以典例引领思维，用训练构建方法

摘要：近几年，各地市的中考数学试卷中的热点考题，从形式上看都是起点高而落差低.尽管同一知识点的试题每年都以崭新的面貌呈现，但基本的解题思路大致相同.本文中以2023年江苏省镇江市中招考试的第22题为例，并选取三道课堂跟进训练题进一步构建思维方法.

关键词：中考试题;构建方法;分析与思考

中考试卷中的每一道试题都凝聚着命题专家的心血与汗水，可谓经典中的经典.然而，已经出现过的试题不会直接重现，即使解题思路完全相同，也是彻底改头换面.平面几何是初中数学的基础组成部分，涵盖平面内的点、线和角的关系，用形象的图形和抽象的推理打造了丰富多彩的数学思维方法.因此，教师在备考过程中需要帮助学生提升应用数学原理进行推理的能力、分析问题与解决问题的能力，以此形成数学学科素养.

典例（2023年江苏省镇江市中考试题第22题）如图1，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A=∠F，∠1=∠2.

（1）求证：四边形BCED是平行四边形；

（2）DE=2，连接BN，假设BN平分∠DBC，求CN的长.

试题分析：要解决的问题的特征有两点，一是证明几何形状，二是计算线段长度.这要求学生必备基本的几何定理、定律及逻辑推理的思维能力.

在问题（1）中，证明四边形BCED是平行四边形就必须根据平行四边形的判定（教材中给出五点，四边形必须具备：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③对角线互相平分；④一组对边平行且相等；⑤两组对角分别相等.每一条平行四边形的判定都必须具备两个条件，缺少一条都不能确定四边形是平行四边形）.由题干中给出角相等的信息可知，本题可以采用判定①或者⑤为证明的依据.根据∠A=∠F，得出DE∥AC.由∠1=∠2，∠1=∠DMF，得∠DMF=∠2（或

由∠1=∠2，∠2=∠ANC，得∠ANC=∠1），故BD∥CE.由此证明四边形BCED是平行四边形.

在问题（2）中给出了“假设BN平分∠DBC”的信息，由该信息可以提炼出“由角平分线得到一对角相等”，即由BN平分∠DBC，可推出∠DBN=∠CBN.由（1）可知四边形BCED是平行四边形，则EC∥DB，∠CNB=∠DBN（两直线平行，内错角相等）.因此，∠CNB=∠CBN，则三角形CBN是等腰三角形，即CN=BC=DE=2.

解题建模：①判断图形中的局部几何形状（如直角三角形、平行四边形、菱形等），先将几何形状的判定罗列出来，通过题干中给出的边、角关系，选择可能得出结论的判定.②计算某角度时，可以选择三角形的内角和、外角与内角的关系，或圆周角、圆心角等关系，或相似三角形的对应角的关系进行处理；计算某线段长度时，可以选择全等三角形、相似三角形的对应边成比例或直角三角形，还可以应用勾股定理等进行推理计算.

跟进训练1如图2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点.

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，四边形BFDE是正方形，求∠EBA的度数.

本题第（1）问为几何证明；第（2）问是计算几何图形中两线的夹角.与典例的考查方向相同，但考查内容截然不同.

解析：（1）中给出了菱形ABCD，可以得出关于菱形的性质：①具有平行四边形的性质；②菱形的四条边相等；③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.利用性质③可以得出∠BAC=∠BCA（当然也可以利用性质②得出BA=BC，再通过等腰三角形的性质判断两个角相等），则∠BAE=∠BCF.再结合题干中已知条件AE=CF，由三角形全等的判定定理就可以推断出△BAE和△BCF全等（两边和这两边的夹角相等）.

（2）给出了两个信息：∠ABC=50°，四边形BFDE是正方形.由于正方形是特殊的菱形，因此其四个角均是90°，故∠EBD=12∠EBF=45°，而∠ABD=12∠ABC=25°，从而得出∠EBA=∠EBD-∠ABD=45°-25°=20°.

创设意图：类比典例的解题思维进行跟进训练，使学生在同类型命题的训练中获取分析和解决问题的能力.这种类比训练，是将试题中的几何图形经过修改和变化，采用相同的分析方法与推理过程再次感悟中考试题的真谛，是一种学生运用数学思维方法的建构过程.但是这样的训练往往会导致题海战术式的刷题，使学生的内在潜力不能得到最大化挖掘.

跟进训练2如图3所示，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.

（1）求证：四边形OBCD是菱形；

（2）若∠BAD=58°，求∠CDO的度数.

本题与典例有着相同的需要解决的问题方向，但解决问题的思维方式产生了更宽泛的递进，需要通过作辅助线来完成推理.

解析：（1）要证明四边形OBCD是菱形，已经有“BC=CD，OB=OD”，只要能够证明其为平行四边形即可.利用三角形中等边对等角，可以推断出∠ABO=∠BAO，∠ADO=∠DAO.由三角形的外角与内角之间关系（如图4，作AO的延长线）得出∠1=2∠BAO，∠2=2∠DAO，即∠BOD=2∠BAD；也可以利用OA=OB=OD，点O是A，B，C三点所共圆的圆心（如图4，A，B，D三点共圆），利用圆心角和圆周角的关系推断∠BOD=2∠BAD.然后推断出∠BOD=∠C.连接BD（如图5），得出两个等腰三角形BOD和BCD全等，从而可以判断四边形OBCD是菱形.

（2）根据（1）的推断四边形OBCD是菱形可知，∠CDO=180°-∠C=180°-2∠BAD=180°-2×58°=64°.

创设意图：跟进训练能促进学生在变化的训练中深化分析和解决问题的能力.这种跟进训练，已经扬弃了例题在已有图形中的分析和推理模式，需要从作辅助线的角度出发，使得思维层面更高，培养学生更强的学习能力，有利于学生备考复习.

跟进训练3如图6所示，Rt△ABC的一条直角边BC在直线l上，且AC=BC.

（1）在图6中，作Rt△EFP，边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（留下作图痕迹）.经测量，得出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图7的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.猜测BQ与AP的数量关系和位置关系，并加以证明.

本题以作图来培养学生的动手能力，以测量来完成两条线段满足的数量关系和位置关系.在此基础上变换图形，然后猜测新的图形中两条线段满足的数量关系和位置关系，并给出相应的证明.与典例相比，本题得出的数据是直接测量出来的（作为新图形中的判断依据），这点与典例不同；而两条线段满足的数量关系和位置关系需要证明，与典例形式上相同.

解析：（1）在图6中，从点F（C）出发在l上向右截取FP=EF；连接点A（E），P即可得出满足条件的Rt△EFP（如图8）.用圆规量出AB=EP，用量角器量出∠BAP=90°，说明AB⊥EP.

（2）基于（1）所测量得出的结论判断图7中BQ与AP满足长度相等且互为垂直关系.而图7中的BQ与AP没有联系，因此需要延长QB交AP于点H，如图9.根据∠EPF=45°=∠CPQ，推断△CPQ为等腰直角三角形，得出QC=PC；在△APC和△BQC中，AC=BC，∠ACP=∠BCQ=90°，推断出△APC≌△BQC（SAS），则对应边BQ=AP.又根据∠APC=∠CQB，∠PBH=∠CBQ，故∠PHB=∠BCQ=90°，推断BQ⊥AP.

创设意图：跟进训练3与典例表面上没有明显的联系，但实质是相同的，只不过需要学生动手实践，在实验中形成使用几何工具的能力，同时帮助学生构建“猜想—求证—结论”的创新思维模式.