问题驱动导向下的“二次函数”教学设计

⦿ 哈尔滨师范大学教师教育学院 宋 丹

弗赖登塔尔认为“数学是系统化了的常识”.数学知识内部以及数学与外部的联系非常重要,数学知识系统化使得数学教学有轮有廓,更利于学生数学综合能力的培养.

要想更好地用系统论的方法对教学内容进行组织安排,教师应采用问题驱动教学法进行教学设计.以学生为主体、教师为主导,让学生围绕问题获取真知,促使学生更好地感悟数学概念本质,发展思维,激发学习数学的积极性.

1 教材分析

二次函数是初中数学函数内容的主干知识,二次函数的学习不仅进一步加深学生对函数知识的掌握,也常与其他模块的数学知识进行综合应用,也为构建学生的数学知识体系奠定良好的基础[1].

2 学情分析

二次函数是在一次函数后,继续进行深入学习的内容,且二次函数作为概念新授课,需要学生经历从特殊到一般抽象、概括并定义二次函数概念的过程,因此对学生的探索、推理能力有较高的要求.

3 教学目标

(1)认识二次函数,认识二次项、一次项、常数项,列出二次函数关系式,并求出函数自变量的取值范围.

(2)经历独立思考和小组合作,学会从知识的整体性出发多角度看待问题,体会数学知识中蕴含的科学精神.

4 教学设计

环节1：情境引入,温故知新.

图1

如图1,河源新丰江音乐喷泉,号称“亚洲第一高喷泉”,泉水在空中呈曲线运动落回地面,在水珠的运动曲线上,水珠距离地面的竖直高度h与水珠的水平移动距离x之间有什么关系[2]?通过本节课的学习,我们一起解开这个谜题吧.

设计意图：弗赖登塔尔认为,教育应该扎根于现实.利用喷泉作为探究对象,培养学生用数学语言描述问题的能力,促使学生用数学的眼光看世界.

环节2：自主探究+引入概念.

图2

问题1正方体的六个面是全等的正方形(如图2),设正方体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为______.

预设：y=6x2(记为①).

图3

问题2如图3所示,多边形所有对角线条数t与多边形的边数n是否具有函数关系?

师：如果多边形有n条边,那么你能计算出这个多边形有多少个顶点么?如果从一个顶点出发,你能作多少条对角线?

预设：n;n-3.

追问：n边形的对角线总数______.

师：通过②式可以得到多边形对角线的条数t与边数n之间存在函数关系.在n的取值范围内,对于每一个确定的n值,都有唯一确定的t值与之相对应,所以t是n的函数.

问题3某鞋袜工厂的一款新型球鞋今年的年产量是20件,计划今后两年提高生产量.如果设定每年在上一年的基础上增加x倍,那么两年后球鞋的生产量y将随x的值而确定,你能确定y是x的函数吗?

师：球鞋今年的生产量是20件,你能分别求出一年后和两年后的产量吗?并写出y与x之间的关系式.

预设：20(1+x);20(1+x)2;y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20(记为③).

师：通过③式,我们发现对于任一确定的x的值,都有唯一确定的y值与之对应,所以可以确定y是x的函数.

问题4函数①②③有什么共同点?

(学生以小组形式进行讨论并总结.)

追问1：请认真观察三个函数的解析式,并填表1.

预设：表1中三个函数的自变量与因变量分别为x,y;n,t;x,y.

追问2：这些函数有什么共同点?它们和以前学习的一次函数一样吗?能否写出它的一般形式?

预设：每一个函数自变量的最高次数为2.

二次函数的定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.

问题5二次函数有没有其他特殊表示形式呢?

(学生对二次函数的各项系数展开讨论,并进行总结.)

二次函数的特殊形式：

(1)当a,c≠0,b=0时,y=ax2+c.(不存在一次项.)

(2)当a,b≠0,c=0时,y=ax2+bx.(不存在常数项.)

(3)当a≠0,b=0,c=0时,y=ax2.(只含二次项.)

设计意图：章建跃提出“概念教学要让学生经历概括的过程”,引导学生体会定义二次函数的过程,掌握二次函数的本质,培养学生数学抽象与概括能力.

环节3：练习巩固,突破难点.

例下列函数中是二次函数的有______.

(学生进行自主思考并回答问题.)

预设：①⑤⑥.

教师协助学生改正错误并总结运用定义判断一个函数是否为二次函数的步骤：

(1)首先将函数解析式调整为等号左侧为因变量、右侧为自变量的表达式的形式;

(2)判断函数解析式能否转化成整式;

(3)判断自变量的最高次数是否为2;

(4)判断二次项系数是否不等于0.

设计意图：培养学生观察、辨别和发现问题的能力,以及合作探究意识和语言表达能力,提高学生计算和推理能力.

环节4：总结反思.

(1)我们是如何开展本节课的学习的?

(2)什么是二次函数?二次函数解析式对系数、次数有什么要求?

设计意图：通过回顾、总结、检验学生的认知情况,培养概括能力;梳理本节课的探究思路和研究方法,明确本节课学习重点,突破二次函数学习难点,初步掌握函数的学习方法.

5 教学反思

全美数学教育研究中心提出：“学生要在理解中学习.”本节课属于概念新授课,教师往往采取“重应用”“轻讲解”的教学模式,但数学学习并不能采取“告知”的形式,否则学生会很难理解二次函数的“一一对应的函数关系”.因此,本文中采用问题驱动模式引导学生从现实问题中自主构建二次函数的概念,促进学生加深数学理解.教师结合学生已有的一次函数的基础,以问题驱动作为主线展开教学;利用探究式学习引导学生抽象、概括二次函数的定义;结合多个现实问题的解决,培养学生类比的数学思想;通过例题训练,强化知识的应用,提高学生数学辨别和运算能力;引导学生合作交流,总结学习二次函数的重要性,促进学生的数学系统性学习观念.

史宁中教授指出,数学教学应该由“点”走向“团”,从零散走向集合,这样的教学才不能称为应试之教.在本节课的教学设计中,始终贯彻建立数学知识系统的思想,在学生学习一次函数的经验基础上,类比一次函数与二次函数,使学生理解一一对应的现实意义,进而总结出二次函数的定义.