基于深度学习的问题式数学概念教学策略研究

李赛花

摘 要：传统数学概念教学“轻过程、重结果”，往往是“介绍概念—说明内涵—阐述应用规律—例题讲解”的“灌输式”教学，忽视概念的发现、发生和形成，概念学习退化为“概念—性质—注意事项”教师主導的学习过程，不能有效地体现学生的主体地位。深度学习下的问题式数学概念教学倡导的是让学生亲身经历、体验、感受的教学法，通过课前预习、资料查阅、合作探究、课堂交流等方式了解概念的由来与发展，把握概念的内涵，理解概念的核心与本质，在解决问题中应用概念。在数学概念教学过程中，教师引导学生以问题为切入点开展学习活动，通过鼓励学生提出问题，引导学生深入理解数学概念，实现学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的培养与提升。

关键词：数学概念；深度学习；数学问题；教学策略

根据《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订），高中数学教学应当侧重于核心概念和基本思想，在日常教学过程中加强学生对数学概念的全面深入理解；要提高学生从数学的角度发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力（简称“四能”）[1]。随着新课标的深入实施，高中数学的概念教学受到了前所未有的重视，在高中数学概念教学中引导学生提出问题对实现深度学习有重要的意义。

对数学概念的深度学习是学生主动形成数学概念，批判性地运用数学思维，最终充分理解数学概念并善于应用数学概念的学习应用策略[2]。学生在不断解决数学问题的过程中得以提高自己的数学能力，基于深度学习的数学概念教学模式除了肯定学生的主体地位，还应鼓励学生提出问题，在教师的引导下对数学概念进行探究，最终可以理解概念，应用概念，解决问题。笔者结合20余年的一线教学经验，给出基于深度学习的问题式数学概念教学法的七个教学策略。

一、设置预习作业，引导学生在自学数学概念时提出数学问题

在数学教学过程中，教师需要关注学生良好学习习惯的培养，良好的学习习惯会让概念教学取得事半功倍的效果，其中预习就是一种良好的学习习惯。教师在概念教学前布置预习作业，学生通过阅读书本或教师提供的相关资料，提前对数学概念进行初步了解，通过预习作业帮助学生熟悉问题并提前进入学习状态，使学习变得更有目的性和主动性，在课堂上提出与概念相关的数学问题。

例如，在学习“正弦函数图像”相关知识前，布置学生阅读课本，并试着画正弦函数的图像，教师收集汇总学生的预习作业。通过作业发现一些学生将正弦函数的图像画成了半圆、抛物线、折线等，这些错误恰好就是学生的问题素材，比如，正弦函数图像的变化趋势是什么？图像上的关键点有哪些？图像的凹凸性该如何把握？等问题，正确的图像背后就是正弦函数的概念。教师可以引导学生观察不同学生所画的不同图像，通过发现这些图像的区别与联系，提出自己的疑问。在实际教学中，有的学生提出：为什么有的图像是折线，有的是曲线？有的学生提出：为什么不能把图像画成内凹形？还有学生提出：造成这些图像不一样的原因是点取的不一样还是点取的个数不够呢？这些问题可以引发更多的学生去思考正弦函数图像的正确画法到底是什么，极大地调动了学生学习正弦函数图像的积极性与主动性，有利于课堂教学的开展。结合课堂上的分析，引导学生进一步总结出正弦函数图像的正确画法及关键步骤，促进学生对正弦函数图像的深度学习与理解，同时提高学生的作图、识图、用图能力。

二、引导学生在数学概念学习中提出数学问题

数学概念学习过程中，学生由于不懂提问而极少提问，教学中教会学生如何提出问题可以促进数学概念深度学习[3]。在实践中，笔者通过开设专题讲座培养学生的课堂提问能力，引导学生在数学概念学习中，要对逻辑复杂的知识点、新旧知识的联结方式、教学重难点进行提问，还可针对概念定义、公式推导、解题思路等提出问题，思考过后，交流自己的见解。数学概念之间存在着众多联系，在进行数学概念教学时，指导学生对数学概念的关联知识或者适用条件进行提问，鼓励学生说出自己的疑惑和不解，在教师指导下经历独立思考与逻辑分析，深刻地理解与掌握、灵活地运用数学概念。

例如，在讲解“等比数列”概念时，学生可以对“同一个常数”“从第二项起”等关键词进行提问，提问范例包括“常数是否可以为零”“若仅有一个条件是否可以”“什么反例能说明不可以”等问题。带着问题学习数学概念，学生对数学概念可以加深理解，牢固记忆，灵活运用。

