基于逻辑推理提升高中生的数学运算素养

于洋 刘明

【摘 要】作为高中数学六大核心素养之一的数学运算素养是数学的“童子功”，它和逻辑推理素养既相对独立，又相互交融，更相互促进。通过高中解析几何的实践教学，从逻辑推理的角度探索提升学生数学运算素养的路径，不仅让学生学会运算和优化运算，更让学生理解数学运算的本质，从而提升数学运算素养。

【关键词】高中数学；核心素养；逻辑推理；数学运算；解析几何

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）46-0049-05

【作者简介】1.于洋，南京师范大学附属中学（南京，210003）教师，一级教师；2.刘明，南京师范大学附属中学（南京，210003）教师，正高级教师，江苏省数学特级教师。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）指出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。［1］4数学离不开运算，数学运算作为数学学科核心素养的六大素养之一，一直以来是研究的热点，“如何提升数学运算素养”更是当下研究的重点领域。之前国内有不少学者系统性地研究了数学运算能力，北京师范大学教授曹才翰和陕西师范大学教授罗增儒都认为数学运算能力包括数学计算能力和逻辑思维能力［2］［3］，吉林师范大学刘影认为数学运算是运算技能和逻辑思维能力结合起来的一种演绎推理。［4］数学教育领域通常将运算定义为运用相应的法则和公式对具体运算对象进行变形的演绎过程。［5］

新课标将数学运算素养定义为“在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养”［1］7。“明晰”需要作出邏辑判断，“依据”“解决”需要逻辑推理。可见，无论是传统的数学运算能力还是现在的数学运算素养都离不开逻辑推理的支撑。所以，笔者尝试通过分析解决运算问题过程中的逻辑推理素养为着力点，探寻提升数学运算素养的路径。

一、理解问题对象，明晰运算本质

高中数学课堂上，经常有这样一种现象——学生明知道怎么算却总是算不对或者算得特别繁琐。这种状况出现的原因往往是学生不理解运算对象的概念，没有厘清问题的所在就盲目地套用公式或者错误使用习得的方法。因此，教师要引导学生明确问题的本质，理解方法的适用条件，勤于总结，提升运算的精确度。

【案例1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）=x2+2x+b与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C，求圆C的方程。

有的学生解决过程如下：由方程x2+2x+b=0得x=-1±[1-b]，所以f（x）与坐标轴的交点为（0，b），（-1-[1-b]，0），（-1+[1-b]，0）。设圆C为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个交点坐标代入圆C的方程，求解D，E，F，从而求出圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0。

有的学生解决过程如下：设圆C为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0。这与x2+2x+b=0是同一个方程，所以D=2，F=b。再令圆C方程中的x=0，得y2+Ey+F=0，又因为圆C过点（0，b），所以b2+Eb+b=0，所以E=-（b+1）。从而求出圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0。

上述两种方法都是正确的，但第一种运算繁琐，第二种简捷。存在差异的主要原因是想出第二种解法的学生能识别出二次函数f（x）与x轴交点的横坐标就是方程x2+Dx+F=0的两个解，所以x2+Dx+F=0与x2+2x+b=0是同一个方程。

第一种方法学生利用熟悉的求根公式解决方程x2+2x+b=0之后再求解D，E，F，体现了“能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论证的思路”［1］102，符合逻辑推理素养水平二。第二种方法则体现了“用数学的眼光找到合适的对象，对于较复杂的问题，探索论证的途径，解决问题”［1］102，符合逻辑推理素养水平三。一般的情况下，数学运算中蕴含的逻辑推理素养水平越高，计算复杂程度越低。

二、从特殊到一般，探寻运算思路

在解决圆锥曲线问题的过程中，学生经常会遇到这样尴尬的情况：刚开始的时候思路清晰，算到一半却算不下去了，面对复杂的式子找不到解决问题的突破口。在圆锥曲线的计算中，我们面对的往往是一个又一个的未知量，未知量之间又有着多种关系。学生往往在复杂的关系中面对未知量的变化找不到运算的方向。此时，教师可以启发学生尝试特殊情况，看看有没有新的发现，从特殊到一般，先将问题特殊化得到结果，再进行一般化的验证，寻找问题解决的突破口。

【案例2】已知A，B为圆O：x2+y2=4与y轴的交点（A在B上方），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N。若M，N都不与A，B重合时，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点恒在直线m上。若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由。

