运用APOS理论，提升数学概念教学实效

刘正强

［摘  要］ APOS理论从学生的认知心理角度出发，认为学生在学习数学概念的过程中要进行心理建构. 在数学概念教学中运用APOS理论能够帮助学生从根本上认识数学概念的本质，强化对数学概念的理解，并建构起数学概念的体系，真正在解决问题的过程中运用数学概念形成自觉意识，从而使学生掌握数学思想和方法，提升对数学的认识.

［关键词］ APOS理论；无理数；数学概念

数学概念是从具体问题中抽象、概括出的数学本质特征，并运用数学语言的形式将事物的本质属性表达出来. 数学概念是进行数学判断和推理，从而解决数学问题的关键与核心，是掌握数学知识的基石. 理解数学概念有利于提升学生的数学学习能力，落实数学核心素养的要求.

人类最开始运用有理数表达事物的数量，而无理数的发现在数学发展史上具有里程碑式的意义，拓展了人类对数学的认识［1］. 然而在初中阶段，学生在学习数学概念的过程中存在一些困难，如学生在学习无理数的过程中对无理数两种定义的相互转化较难理解，以致在判断无理数时缺乏有效的理论支持；在初中阶段学习的过程中存在学生按照目前的知识没有办法进行验证的情况，只能将知识以记忆的方式进行学习，同时学生由于认知水平的限制所了解的无理数非常有限，也无法对无理数的无限性产生认同. 因此，笔者尝试运用APOS理论指导“无理数”的教学，使数学概念的教学更加生动，更加符合学生的认知规律，深化学生对无理数的认识.

何谓APOS理论

APOS理论的提出来自美国学者杜宾斯基，属于建构主义学习理论，这一理论将学习数学概念的过程明确分为四个阶段，分别是活动、过程、对象和图式，将理解概念的过程进行了详细的层次划分，对每个阶段的内容以及教师的任务都做了明确的规定，使学生能够循序渐进地理解和认识数学概念，对数学概念的教学具有明确的指导意义［2］.

当前教师在教学过程中常常感觉无理数的概念较为突兀，在辨别无理数与有理数的区别，以及认识无理数存在的不同形式，或者是理解无理数的无限性上都存在困难. 学生在学习过程中也感觉无理数的概念较为抽象和生硬. 因此，运用APOS理论可以帮助教师科学认识数学概念教学，形成逐层推进的数学概念教学过程.

基于APOS理论的教学设计

学生在学习“无理数”这一内容之前已经接触过有关有理数的知识，如有理数可以分为整数和分数，同时能够正确区分数的大小. 在中学阶段引入无理数的概念是对学生已有的关于“数”的知识的补充，有利于开阔学生的视野，打开学生认识世界的思路.

1. 操作实践：情境导入，创设问题，激发兴趣

古希腊的数学家们在研究世界的时候发现世间万物都能用数进行表示，这也成了人们衡量世界的一种方式. 然而其中一位叫希帕斯的数学家在研究的过程中发现了一个例外，在一个边长为1的正方形中，无法用有理数表示这个正方形的对角线. 这给人类提出了一个新的问题：应该用什么数来进行表示呢？下面让我们通过自己的操作实践来验证一下希帕斯的猜想.

课前教师准备了两个边长为1的小正方形，如图1，将两个小正方形沿着对角线剪开，再将剪得的四个三角形重新拼成一个大正方形. 请大家将自己重新拼得的正方形进行展示并观察.

问题1：拼接之后的大正方形的面积和边长分别是多少？

生3：我们可以进一步缩小范围，因为1.4的平方等于1.96，1.5的平方等

2. 过程阶段：联系已知，归纳特征，初识概念

数点后40位准确的数值应该是1.4142135623730950488016887242096980785696. 请同学们仔细观察这个数值，在前10位、前20位、前30位、前40位有没有出现循环节？

生2：小数点后的位数没有循环节.

生3：观察计算出的结果我们可以看到它们的近似值都是一些无限不循环小数.

