由一道题谈求弦长的几种途径

摘要：求圆中弦长是培养几何推理能力的重要推手，它综合了初中几何重要性质与方法、基本图形的构建与不同图形的关联，是研究图形性质的绝佳素材.本文中通过一道试题，从已知与图形出发，分析图形内涵，构造辅助线，综合不同知识与方法，将线段或角进行转移，从而解决圆中弦长问题，帮助学生体会数学的转化策略，领悟数学的思想方法，提高数学核心素养.

关键词：辅助线；圆中弦长；一题多解

求圆中弦长问题是初中几何考查的热点，倍受大家瞩目，常常要分析弦所处的特殊位置及弦所在图形与其他图形的位置关系或形状关联.求弦长问题常与弧、圆周角、勾股定理及相似三角形、锐角三角函数等相结合.下面以一道试题为例探讨求弦长的几种常用方法.

1 原题呈现

例如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC的中点，过B，D，E三点画⊙O，交AC于不与点E重合的另一点F，连接BF.若BC＝4，AD＝43.

（1）求BF的长；

（2）求⊙O的直径.

2 解法呈现

2.1 第（1）问的解法分析

正如数学家庞加莱所说：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具.”由图形直观猜想BF与BC相等.由于BF与BC所在的三角形并不全等，因此应从已知的特殊条件去分析.由两个中点想到中位线，由等腰三角形底边上的中线想到AD⊥BC，结合斜中线，继而运用等腰三角形、平行线进行等角转化.

方法一：利用斜中线和等腰三角形证角相等.

解：如图2，由等腰三角形“三线合一”知AD⊥BC，连接DE.在Rt△ADC中，DE为中线，由斜中线得DE＝CE，由等边对等角，知∠C＝∠EDC.

由同弧DF得∠CBF＝∠DEF，又在△ECD和△BCF中，∠C公共，所以∠BFC＝∠EDC＝∠C.

故BF＝BC＝4.

方法二：利用等弧和中位线证角相等.

解：如图2，连接DE，则DE为△ABC的中位线，所以DE∥AB，有∠EDC＝∠ABC＝∠C.由优弧BE得∠BFE＝∠BDE，则其邻补角∠BFC＝∠EDC＝∠C.

故BF＝BC＝4.

点评：上面两种解法从特殊条件——中点、等腰三角形出发，结合中位线、斜中线得到平行线或等长线段，并运用同弧进行等角转换，证得△BCF的两个角相等，从而求出BF的长.本题的一大难点是不易察觉同弧所对的圆周角.解题时要结合图形，联想重要的几何定理，作出辅助线，得出有关结论.

2.2 第（2）问的解法分析

2.2.1 策略一：运用勾股定理

设AD与⊙O交于点G，要求直径，先连接BG，由等腰三角形“三线合一”可证AD⊥BC，由直径所对的圆周角出现多个直角三角形，运用勾股定理建立方程；也可利用半径，过圆心O作弦或有关线段的垂线，出现直角三角形.

方法一：利用直径和双勾股建立方程.

解：如图3，设⊙O与AD交于点G，连接BG，FG.

易证AD⊥BD，则点O在BG上，即FG⊥BF.易证BD＝2，BF＝4.由平角，知∠AFG＋∠BFC＝90°.由两锐角互余，得∠DAC＋∠C＝90°.

又因为∠BFC＝∠C，所以∠AFG＝∠DAC，则AG＝FG.

设AG＝x，则GD＝AD－AG＝43－x.由勾股定理，得BG2＝GD2＋BD2＝（43－x）2＋22，BG2＝GF2＋BF2＝x2＋42，所以（43－x）2＋22＝x2＋42，解得x＝332.

故⊙O的直径d＝BG＝912.

