践中积极探索研究,对于如何挖掘探究活动素材以及如何组织探究活动,有以下思考.

1 借题探究,激发思维寻本真

案例一(浙教版八上第63页探究活动)有甲、乙两个三角形,甲三角形的内角分别为10°,20°,150°;乙三角形的内角分别为80°,25°,75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗?画一画,并标出各角的度数.

大部分学生顺利解决了问题,如图1.

图1

追问:你还能找到这样能被分割成两个等腰三角形的三角形吗?自己画一画,并标出对应角的度数.

学生经独立思考、合作探究后能画如图2所示的结果:

图2

思考:这样的三角形存在怎样的特征?

结论1：直角三角形斜边上的中线将三角形分割成两个等腰三角形.

结论2：存在一个内角是另一个内角的两倍.

结论3：存在一个内角是另一个内角的三倍.

引导学生验证上述三个结论是否正确.

结论1显然成立.

对于结论2,不妨设∠A=α,∠B=2α,如图3,只需要在∠ACB中分割出∠ACD=∠A即可,很显然这里需要保证∠ACB>∠A,即0°<∠A<45°.

图3

对于结论3,不妨设∠A=α,∠B=3α,如图4,只需要在∠ABC中分割出∠ABD=∠A即可,很显然0°<∠A<45°.

图4

进一步探究,是否仅有三种可能性.

由题可知最小角不被分割,不妨设最小角∠A=α,分割的角是∠B或∠C是等价的,不妨分割∠B.

(1)当DA=DB时,如图5,则∠BDC=2α.若要使△BDC为等腰三角形,则有以下几种情况:

图5

若∠C=∠CBD,则此时∠ABC=90°;

若∠C=∠BDC=2α,此时存在一个内角是另一个内角的两倍;

若∠CBD=∠BDC=2α,此时存在一个内角是另一个内角的三倍;

(2)当BD=BA时,如图6,易得△BDC为钝角三角形,则有∠A=2∠C;

图6

(3)当AB=AD时,如图7,易得△BDC为钝角三角形,则有∠ABC=3∠C.

图7

综上,可得结论:若三角形为直角三角形,连接斜边上的中线,就可将三角形分割成两个等腰三角形;若三角形存在一个角是另一个角的2倍(较小角小于45°),则可分割第三个角,将三角形分割成两个等腰三角形;若三角形存在一个角是另一个角的3倍(较小角小于45°),则可分割三倍角,将三角形分割成两个等腰三角形.

解决问题：在△ABC中,∠A=30°,P,Q分别是边AC和BC上的动点,连接BP和PQ,把△ABC分割成△ABP,△BPQ,△PQC,若分成的这三个三角形都是等腰三角形,求∠C的所有可能值.

学生独立完成后,交流补充,形成解题思路.

因为∠A确定,所以分三类讨论:

当AB=AP时,∠CPB=105°,它被分割成两个角,只能是存在两倍角的三角形中的第三角或三倍角,则有四种情况,如图8.

图8

当PA=PB时,∠CPB=60°,它被分割成两个角,只能是存在两倍角的三角形中的第三角或三倍角,则有四种情况,如图9.

图9

当BA=BP时,∠CPB=150°,它被分割成两个角,因为不存在三倍角三角形,只能是存在两倍角的三角形中的第三角,则有两种情况,如图10.

图10

综上,∠C的度数有可能是10°,20°,25°,35°,40°,50°,80°,100°.

一次简简单单的探究活动,让学生“既见树木又见森林”,通过连续追问,让学生看到问题背后的数学本质.在学生完成探究活动中两个三角形的分割后,顺势而下追问“你还能找到这样能被分割成两个等腰三角形的三角形吗?”唤起学生的思考,激发学生的思维.当学生找到这样的三角形后,乘势而上追问“这样的三角形存在怎样的特征?”再一次激发学生的思维,让学生带着问题进入深度思考探究.一次次的追问,就是一次次地为学生搭建探究的平台.随着思维的深耕,学生找到了这类三角形的特征,也慢慢找到了数学知识的本质.同时,学会了怎样用数学思维思考现实世界的方法,揭示知识背后的本质属性,建立数学对象之间的逻辑联系,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,更为以后遇到类似问题进行思维上的迁移做了示范与引导,培养科学态度与理性精神.

2 引问探究,活跃思维寻本真

案例二复习动点问题:如图11,在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点P从点A沿边AB向点B以1个单位每秒的速度移动,同时点Q从点B沿边BC向点C以2个单位每秒的速度移动,设运动时间为t.根据以上条件你能提出哪些问题?

图11

引导学生根据题目所给条件对问题进行设计,学生提出的问题有:

问题1当t为何值时,△QDP为等腰三角形?

问题2当t为何值时,QP⊥QD?

问题3当t为何值时,△QDP为直角三角形?