三、启发学生从丰富的情境中提出数学概念的本质问题

深度学习要求学生参与到知识建构的过程中，在数学概念的学习中不断思考和探究概念的形成过程、概念的条件和结论，让学生能够理解概念的来龙去脉、概念的内涵和外延[4]。深度学习注重学生的主体性，教学活动以学生为中心，教师充分激发学生的探索欲，围绕数学概念创设情境，引导学生提出问题，培养数学思维，发展数学能力。

这些情境要根据不同的数学概念进行创设，它可以与生活实际相关，可以与之前所学的知识相关，也可以与某一科学技术相关，只要与学生生活相关又能引导学生形成概念的情境都是引发学生提出问题的好素材。

例如，在学习“函数”概念的时候，可以创设如下问题情境：2021年8月5日，中国队小将全红婵以完美的五跳中三跳满分，总分466.2分拿下女子跳台历史单场最高分，夺得2020东京奥运会跳水女子单人10米跳台金牌。

情境1：通过表格给出全红婵决赛5次跳水成绩。第1跳82.5分，第2跳96.0分，第3跳95.7分，第4跳96.0分，第5跳96.0分。

情境2：全红婵在决赛某一次跳水中，从静止开始在10米跳台下落，下落的距离（单位：）与下落的时间（单位：）之间近似地满足关系式。

情境3：通过给出全红婵决赛那天8月5日东京24小时内的气温变化图，考虑温度（℃）与时间（）的关系。

基于学生在初中已经掌握的函数概念，引导学生观察这些情境的共同特征，启发学生提出一系列与函数概念相关的数学问题，比如三个情境中都涉及了两个变量的范围，这是否是函数概念中的关键点？初中的函数概念指的是一个变量随另一个变量的变化而变化，高中的函数是否也可以这样定义，还是有更好的定义方式？情境1给出表格，情境2给出具体的函数解析式，情境3给出图像，这三个情境是否存在函数关系，等等。这些问题的提出可以引发学生对函数概念进行深入的思考，发现函数概念的本质特征。因此，在概念教学中，应该把概念的形成过程交给学生自己去体验和感悟，让学生通过提出触及概念本质的数学问题，实现对数学概念的深度学习。

四、利用教师设计的问题串促使学生提出数学概念相关问题

数学课堂的一个重要标志就是思维的碰撞，这需要一个源问题，即引起思维碰撞的源头[5]，在教学实践中可以设计一个问题或一串问题引起学生的思考，引導学生提出另一个问题或另一串问题，形成连锁反应，得出新的数学概念。

例如，进行“函数的单调性”知识点教学时，可以设计这样的问题串：

问题1：分析以下函数图像的基本特征：（1）（＞0）；（2）（＞0）

问题2：怎样利用数学语言来描述函数图像变化趋势？

问题3：怎样量化表述二次函数）（＞

0）的图像变化趋势？

问题4：函数单调递增的概念是什么？

问题5：你能举一个增函数的例子并用定义进行说明吗？

用这样的问题串，引导学生对函数单调递减提出相关问题：1.减函数的图像有何特征？2.如何定义减函数？3.已经学过的减函数的例子有哪些？4.函数单调性的概念有等价定义吗？5.利用函数的单调性可以解决哪些数学问题？等等。通过对这些问题的探究与解决，可以帮助学生对函数单调性的概念进行积极主动的建构，建立清晰而完整的概念体系。

五、利用信息技术引导学生提出数学概念的本质问题

高中数学概念有一个突出的特点，就是其高度的概括性和抽象性，学生得出概念有一定难度，而信息技术与数学学科相融合使得数学概念学习更加直观、易懂，如，可以利用几何画板、GeoGebra（一个结合几何、代数与微积分的动态数学软件）等数学软件的动态演示将抽象的数学概念变得形象而直观，有效地突破思维难点，同时教师可引导学生针对这一动态演示的过程提出与概念相关的数学问题。

例如，在“抛物线”相关知识的教学过程中，可借助几何画板进行动态演示，构造一个到定点与定直线距离相等的动点，该动点的轨迹是一条抛物线。这一动态演示过程包含了许多可以提出的问题，教师可引导学生针对定点、定直线、轨迹形成，以及观察图像本身这几个关键环节进行提问。如定直线与定点之间的关系如何？动点满足的几何条件是什么？如何给抛物线下定义？动画中的抛物线与二次函数图像所对应的抛物线有何区别？通过以上问题，能够加深学生对抛物线概念的理解，实现对抛物线概念的深度学习。

