二次函数区间内最值问题初探

摘要：二次函数区间内的最值问题，是初中二次函数内容中的难点，一般可分为定轴定区间型、动轴定区间型与定轴动区间型三种类型.解决此类问题的关键是要抓住“三点一轴”，利用图象的对称性、增减性，借助数形结合的思想方法，使复杂问题简单化、抽象问题具体化.

关键词：最值；闭区间；数形结合；三点一轴

二次函数以其丰富的内涵和完备的理论体系，在函数中占有极为重要的地位.二次函数区间内的最值问题，是考查学生综合能力的好素材，能够很好地反映出学生对函数增减性、对称性、最值等知识的理解深度.此类问题，一般可分为以下三种类型：定轴定区间型，动轴定区间型，定轴动区间型.影响二次函数在闭区间内的最值主要有三个要素：抛物线的开口方向，对称轴，给定的区间的位置.解决此类问题要抓住“三点一轴”（顶点，两端点，对称轴），利用图象的对称性、增减性，借助数形结合的思想方法，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.

1 类型一：定轴定区间求最值

对于二次函数对称轴确定、区间确定的最值问题，可以先求出区间两个端点（假设能取到）以及顶点的坐标，然后判断顶点是否在区间内.若顶点在区间内，则二次函数的其中一个最值就在顶点处取得，另一个最值在某端点处取得；若顶点不在区间内，则函数的两个最值都在端点处取得.

例1若函数y＝x2-6x+5，当2≤x≤6时的最大值是m，最小值是n，求m-n的值.

分析：该二次函数的顶点坐标为（3，-4），当2≤x≤6时，图象过顶点，二次项系数为1，图象开口向上，此时最小值n为-4.因为|6－3|＞|2－3|，抛物线开口向上时，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，所以，当x=6时，函数的最大值m为5.所以m-n=9.函数的图象草图如图1.

例2已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在-2≤x≤2时有最小值-2，求m的值.

分析：该二次函数的二次项为字母参数m，正负性不确定，故需要分类讨论.根据二次函数的性质，易求其对称轴为直线x=-1，当-2≤x≤2时，抛物线的顶点在区间内.当m＞0时，因为图象开口向上（如草图2所示），所以，当x=-1时，函数的最小值为-2，代入函数表达式，得方程m-2m+1=-2，解得m=3（符合m＞0）；当m＜0时，图象开口向下（如草图3所示），图象上的点离对称轴越远，函数值越小，所以，当x=2时，函数的最小值为-2，代入表达式，得方程4m+4m+1=-2，解得m=－38（符合m＜0）.综上所述，m=3或－38.

小结：解决此类问题的一般步骤可归纳为——画出函数草图，代入端点求值，描出区间内图象，判断函数最值.

2 类型二：动轴定区间求最值

二次函数的对称轴位置随参数变化，而区间固定，此类求函数最值问题的方法是，根据二次项系数确定开口方向，画出草图，用参数表示二次函数的对称轴，令两端点值关于对称轴对称，求出此时的参数值，平移对称轴，根据函数增减性确定参数范围.

例3已知y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，求实数a的取值范围.

分析：该二次函数的二次项系数为1，其图象开口向上，对称轴为直线x=a－12，画出草图.令x=1，x=3时，函数值相等，求得此时对称轴为直线x=2（如图4），得方程a－12=2，解得a=5，因为函数在x＝1时取得最大值，根据“开口向上时，图象上的点离对称轴越远函数值越大”，所以需要把对称轴向右平移，如图5与图6，则a-12≥2，解得a≥5.

例4已知抛物线y=x2+2bx+b+2，且抛物线在-1≤x≤2时的最小值是-3，求b的值.

分析：因为抛物线的对称轴为直线x=－b，所以函数在区间上的最小值在端点处取得，还是在顶点处取得是不确定的，因此，需要结合图象分类讨论.

当-b≥2，即b≤-2时，如草图7，在x=2处，y取得最小值-3.将x=2代入表达式，得方程4+4b+b+2=-3，解得b=－95（不在范围内，舍去）.

当-1＜-b＜2，即-2＜b＜1时，如草图8，在x=－b处，y取得最小值-3.将x=-b代入表达式，得方程b2-2b2+b+2=-3，即b2-b-5=0，解得b1=1+212（不在范围内，舍去），b2=1－212（符合）.

当-b≤-1，即b≥1时，如草图9，在x=-1处，y取得最小值-3.将x=-1代入表达式，得方程1-2b+b+2=-3，解得b=6（符合）.

所综上所述，b的值为1－212或6.

3 类型三：定轴动区间求最值

二次函数的对称轴位置确定，区间随着参数而变化，此类求函数最值问题的方法是，根据二次项系数确定开口方向，求出对称轴，画出草图，移动两端点位置，确定此时的最值，列方程求解.

例5已知二次函数y＝-x2+6x-5，当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m-n＝3，求t的值.

分析：该二次函数的二次项系数为-1，其图象开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，4）.由于区间随参数t而变化，不能确定抛物线的顶点是否在区间范围内，因此，需要根据区间范围画图分类讨论，确定最值.

若x=t，则y=-t2+6t-5；

若x=t+3，则y=-t2+4.

当t+3≤3，即t≤0时，如草图10，m=-t2+4，n=-t2+6t-5，由m-n=-t2+4-（-t2+6t-5）=3，解得t=1（不在范围内，舍去）；

当0≤t＜32时，如草图11，m=4，n=-t2+6t-5，由m-n=4-（-t2+6t-5）=3，解得t1=3－3（符合），t2=3+3（不在范围内，舍去）；

当32≤t＜3时，如草图12，m=4，n=-t2+4，由m-n=4-（-t2+4）=3，解得t1=3（符合），t2=－3（不在范围内，舍去）；

当t＞3时，如草图13，m=-t2+6t-5，n=-t2+4，由m-n=-t2+6t-5-（-t2+4）=3，解得t=2（不在范围内，舍去）.

综上所述，t=3－3，或t=3.

小结：解决此类问题的一般步骤可归纳为——画出草图，算出最值，描出区间内图象、解出方程、检验最值.

从以上例题可以看出，解决二次函数区间内最值问题的关键是抓住“三点一轴”，利用数形结合的思想，画出草图，描出区间内图象.当对称轴确定时，可以尝试平移区间；当对称轴不确定时，可以平移对称轴.根据图象判断顶点是否在区间内，从而确定函数的最值.