师：很好，虽然今天是第一次认识无限不循环小数这个概念，但事实上我们早就接触了这样的数，如π这个数，我们在小学阶段知道π等于3.1415926，但其实这只是一个近似数，事实上π小数点后面40位小数是这样的（投影展示）. 我们可以发现π也是无限不循环小数，这样的数与我们所学的有理数是有区别的，可以称之为无理数.

设计意图  第二阶段引导学生联系已学的知识，具体分析无理数的特点，通过具体的观察进行抽象概括，从而抓住无理数的特征，形成初步感知. 这一环节的探究通过学生进行计算和取值的方式，并列举了学生较为熟悉的π这个数，使学生对无理数无限性的认识更加深刻，突破了思维的局限性，使学生能够理解无限不循环小数出现的必然性以及无理数的本质特征，为进一步形成抽象的概念奠定基础.

3. 对象研究：具象對比，抽象概括，形成概念

在对无理数有了初步认识的基础上，进一步明确有理数与无理数的区别，将两者进行对比，明确无理数和有理数的特点.

问题5：请大家一起来观察以下几个分数（即有理数），并将这些分数写成小数的形式，观察它们的小数部分有什么特点.

学生将分数转化成小数，教师进一步追问.

问题7：现在我们已经知道了无理数的概念，以及有理数可以在数轴上表示，那么无理数同样可以用数轴上的点进行表示吗？

如图2：

生5：观察图2，我们发现无理数也可以用数轴上的点进行表示，换言之，数轴上的点与实数是一一对应的.

问题8：请同学们进行小组合作讨论，并尽可能多地展示无理数的表示形式.

设计意图  在学生已经对无理数有了具体认识的基础上，进一步将概念与具体例子相结合，使学生明确无理数的不同形式，形成更加具象化的认识. 学生由无理数的具体例子到抽象概念，再通过概念到无理数的分类，实现了对无理数的全面认识和把握，从而能够正确区分有理数与无理数，强化了对无理数本质的理解. 在数轴上表示无理数，使学生深入认识无理数存在的客观性，同时充分感受数形结合思想在其中的应用.

4. 图式阶段：总结归纳，强化概念，提升认知

师：现在我们已经知道了有理数与无理数的概念，请同学们进行小组讨论，我们该如何对实数进行具体的分类呢？

在教师的引导下，学生将实数进行了如下的分类（如图3）：

例题1：下列各数是有理数，还是无理数？

生9：根据有理数的概念，整数

课堂总结：回顾本节课的学习过程，学生相互交流这节课有哪些感想和收获，最后教师对本节课学习的无理数相关知识及探究方法进行总结和归纳，帮助学生进一步梳理了实数的结构以及无理数的特征.

设计意图  只有经历数学概念体系的形成过程，学生对数学概念才会有更加清晰明了的认识和分类，同时提升了知识辨别能力，加强了主动思考意识，增强了对新旧知识的联系，从而形成了更加完整的知识结构，产生了更加深刻的数学理解. 本阶段是概念教学的最后一个阶段，是帮助学生形成心理认知的过程，旨在使学生从根本上把握无理数的特征.

教学反思

数学概念教学是加强学生对数学知识的理解，掌握数学本质的重要方式，APOS理论从认知心理学的角度将数学概念的学习进行了具体的分段指导，明确了学生从理解数学概念到形成自主概念意识的过程. 本文运用APOS理论指导数学概念的教学，通过实践操作、归纳特征、抽象概括、总结归纳让学生经历无理数概念的形成过程，从源头上强化了学生知识增长与智力发展的联系，树立了学生探索发现的意识，发展了学生的思维能力.

综上所述，APOS理论为数学概念的教学提供了科学而准确的指导，促使学生在数学概念的学习中不再采取僵硬记忆的方式，而是让学生充分经历概念的形成过程，实现对概念的理解、巩固和强化，直至能够自觉地运用数学概念解决问题. 在运用理论指导教学的过程中，教师要将理论与教学实践相结合，使理论更好地运用在实际的教学中，有效提升教学效果.

参考文献：

［1］吕亚军，顾正刚. 促进初中生数学深度学习的元认知训练模式构建［J］. 中学数学月刊，2018（07）：7-10+13.

［2］史宁中. 数学基本思想18讲［M］. 北京：北京师范大学出版社，2016.