点评：由已知条件容易发现90°的圆周角，建立双勾股模型，但设哪条线段长为未知数是证题关键，即如何发现AG＝FG.除了本方法外，还可运用同弧及斜中线来证明.如，连接DE，则AE＝DE，则∠DAE＝∠ADE，由GE得∠GFE＝∠ADE，所以∠DAE＝∠GFE.

方法二：利用半径及勾股定理建立方程.

解：如图4，过点O，E作BC的垂线，垂足分别为H，N，过点O作OM⊥EN，垂足为M，连接OD，OE.

由垂径定理，得HD＝12BD＝1.由中位线定理逆定理得，N为CD中点，则DN＝12CD＝1.由中位线定理，得EN＝12AD＝23.

易知四边形OMNH为矩形，则OM＝HN＝2.

设OH＝x，则MN＝x，EM＝EN－MN＝23－x.

由勾股定理，得OE2＝OM2＋EM2＝22＋（23－x）2，OD2＝OH2＋DH2＝x2＋12.解方程22＋（23－x）2＝x2＋12，得x＝534，则OE2＝9116.

故直径d＝2OE＝912.

点评：由弦及中点作出辅助线，利用半径及垂线，结合勾股定理建立方程.可见，在圆中构造直角三角形，是求解常见弦长问题的途径.

2.2.2 策略二：相似法

分析：要求直径，延长EO交⊙O于点P，则出现90°的圆周角，由此过点E作EN⊥CD于点N，则图中出现一对相似三角形.

方法三：作直径，用相似.

解：如图5，延长EO交⊙O于点P，连接EB，ED，PD，过点E作EN⊥CD于点N.易证∠PDE＝∠ENB＝90°，由同弧DE可得∠P＝∠EBN，则△EPD∽△EBN，所以EPBE＝DEEN，即EP=BE×DEEN.

又AC2＝AD2＋CD2＝52，则AC＝213，所以DE＝12AC＝13.又BE2＝EN2＋BN2＝（23）2＋32＝21，所以BE＝21.

故d＝EP＝BE×DEEN＝21×1323＝912.

点评：将所求的线段用PE抽象出来，又出现直角三角形，从而过点E作垂线，连接圆中弦，则出现相似三角形，构成比例式，即可求得PE.

2.3.3 策略三：三角函数法

分析：要求直径，需构造过圆心的弦，出现直角三角形，运用同弧所对的圆周角进行等角转化，并运用三角函数进行角与边之间的转化.

方法四：用弦BG构造直角三角形.

解：如图6，设⊙O与AD交于点G，连接BG，由∠BDG＝90°，知BG过圆心.连接GE，BE，DE，过点E作EN⊥CD于点N.由同弧GE及GD∥EN，得∠GBE＝∠GDE＝∠DEN.又AC＝213，所以可得cos∠GBE＝cos∠DEN＝ENDE＝2313.又BE2＝BN2＋EN2＝32＋（23）2＝21，则BE＝21.所以，在Rt△BEG中，直径d＝BG＝BEcos∠GBE＝21×1323＝912.

方法五：用OE所在的直径构造直角三角形.

解：如图5，连接EO并延长交⊙O于点P，连接PD，DE，BE，过点E作EN⊥CD于点N.

由“方法四”知，BE＝21，DE＝12AC＝13.

所以sin∠EBC＝ENBE＝2321，则

DEPE＝sin∠EPD＝sin∠EBC＝2321.

故d＝PE＝DEsin∠EBC＝13×2123＝912.

点评：直角三角形的边与角可以通过锐角三角函数来沟通联系.运用锐角三角函数的知识，可有效联系起圆中的角与弦或90°的圆周角及其他线段的关系.用锐角三角函数描述思考过程和解题过程，简洁明快，独辟蹊径，富有灵性.

除了上文列举的几种方法，求解圆中弦长问题的策略还有全等法、计算法、线段和差法等.解题时要根据题目的已知条件，从不同角度发挥几何直观、几何基本图形、图形分析的作用，进行几何模型的构建与几何推理，完成解题活动.