高中数学作业分层设计的实践研究

邓霞 程保权

摘 要：高中数学作业的布置，其目的是巩固学科知识、深化学科内涵，检验学科综合水平的重要手段，然而深受传统应试教育模式的影响，部分高中数学教师在作业布置时，采用的是“题海战术”，這给学生的学习带来了极大的负担。高中文科、理科数学差异更加明显，造成更加差异化的学生群体，因此，在高中数学教学过程中，为了避免学生之间差异化而影响学生对数学知识点的掌握，则可以采用作业分层设计的方式，既能够极大地满足不同学生的学习需求，又能减少学生的学习压力。通过分层作业设计，可以使不同层次的学生在数学知识的学习时，实现对基础知识的充分掌握。基于此，在课题的引领下进行研究高中数学作业分层设计，并基于“直线与圆的位置关系”相关内容作为案例分析，以此为高中数学教师在作业分层设计时提供必要的借鉴与启示。

关键词：高中数学；作业分层；实践探究

高中数学作业设计采用分层设计的方式，可以对不同层次的学生展开个性化辅导与帮助，以此避免了传统机械式的作业训练。本文对高中数学作业展开分层设计分析，其目的是在作业分层设计时，以更加科学合理的方式对不同层次学生设计不同类型的作业，既能使学生在有限的时间内完成对数学知识的巩固，又能使所有学生掌握这些数学知识点。

一、高中数学作业分层设计的原则

（一）一体化原则

高中数学作业分层设计中的一体化原则是指将不同难度和要求的题目有机地结合在一个作业中，确保学生能够全面地掌握数学知识和技能。在作业分层一体化原则中，基于知识结构的一体化，将基础知识、扩展知识和应用知识有机地结合在一起，让学生在解题过程中能够巩固基础、拓展思维、应用知识。在难度层次的一体化中，数学作业应该设计一定数量的基础题目和拓展题目，让学生既能够掌握基本概念和解题方法，又能够应对更高难度的挑战，同时，还可以设计一些综合性的题目，考查学生对多个概念和解题技巧的综合运用能力[1]。在技能要求的一体化中，作业中的题目应该涵盖不同的解题方法和策略，让学生能够灵活运用各种技巧解决问题，还可以通过对不同层次的学生设计难易程度不同的拓展性问题，以此引导学生对数学知识的思考和探究。在知识点的一体化中，作业中的题目应该涵盖不同的知识点和章节，帮助学生将零散的知识点有机地组合起来，形成完整的数学观念和体系。通过综合性的题目，帮助学生理解和运用不同知识点之间的联系和相互作用。在学习过程的一体化中，作业设计要注重培养学生的学习习惯和解题思路，通过引导学生分析问题、探索解题方法，提高学生的自主学习和问题解决能力外，还可以设计一些开放性问题，鼓励学生展示自己的思考和解决问题的过程。一体化原则的核心是通过作业设计，使学生能够全面地掌握数学知识和技能，提高学生的思维能力和解题能力，促进学生的个性化发展，并且一体化原则也有助于激发学生对数学的兴趣和学习动力。

（二）以人为本的原则

高中数学作业分层设计时，根据学生的兴趣和实际应用，设计综合性的数学问题，其中所涉及实际生活和社会背景，可以让学生能够将数学知识应用到实际场景中。在基础性原则下，帮助学生夯实数学基础，可以设计一些基础题目，包括基本运算、代数方程、几何图形等，让学生通过做这些题目巩固基础知识。也可将数学与其他学科进行联系，设计一些与人文学科相关的数学题目，如与历史、地理、艺术等学科相结合，让学生能够感受到数学在其他学科中的重要性和应用价值。为了更好地引导学生进行探究和创造，设计一些开放性的问题，鼓励学生思考和解决实际问题，这种类型的作业可以激发学生的创造力和创新精神，培养学生解决问题的能力。此外，尊重学生的个性差异，设计一些不同难度和类型的题目，满足不同层次的学生的需求，最终更好地提高学生对数学知识的掌握能力。在以人为本的原则下，能够设计出更加贴近学生个体实际的高中数学水平，能够培养学生的创造思维、实际应用能力和数学素养。