问题4如果点P,Q运动到AB,BC延长线上时,△QDP为直角三角形,求t的值.

问题5当t为何值时,△QDC与以Q,B,P为顶点的三角形相似?

问题6当t为何值时,△QDP的面积与矩形ABCD的面积之比为5∶8?

问题7是否存在t,使△QDP的面积等于26?

问题8若△QDP的面积为S,试用t的代数式表示S,并求出S的最小值.

问题9四边形QBPD的面积是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明理由.

案例二中教师给出条件引导学生设计问题,一个又一个问题,搭建了探究的平台,激发了学生的学习兴趣.在兴趣的驱动下,学生设计出了难度逐渐增大的问题串,把分散的知识点进行梳理与整合,通过师生共同对问题的探究、挖掘、引申、加工改造,达到举一反三、触类旁通的目的.在“提出问题—解决问题”的反复循环过程中,培养了学生提出问题的能力,锻炼了学生用数学语言表达的能力,训练了学生的发散性思维,提高了学生解决问题的水平,切实提高了课堂教学的有效性和效率.

3 改题探究,开拓思维寻本真

案例三(浙教版八上作业本第34页)“正多边形的镶嵌”.

问题1用一种正多边形镶嵌平面.

以小组为单位,用正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形进行实验操作,能否只用一种正多边形镶嵌平面?

结论:由正三角形、正方形、正六边形能单独镶嵌平面,单独用正五边形、正八边形不能镶嵌平面.

探究:只用一种正多边形镶嵌平面的条件是什么?

结论:用一种正多边形单独镶嵌的只有正三角形、正方形、正六边形.

问题2用两种正多边形镶嵌平面,可能有哪几种组合?请用手头的正多边形试一试.

从简单的三角形入手,可以与正方形搭配.

设同一顶点处,正三角形个数为n,正方形个数为m,则有方程60n+90m=360,解得n=3,m=2,如图12.

图12

三角形与正六边形搭配.

设同一顶点,三角形个数为n,正六边形个数为m,则有方程60n+120m=360,解得n=2,m=2或n=4,m=1,有两种拼法,如图13.

图13

结论:由任意两个正多边形,可得an+bm=360(其中m,n为正多边形的个数,a,b为正多边形的每个内角的度数),通过有序思考可以得到所有能镶嵌平面的情况.

问题3用三种正多边形镶嵌平面.

根据问题1、问题2的探究,可得方程an+bm+cf=360,请找出一种镶嵌方式并画出图形.

易得1×60+2×90+1×120=360,所以1个正三角形,2个正方形,1个正六边形,可以镶嵌平面;又2×60+1×90+1×150=360,所以2个正三角形,1个正方形,1个正十二边形,可以镶嵌平面.如图14.

图14

问题4用四种及以上正多边形镶嵌平面.

经过思考,内角度数最小的四种正多边形的内角度数和已经大于360°了,所以不存在用四种及以上正多边形镶嵌平面的情况.

归纳总结,提出新问题“你还想探究什么问题?”课余时间请自行探究并设计美丽的正多边形镶嵌平面图形.

教师不满足“正多边形的镶嵌”学习中两个单一简单的问题,通过改动促使探究活动深入.改动正多边形的种类,从一种—两种—三种—四种及以上正多边形镶嵌,看似是条件的微改动,实则是探究活动平台搭建的大格局.在正多边形种类的不断增加中,学生的思维深度和广度也不断同步拓宽了,学生对于正多边形镶嵌问题的认识也在不断地更新,一直更新至“顶级配置”——正多边形的镶嵌问题最多可以有三种正多边形,促使学生运用已有数学知识解决实际问题,正多边形镶嵌问题的数学本真在开拓思维的探究活动中得以显现.学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程,学会用数学的眼光观察现实世界,理解现象背后的数学原理,感受数学在实际生活中的应用,体会数学的价值,欣赏并尝试创造数学美,形成对数学的好奇心与想象力,主动参与数学探究活动,发展创新意识.这样的探究活动变一道题为一节课甚至两节课,学习的时间可以被计量,但探究的价值却不可估量.

在数学的探究活动中,借助一道道数学题为学生搭建探究的平台,激发学生的数学思维,不断深入寻找问题本真;在课堂中,引发学生一次又一次提出问题,搭建探究活动的平台,学生在提出问题和聆听同伴问题的过程中,层层深入思考,思维进一步得到了活跃,寻求数学知识的本真;一次次条件的微改动,拓展了学生的思维,学生的思维在激发、活跃、拓展中不断得到深耕.长此以往,学生的学习力、思维品质、数学素养都会得到很大的提升.教师一次次设计探究问题、挖掘探究材料、搭建探究平台的同时,也是一次次探究的过程,教师的思维也得到了深耕.学生在成长,教师在提升,“教学相长”得到了生动的诠释.