通过观察，笔者发现全班大约五分之四的学生做法如下。

（1）当k不存在时，点M，N与点A，B重合，不符合题意。

（2）当k存在时，设直线l：y=kx+4，将直线与圆的方程联立得[y=kx+4x2+y2=4]，所以（1+k2）x+8kx+12=0。由题意得△＞0，即64k2-48（1+k2）＞0，所以k2＞3。设点M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]，又因为A（0，2），B（0，-2），所以直线AN的方程为y-2=[y2-2x2]（x-0），即y=[y2-2x2]x+2。同理直线BM的方程为y=[y1+2x1]x-2，所以[y=y1+2x1x-2y=y2-2x2x+2]，所以[xG=4x1x26x2-2x1yG=2kx1x2+6x2+2x13x2-x1]（*）。

学生做到上面这一步，之后不知所措，笔者与其交流发现他们对于（*）式无从下手，因为由韦达定理得到的x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]无法代入（*）式。那么接下来该如何解决呢？

笔者在课堂上启发学生：既然设直线y=kx+4解决不了问题，说明将直线一般化我们暂时行不通，那么我们能不能把这条直线猜出来呢？学生迅速回应可以将直线特殊化。学生取特殊点N为（-2，0）和（2，0）分别得到G为（-1，1）和（1，1），联立得直线m：y=1。因此猜想直线AN与BM的交点恒在直线m：y=1。要证明yG=1，即证明[2kx1x2+6x2+2x13x2-x1]=1，即证[2kx1x2+6x2+2x1=3x2-x1]，即证[2kx1x2+3（x1+x2）=]0。代入x1+x2=[-8k1+k2]，x1x2=[121+k2]，则问题得证，所以直线AN与BM的交点恒在一条定直线上，该定直线的方程为y=1。

通过归纳演绎，学生先得到了问题的结果后再进行验证，找到了问题解决的思路，明确了运算方向。从“山重水复疑无路”到“柳暗花明又一村”，让学生深刻感受到从特殊到一般的数学思想的价值，从而促进学生数学思维水平的发展，助力运算素养的提升。

三、从一般到特殊，迁移运算方法

圆锥曲线里面有一些常考的二级结论，例如：椭圆焦点三角形的面积公式、焦半径公式、椭圆上一点的切线方程、双曲线的焦点到渐近线的距离等。利用这些二级结论，学生可以迅速解决问题。但是，复杂的圆锥曲线问题往往将二级结论的条件内隐化，学生仅从问题表面无法发现与二级结论的联系。这就需要学生学会用数学的眼光看待运算对象之间的关系，通过添加辅助线的手段将陌生问题情境转化为熟悉的问题情境，在复杂的情境中把握条件与已有知识之间的关联，寻找问题的突破口，实现运算方法的正向迁移。

【案例3】已知椭圆C：[x24]+[y23]=1的左、右顶点分别为A，B，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值。

学生常见解法如下：设直线l为y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）。联立直线l和椭圆C的方程得[x24+y23=1y=kx+1]，消去y得（4k2+3）x2+8kx-8=0。由题意得△＞0，所以x1+x2=[-8k4k2+3]，x1x2=[-84k2+3]。因为k1=2k2，所以[y1-0x1+2]=2[y2-0x2-2]，即[y1x1+2]=[2y2x2-2]，所以[y1]（[x2-2]）=[2y2]（[x1+2]）。又因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，所以（kx1+1）（x2-2）=2（kx2+1）（x1+2），化简得到kx1x2+（2k+2）x1+（4k-1）x2+6=0①。许多学生对①式束手无策，因为由韦达定理得到x1+x2，x1x2无法直接代入①式。

这个时候怎么办？笔者启发学生思考能不能利用前面学习过的知识来解决问题，引导学生观察图象与前面学习的哪些模型或者结论类似。学生通过探究，连接BM后联想到前面学习的“椭圆直径定理”。

利用椭圆直径定理的思路我们可以将k1与kBM的关系转化为k2与kBM的关系，具体过程如下：k1kBM=[y1-0x1+2]·[y1-0x1-2]=[3（1-x24）x12-4]=-[34]，所以2k2kBM=-[34]，即k2kBM=-[38]，所以[y2x2-2]·[y1x1-2]=-[38]，所以8y1y2=-3（x1-2）（x2-2），即8（kx1+1）（kx2+1）=-3（x1-2）（x2-2），化简得（8k[2]+3）x1x2+（8k-6）（x1+x2）+20=0。将x1+x2=[-8k4k2+3]，x1x2=[-84k2+3]代入上式化简得4k2-4k-3=0，解得k=-[12]或[32]。又因为题意要求k＞1，所以k=[32]。

通过连接BM从而呈现“椭圆直径定理”的条件，激发学生联想已有的二级结论，将k1=2k2转化为k2kBM=-[38]，得到[y2x2-2]·[y1x1-2]=-[38]，從而把非对称性结构转化为对称结构，接下来化简后可以直接代入韦达定理。在解析几何的学习中，教师要引导学生扎实掌握二级结论的内容，多运用二级结论解决运算问题，从而促进学生从一般化的结论迁移到特殊问题情境，破解运算障碍。