（三）个性化原则

在高中数学作业的分层设计中，个性化原则是考虑学生个体差异的重要原则，根据学生的数学水平和能力，设计不同难度的题目[2]。为了适应不同层次的学生，可以设计基础、提高和拓展三个层次的题目，供学生选择并完成。而考虑到每个学生对于不同数学题型的喜好和擅长程度有所差异，可以设计多种类型的题目，如选择题、填空题、解答题等，让学生能够在自己擅长的题型上发挥优势。在作业设计时，数学教师将数学学科要求与学生的兴趣爱好相结合，设计具有主题性的数学作业。例如，对于对音乐感兴趣的学生，可以设计关于音乐的数学问题，如音乐节奏的计算、音符的比例等。为了满足学科探究和创造性思维培养的需求，开展一些探究性的数学项目，这类项目可以让学生选择感兴趣的数学主题，展开深入研究，并提出自己的问题和解决方法。通过以上方式，能够帮助学生在数学作业中发挥自己的优势、培养个人兴趣，并积极参与到数学学习中去，这将激发学生的学习动力和学科兴趣，提高数学学习质量。

二、高中数学作业分层设计的策略探究

（一）基于学生个体差异，进行合理人员分层

在高中数学作业设计时，高中数学教师进行分层作业设计时，需要根据不同层次学生的实际学习情况进行针对性的作业指导教学，以此促使学生在作业完成中巩固所需的数学知识。但在对学生进行分层时，为了确保分层的合理性，则需要教师对每一名学生进行深入了解，随后根据学生的实际情况，将学生划分为不同的层次[3]。以高中数学《直线与圆的位置关系》一课教学为例，当数学教师对学生的个体差异有着一定的了解后，可以将学生划分成A、B、C三个不同的层次，在对学生分层时，A层次学生通常具有很强的数学学习兴趣，同时A层次学生的数学基础高，接受新知识的能力也比较快，而B层次学生对于数学知识的学习兴趣一般，相应的数学基础能力也一般，至于C层次学生，对数学知识的学习缺乏兴趣，同时数学基础能力也非常薄弱。

以A、B、C三个不同的层次学生进行人教版高中数学必修1《直线与圆的位置关系》的作业设计为例。根据已知条件，有一条直线和一个圆。由于直线的斜率为-3，表示直线是一个斜率为-3的直线，而圆'的方程不包含和的一次项，所以直线与圆必定相交。

对于类似于这样的习题作业进行分层设计时，教师可以根据A、B、C三个不同层次学生的学习情况，让A层次的学生在完成这类题目时，除过使用普遍的解题方式外，还可以思考用其他方式进行解题，做到对相同题目多种解答的方式。

【解法一】根据判断直线与圆的关系，可以通过解方程组来确定是否存在实数解。在此问题中，方程组由直线的方程和圆的方程组成。如果方程组有实数解，说明直线和圆相交。为了求出交点坐标，取消方程组中的变量。通过进行变量消去，可以得到方程。解这个方程后，可以得到结果，因此方程有实数解。因此，得出结论：直线与圆相交，并且存在两个交点。接下来，需要求解上述方程组以确定交点的坐标。通过求解方程组，得到交点的坐标分别为（1，3）和（2，0）。

【解法二】依据圆心到直线的距离和半径长关系，判断直线和圆的位置关系，其圆心的坐标为（0，1），半径长5，点（0，1）到直线的距离。所以，直线和圆相交，并且有两个公共点。

对于B层学生则只需要写出计算步骤即可，而C类学生则可以寻找父母或者教师寻求帮助，并根据教师给出的解题提示完成答题，掌握相应的知识点。从A、B、C三个不同层次学生对《直线与圆的位置关系》一课作业的解答，可以看出，A层次学生能够在完成相应知识点的掌握基础上，不断深入挖掘重点和难点知识，B层次学生则可以在完成作业时，实现对所学知识点的巩固，而C层次学生则可以在学习中通过教师给的解题提示的帮助下，逐渐从最简单的知识点学习，并一点点地从简单知识学习到复杂知识点，最终，不同层次的学生都能够实现对这些数学知识点的充分掌握，以此达到提高教育教学质量的最终目的。

（二）针对不同层次作业目标，合理设计作业内容

在分层教学理念下，高中数学教师应该做到对作业目标的分层设计，同时针对已经分层好的学生，在作业布置时，给予不同难易程度的作业，以此引导不同层次学生完成对数学知识点的学习，有助于不同层次学生数学学习能力的提升[4]。高中数学教师按照基础目标、中层目标、高层目标的层次，明确作业教学的目标和内容，在设计数学作业时，对于基础目标则是让学生理解和进行简单的运用即可，这类数学习题以基础性数学训练为主；中层目标则是让大部分学生掌握、分析和运用较为复杂的数学知识，对应的作业内容也应该稍微难一点；而高层目标则以学习能力强的学生学习为主，通过已掌握的知识引导A层次学生学习下一阶段的数学知识点，满足A层次学生对数学知识的求知欲和探索欲。

