初中数学最值问题的解法

摘要：初中数学中，最值问题是一类非常基础，也是经常出现的问题.在初中数学的学习过程中，学生需要熟练掌握最值问题的各种解法，并能够根据具体题目的情况选择合适的解法进行求解.本文中主要针对几何最值问题、绝对值最值问题、与圆有关的最值问题、方程最值问题等具体解法进行探究.

关键词：初中数学；最值问题；解法

最值问题是初中数学教学中学生普遍感觉困难的问题，由于其范围较广，命题角度较为宽泛，学生常常无从下手，无法找到合适的切入点，而且这也是近些年来中考的重要考点.为了打开学生思维，提升解析和解题能力，帮助学生从困境中解脱出来，以下针对初中数学中几何最值问题、绝对值最值问题、与圆有关的最值问题、方程最值问题等的解法进行探究.

1 几何最值问题的解法

针对初中数学中的几何最值问题，在解题过程中，根据不同特征进行转化是解决这一问题的关键.解决方法包括：①三角形的三边关系——两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点之间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④圆的所有弦中，直径最长[J].

例1P是∠AOB内一个定点，点M和点N分别在边OA和边OB上运动，假如∠AOB为45°，OP的长为32，那么△PMN的周长最小值为多少？

解：分别以边OA和边OB为对称轴，作出点P的对称点C和D，连接OC和OD，那么点M、点N分别是CD和OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，即CD的长.

因为P，C关于OA对称，所以

∠COP=2∠AOP，OC=OP.

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD.

所以∠COD=∠COP+∠DOP=2∠AOB=90°.

又OC=OD，所以

△COD为等腰直角三角形.

所以=CD=2OC=2OP=6.

故△PMN的周长的最小值为6.

在初中数学几何最值问题中，除了应用几何图形的性质之外，还可以将函数思想融入其中加以解决，但是这种方法存在一定难度，可以结合实际情况进行应用.

2 绝对值最值问题的解法

在初中数学中，绝对值最值问题也是学生较为熟悉的问题.这类问题在求解的过程中，最常用的方法是利用绝对值的几何意义和数形结合思想进行分析.在教学过程中，教师要想帮助学生更好地解答绝对值最值问题，可以指导学生看到问题之后，结合题意画出草图，实现数字向图形的转化，让解题过程变得更加直观、形象，进而从草图中找到解决问题的关键，最终获取正确答案[J].

2.1 直接推理法

例2已知alt;－b，ab＞0，则|a|－|b|+|ab|+|a+b|等于（）.

A.2a+2b+abB.－ab

C.－2a-2b+abD.－2a+ab

解：由abgt;0，得

a，b同号.

又alt;-b，所以

a+blt;0.

所以a，b同为负数.

所以|a|－|b|+|a+b|+|ab|=－a－（－b）－

（a+b）+ab=－2a+ab.

故选答案：D.

评析：本题是直接应用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.

2.2 巧用数轴法

例3假设有理数a，b，c在数轴上对应的点如图1所示，化简|b－a|+|a+c|+|c－b|.

解：由图可知，agt;0，blt;0，clt;0，

且|c|gt;|b|gt;|a|.

所以b－alt;0，a+clt;0，c－blt;0，由此可得

|b－a|=a－b，|a+c|=－（a+c），

|c－b|=b－c.

故|b－a|+|a+c|+|c－b|=a－b－（a+c）+b－c=a－b－a－c+b－c=－2c.

评析：本题是利用数轴通过数形结合的方式明确字母的大小顺序，进而去掉绝对值.

3 与圆有关的最值问题的解法

针对与圆有关的最值问题，求解方法包括：①根据“三角形三边关系”求解；②动中有静，抓住不变量求解；③旋转比产生圆，多数情况下在相切时产生最值；④四点共圆（补充）.

解题策略包括：①直观感觉，画出图形；②特殊位置，比较结果；③理性分析动点运动过程中的不变条件，通过几何构建，寻找动量和定量之间的关系，建立等式，进行转化[J].

3.1 相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）

例4如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，假如⊙O和边BC一直存在交点（包括B，C两点），求线段AO的取值范围.

分析：首先，结合题意画出图形，然后解直角三角形，求出AC的长度，在这里分两种情况讨论就可以得到答案.

解：当⊙O过点C时，AC为直径，BC与圆切切.

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，所以

AC=cos 30°[J]5AB=23，则

OA=3.

当⊙O经过点B时，如图3所示，作OD⊥AB于点D，则

AD=12AB=2.

由∠A=30°，得

cos A=ADOA=32，所以

OA=433.

若⊙O与边BC始终存在交点，那么线段AO的取值范围为3≤OA≤433.

3.2 正弦定理

例5如图4所示，△ABC中，∠ABC=45°，

∠BAC=60°，AB=4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径，作⊙O分别与AB，AC相交于点E，F，连接E，F，求线段EF长度的最小值.

分析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.

过点O作OH⊥EF于点H，连接OE，OF时，EF=2OE [J]5sin∠EOH=2OE[J]5sin 60°，当半径OE最短时，EF的长度也最短.

解：由垂线段的性质可知，在△ABC中，AD是BC边上的高时，直径AD最短.如图5，连接OE，OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H.

因为在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4，所以

AD=BD=22，此时圆的直径为22.

根据圆周角定理可得

∠EOH=∠HOF=∠BAC=60°.

所以，在Rt△EOH中，

EH=OE[J]5sin∠EOH=

2×32=62.

根据垂径定理，可得EF=2EH=6.

所以EF长度的最小值为6.

4 代数式最值问题的解法

针对代数式的最值问题，可以应用非负数的性质进行解答.在实数范围内，m2+n2+p≥p，当且仅当m=n=0时等号成立，也就是m2+n2+p的最小值为p[J].

例6假设a，b为实数，求a2+ab+b2－a－2b的最小值.

解：a2+ab+b2－a－2b=a2+（b－1）a+b2－2b=a+b－122+34b2－32b－14=a+b－122

+34（b－1）2－1≥－1，即a2+ab+b2-a-2b≥-1.

当a+b－12=0，b－1=0，即a=0，b=1时，上述不等式等号成立.

因此，a2+ab+b2－a－2b的最小值为－1.

总之，最值问题在初中数学教学中属于重点内容，不管是平时考试还是中考，都会出现这种最值问题.因此，在初中数学解题教学过程中，教师要重视这类问题的总结、梳理与归纳，帮助学生明确最值问题的处理策略，了解不同最值问题的解决办法，进而灵活加以应用.

参考文献：

[1]葛于衡.如何解答初中数学最值问题[J].理科爱好者，2023（1）：125-127.

[2]孙伟迪.初中数学二次函数面积最值问题教学初探[J].数理天地（初中版），2022（22）：27-28.

[3]江桃.立足多元方法 凸显数学思维——初中数学函数最值大单元复习探索[J].试题与研究，2022（30）：25-27.

[4]田海霞.初中数学几何图形中有关最值问题的解题思路分析[J].数学学习与研究，2022（25）：155-157.