二次函数问题的分类例析

摘要：二次函数由二次项、一次项以及常数项组成，二次项系数的正负、一次项系数的大小以及常数的正负都会影响二次函数的图象特征、极值和在现实中的应用.文章借助初中数学经典习题研究了二次函数的特征与几何关系，分析了不同情况下如何理解和解决二次函数问题.研究发现对二次函数问题进行分类解析具有重要的意义，能够提升学生的对二次函数的理解和知识应用能力.

关键词：二次函数；经典习题；分类讨论；图象性质

二次函数是初中数学中的基础内容，其重要性不言而喻.对于学生来说，深入掌握二次函数的理论与应用能够培养数学思维和解决问题的能力.二次函数问题的分类例析可以帮助学生在不同情况下更好地应用二次函数的知识.

1 有关函数表达式的基础问题

例1根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：

（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数.

（2）在一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面S（单位：cm2）是方孔边长x（单位：cm）的函数.

（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（单位：m2）是草坪宽度a（单位：m）的函数.

分析：以上题目主要是针对二次函数的表达式设计的基础类题目，考查学生对二次函数概念、特征掌握的熟练程度.第一小题根据题目给出的条件，可知函数的自变量是两个数中较大的那个数m，而因变量是这两个数的乘积p，因此，很容易列出关系式.第二小题根据题目给出的条件，可知函数的自变量是方孔的边长x，而因变量是圆的剩余面积S.由于四个正方形孔的大小相同，则剩余的面积是由圆的面积减去四个正方形孔的面积得到的，因此很容易得出关系式.第三小题根据题目给出的条件，可知函数的自变量是草坪的宽度a，而因变量是郁金香的种植面积S.根据题意，绿地的形状是矩形，而郁金香的种植面积是矩形绿地的面积减去草坪的面积，因此很容易得出关系式.

解：（1）这两个数的乘积p与较大数m的函数关系为p=m（m-5）=m2-5m，符合二次函数的特征，属于二次函数.

（2）剩余的面积S（单位：cm2）与方孔的边长x（单位：cm）的函数关系为S=100π-4x2，是二次函数.

（3）郁金香的种植面积S（单位：m2）与草坪宽度a（单位：m）的函数关系为S=（60-2a）（40-2a）=4a2-200a+2 400.

2 有关二次函数与几何的综合问题

例2如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O为坐标原点，D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长.

分析：本题主要考查对二次函数和几何图形的理解和应用.通过分析抛物线与坐标轴的交点、抛物线的顶点以及矩形的特点，求解抛物线的解析式，并利用几何性质求解△ACR的周长.

（1）由已知条件可知，抛物线与x轴交点为A和B，坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）.同时，抛物线与y轴交点为C，坐标为C（0，c）.根据所给的矩形特点，可知点C，E的坐标，

便可轻松得出解析式.

（2）

根据题目要求，如图1右图，利用几何性质，先计算出△ACR的各边长，然后计算周长.

解：（1）由四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，可两

C点坐标为（0，3），E点坐标为（2，3）.将C，E两点坐标代入抛物线解析式y=-x2+bx+c，得

c=3，

-4+2b+c=3，

解得b=2，c=3.

故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

（2）由-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，则

A（-1，0），B（3，0）.

在Rt△AOC中，由AO=1，CO=3，可得

AC=OA2+OC2=10.

因为BO=CO=3，所以

∠OBC=∠OCB=45°，FM=BF=1.

因为RO∥MF，∠RAO=∠MAF，所以

△ARO∽△AMF，则ROMF=AOAF=13，解得RO=13.

所以CR=OC-OR=3-13=83，

AR=OA2+OR2=103.

故△ACR的周长为AC+CR+AR=10+83+103=8+4103.

3 有关二次函数的动点与极值问题

例3如图2，抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0）.

（1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；

（2）P是抛物线上的一点，并且落在第一限，连接PA，PB，求△PAB的面积S的最大值及此时点P的坐标.

分析：本题旨在让学生通过已知点和条件，求解抛物线和直线的函数表达式，并运用二次函数的性质来解决动点和极值问题.第一小题比较简单，根据点B（0，3）和点A（3，0），利用待定系数法即可分别求出抛物线和

直线的函数表达式.第二小题要在第一小题的基础上，根据函数表达式求解动点P的区间，然后求解△PAB的最大面积和对应的点P的横纵坐标.

解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0），可得

c=3，

-9+3b+c=0.

解得b=2，c=3.

故抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.

设直线AB的表达式为y=kx+m，

代入A，B两点的坐标，得m=3，

3k+m=0，

解得k=-1，m=3.

故直线AB的函数表达式为y=-x+3.

（2）如图3，过点P作PN⊥OA于点N，交直线AB于点M.

设点P的横坐标为a，则点P的坐标为（a，-a2+2a+3），

点M的坐标为（a，-a+3）.

由点P，M在第一象限，可得

PM=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a.

所以S△PAB=S△PAM+S△PBM=12PM·OA=12×3×（-a2+3a）=-32a-322+278.

故当a=32时，S△PAB有最大值，最大值为278，此时点P的坐标为32，154.

4 有关二次函数的现实应用问题

例4大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市.已知超市中某商品的进价为20元/件，售价为30元/件，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（为非负整数），每个月的销润为y元.

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围;

（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1 920元？这时每件商品的利润率是多少？

分析：该题主要考查学生对二次函数的应用能力.学生需要运用二次函数的概念和相关知识，建立起销售数量和售价之间的函数关系，并利用函数关系解决实际问题，如求最大利润和利润率.虽然此题有三个小题，但最主要的还是要写出函数关系式，然后通过函数关系式来计算最值问题[J].

解：（1）由题意，得y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1 800，其中0≤x＜4，且x为正整数.

（2）由（1），可得

y=-10x2+80x+1 800=-10（x-4）2+1 960.

因为二次项系数a=-10＜0，由二次函数的图象性质可知，当0≤x＜4时，y随着x的增大而增大.

又x为正整数，所以

当x=3时，y值最大，最大值为1 950.

故当每件商品上涨3元，即每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1 950元.

（3）由题意，可得-10x2+80x+1 800=1 920，化简得x2-8x+12=0，

解得x1=2，x2=6.

根据0≤x＜4可知，当x=2，即每件商品售价为32元时，利润恰好为1 920元，此时每件商品的利润率为

32－2020×100%=60%.

5 结论

二次函数的表达式决定了二次函数的图象特征，如开口方向、与坐标轴的交点以及极值等.在实际应用中，可以借助二次函数解决复杂的几何问题，发挥知识的实用性.因此，在教学和实际应用中，需要根据具体情况灵活运用分类讨论的方法，以解决不同类型的二次函数问题[J].同时，文章也为二次函数问题的进一步研究提供了方向，鼓励更多特殊情况下的分类讨论方法的探索和应用.

参考文献：

[1]高学贤.初中数学二次函数动点问题解题方法探究[J].数理天地（初中版），2023（17）：8-9.

[2]胡玉华.例析二次函数最值问题的解答方法[J].语数外学习（初中版），2023（8）：19-20.