六、组织学生通过合作探究学习，提出数学概念相关问题

每个学生看问题的角度不尽相同，学习能力也不尽相同，在开展概念教学的时候，尽可能地让学生去亲身经历、感受，通过与同学、教师的合作探究去学习概念的内涵，掌握数学的本质，掌握其中蕴含的数学思想和方法。在合作探究学习时，可以按照学生的不同思维水平进行穿插组合，教师明确学习任务与目标，每个小组进行探究，在轻松的氛围中，每个人根据自己的理解说出自己的想法与做法，在交流协作的过程中，学生会思考自己对概念的理解对不对，理解得深不深刻，思维产生了火花，这时就会提出新的问题，问题越辩越明朗，最后得出正确结论。

例如，在《平量向量的数量积》一课的教学中，涉及两非零向量的夹角概念的学习时，学生在两个向量不共起点时容易弄错夹角的大小。对于向量在上的投影向量的概念及其公式的理解，学生也存在一定难度。这时组织学生以小组为单位进行探究，互相交流，提出问题，举例论证，进行实操。实践证明，在小组探究中，学生加深了对两非零向量夹角的概念和向量在上的投影向量概念及其公式的理解，达到正确理解两非零向量夹角的概念和向量在上的投影向量的概念及其公式的目的。在听取小组报告时，如果有错误的观点，教师适当点拨，以鼓励为主，纠错为辅，让学生加深对数学概念的理解，实现深度学习。

七、通过变式训练引导学生提出数学概念相关问题

基于深度学习的高中数学概念教学要让学生参与概念的迁移与应用，发现数学概念的等价定义，挖掘概念的内涵，重视概念的应用，在新的情境中可以辨认出数学概念，进行外延和深化，提出相关的数学问题，促进学生进行深度学习。

例如，2021年新高考卷单项选择第8题：有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（  ）

A.甲与丙相互独立  B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立  D.丙与丁相互独立

本题考查的是事件独立性的概念的应用。运用事件的独立性的概念计算公式=，本题就非常容易解决，（甲）=（乙）=1/6，

（丙）=5/36，（丁）=1/6，对于选项A，（甲丙）=0，（甲）（丙）=（1/6）×（5/36），∴（甲丙）≠（甲）（丙），选项A不正确；对于选项B，（甲丁）=1/36=（1/6）×（1/6）=（甲）×（丁），选项B正确，而C，D选项可以仿照上面的方法判断出是错误的。

在解题时，学生往往会通过定性分析想当然得出结果，而容易忽略通过事件相互独立的概念来解决问题，结果得出错误的结论。这说明学生对数学概念的理解还停留在表面，不懂其内在深义，更不懂得对其进行应用与迁移，而深度学习要求要能促进问题的解决。通过变式训练，引导学生分析问题，提出问题：本题涉及了什么数学概念？用了什么解题方法？注意点和易错点是什么？通过这样的变式训练，对事件相互独立概念的理解有什么帮助？学生在变式训练中深化了对概念的理解与应用，同时通过进一步归纳总结并反思解题过程形成技能，达到深度学习的目的。

结束语

基于深度学习的问题式数学概念教学策略，是通过深度学习的方式，在学生深度参与数学概念的形成与应用的过程中，培养学生提出触及数学概念本质的数学问题的能力；旨在帮助学生实现对数学概念的深度理解，完成对数学概念的主动构建，形成完整的知识体系，并能进行适当的迁移与创造，建立知识与情境的联系，提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力；旨在提高学生的数学思维，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析等数学核心素养以及创新和应用意识。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]朱耀洲.高中数学概念课教学实践[J].学周刊，2022（31）：52-54.

[3]宋艳丽.基于深度学习的高中数学概念教学[J].数理化解题研究，2022（21）：52-54.

[4]吴有明.基于深度学习的高中数学概念教学实践研究[J].中学数学教学，2021（1）：1-5.

[5]孙德军.基于深度学习的高中数学概念教学研究[J].数理化解题研究，2020（30）：28-29.

本文系福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“基于深度学习的高中数学概念教学中学生问题提出的实践研究”（课题批准号：FJJKZX22-611）阶段研究成果。