例如习题，求过点与圆相切的直线方程中。

C层次作业：求过点（）和圆相切的直线方程。

B层次作业：求过点（）的直线交圆于和两点时，当最小时，求直线方程以及此时的值。

A层次作业：求过点（）的直线交圆于和两点时，是圆上不同于和的任意一点时，当最小时，求直线方程以及此时的值。

在《直线与圆的位置关系》一课的作业分层设计时，基于基础目标、中层目标、高层目标的层次中，基础目标是为了让学生认识到直线和圆之间的关系为相交、相切以及相离，通过课堂教学，几乎所有的学生都能快速掌握。而中层目标则是设计上述例题时，让学生通过计算，求得对应的直线方程式以及的值。高层目标则是在原有的作业基础上，增加“A层次作业”提高题目的难度，这类习题一般可以安排给A层次学生在闲暇之余进行思考和求解，对于B层次和C层次的学生，主要以解答出“B层次作业”和“C层次作业”为主。

（三）借助分层理念对作业完成情况，进行监督和管理

对数学作业进行分层设计的主要目的是检验学生对数学知识的掌握情况，通过这样的方式，能够及时发现学生在数学学习中存在的问题[5]。但是在作业分层设计时，需要数学教师重视对每一名学生作业完成情况的评价，避免只对优秀学生或者学习较差的学生进行评价，只有给予所有学生适当的评价，才能使学生在数学知识的学习中了解自身存在的问题。

例如，某艘轮船在返回港口的过程中，接到气象台的台风报警信息，已知台风位于轮船的正东方70km处，而这次台风的影响范围为30km，而港口位于台风的正北方向40km处，当该轮船在不改变航线的情况下，是否会受到台风的影响？

在对这样的数学习题解题时，由于不同层次的学生对题目的理解和分析能力不同，所以解题速度、方法也有着一定的差异性。对于A层次学生，由于这类学生的学习能力强，自身的头脑思路灵活，在看到这样的题目，脑海中很容易根据所需的知识实现对该题的解答。但是对于B层次的学生，则需要使用笔和纸进行计算。对于C层次的学生，这类学生除过需要笔和纸计算外，还需要画出类似的图像，C层次学生只有借助直观的图形方式，才能更好地对数学问题进行解答。为此，当数学教师借助分层理念对不同层次学生的作业进行督查时，应该根据不同层次学生的实际情况给予评价，尤其是对C层次的学生，不能因为数学题目太简单，而C层次学生解答速度和方法而批评学生，反而应该给予C层次学生更多的鼓励。比如，使用笔和纸画图的方式，虽然比较耗费时间，但这样的计算出错率低，而且用图形的方式可以更加直观地判断出问题所在，以及如何求解答案。鼓励学生，能够避免学生出现自卑感，随后再给予学生更好的解题方案，以帮助学生克服数学学习困难，以此提高学生的数学成绩。不同层次学生能完成其所处认知层次作业目标，既达到了激起其学习数学的热情，又提升其学科素养的目的。

结束语

高中阶段的数学知识学习具有难度大、重点、难点知识繁杂的特点，再加上其他学科的学习任务也比较重，因此很容易导致学生的学习压力过大，在这种情况下，必然会使学生产生一定的厌学情绪。为此，高中数学教师需要顺应教育改革的要求，并将教育减负和教学实情结合在一起，并根据学生对数学知识的学习情况，设计出难易程度不同的作业量，以此提高高中数学教育教学质量。

参考文献

[1]李馨.在直观、抽象、表达中发展学生的数学核心素养：以“直线与圆的位置关系”起始课教学设计为例[J].中国数学教育，2023（Z3）：80-83.

[2]杨晨.基于数学核心素养养成的单元教學设计研究[D].天津：天津师范大学，2022.

[3]章振飞.指向数学核心素养的教学设计：以“直线与圆的位置关系”为例[J].数学教学通讯，2021（27）：32-33.

[4]王海伴.基于高中数学核心素养主题教学设计的实践与思考：以“直线、平面位置关系的判定与性质”为例[J].课程教育研究，2019（25）：142-143.

[5]刘涛.高中数学数形结合教学实践探索：以直线与圆的位置关系为例[C]//中国智慧工程研究会智能学习与创新研究工作委员会.2020年教育信息化与教育技术创新学术论坛（南昌会场）论文集（三），2020：4.

本文系福州市教育科学研究“十四五”规划2022年度课题“‘双减背景下的学科作业精准分层设计与管理的实践与研究”（立项编号：FZ2022ZX055）。