四、发展多元思维，优化运算路径

在教学过程中，笔者经常发现学生就题论题，没有对问题进行深入思考，运用单一方法解决不同的问题时常受阻。究其根源，学生缺乏解决问题方法的积累。而方法的积累必须让学生经历探索不同思路和选择不同运算方法解决问题的过程。所以，在数学课堂上教师要摒弃原有的“轻来龙去脉、重类型强化，轻结论探索、重结论运用”的教学方式，积极引导学生基于问题发散思考，让学生经历“数学化”“再创造”的活动过程，建立起自己的数学理解力，为学生掌握不同的方法提供有效途径。

【案例4】已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=[π3]，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为                 。

为了解题的方便，不妨设椭圆的标准方程为[x2a12]+[y2b12]=1（a1＞b1＞0），离心率为e1，设双曲线的标准方程为[x2a22]+[y2b22]=1（a1＞0，b1＞0），离心率为e2，椭圆和双曲线的焦距为2c。

解法1：因为|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，所以由余弦定理得（2c）2=（a1+a2）2+（a1-a2）2-2（a1+a2）（a1-a2）cos[π3]，化简得4c2=[a12]+3[a22]，所以4=（[a1c]）2+3（[a2c]）2，即[1e12]+[3e22]=4。利用柯西不等式得[12+（13）2]（[1e12]+[3e22]）≥（[1e1]+[1e2]）2，即[163]≥（[1e1]+[1e2]）2。所以[1e1] + [1e2] ≤ [433]。

上述解法大部分学生是想不到的，因为柯西不等式在高中数学新课程中不属于必修内容。那么怎么办？笔者以疑问激发学生思考，利用小组合作相互交流，提升思考的宽度和深度。通过课堂探究，学生最终得到了解法2和解法3。

解法2：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，因为|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，所以|PF1|=a1+a2，所以[1e1]+[1e2]=[a1+ac]=[|PF1|c]=[r1c]，所以（[1e1]+[1e2]）2=（[r1c]）2，所以由余弦定理得（2c）2=[r12]+[r22]-2r1r2cos[π3]，即4c2=[r12]+[r22]-r1r2。所以（[1e1]+[1e2]）2=[4r12r12+r22-r1r2]=[41+（r2r1）2-r2r1]=[4（r2r1-12）2+34]，当[r2r1]=[12]时，（[1e1]+[1e2]）[2max]=[163]，所以[1e1]+[1e2][|max]=[433]。

解法3：设∠PF1F2=θ，因为∠F1PF2=[π3]，∠PF1F2+∠F1PF2+∠PF2F1=π，所以∠PF2F1=[23]π-θ，所以[1e1]+[1e2]=[|PF1|c]=2[|PF1|2c]=2[sin∠PF2F1sin∠F1PF2]=2[sin（23π-θ）sinπ3]=[4sin（23π-θ）3]≤[43]=[433]，所以[1e1]+[1e2][|max]=[433]。

解法1的思维路径是从条件到问题，对于学生来说是正向思考，想易算难，需要补充柯西不等式才能求解。解法2和解法3的思维是从问题到条件，对于学生来说是逆向思考，想难算易。所以，发展学生的多元思维，在积累解决问题的方法中孕育选择的机会，才有可能实现数学运算效益的最大化。

高中数学课程标准修订组组长史宁中教授在高中数學学科核心素养分析中指出“数学运算是逻辑推理……运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机结合”［6］。所以，在高中数学的教学中，教师既要以运算训练培养学生的运算素养，更要以逻辑推理为抓手，帮助学生实现数学运算素养“质的提高”。在解决问题的过程中，学生理清问题的对象从而提炼数学运算对象，利用从特殊到一般和从一般到特殊寻找运算方法，在发展多元逻辑思维的过程中提升多元运算思维，从而实现逻辑推理助推数学运算素养的提升。

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：4.

［2］许嘉璐，曹才翰.中国中学教学百科全书：数学卷［M］.沈阳：沈阳出版社，1991.

［3］罗增儒，李文铭.数学教学论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2006.

［4］程晓亮，刘影.数学教学论［M］.北京：北京大学出版社，2013.

［5］郭玉峰，段欣慰，孙艳.数学运算素养的理解与商榷［J］.中国数学教育，2019（20）：3-8.

［6］史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读［M］.北京：高等教育出版社，2018：127-130.

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于高中数学核心素养的考试命题评价研究”（C-c/2020/02/23）、江苏省教育科学“十四五”规划2021年度课题“核心素养视域下的高中数学‘学材重构”（D/2021/02/566）、江苏省教育科学“十四五”规划2021年度课题“基于新课标的高中数学大单元教学校本实践研究”（D/2021/02/572）阶段性研究成果。