一道“弦图”结构的中考题的分析与挖掘

张希

摘 要：本文对一道内涵丰富、蕴含数学文化的中考题进行多视角分析，理清几何结构^［1］与代数表达之间的关联，得到多种解法； 通过母题开发，得到系列好题.在解题教学中，不仅提高学生的解题能力^［2］，还促进几何直观、推理能力、运算能力等核心素养的发展，向学生渗透中华民族优秀传统数学文化.

关键词：数学文化；几何结构;代数表达;解题教学;核心素养

1 “弦图”溯源

我国古代数学家赵爽在他创制的“勾股圆方图”中，利用图1，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.后人称之为“赵爽弦图”.这是众多证明勾股定理的方法中最简洁、最巧妙的.

赵爽的证明方法实现了“勾股定理”的一般化，其证明过程有图为证，用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性.赵爽证明勾股定理的方法将代数和几何紧密结合，使之互不可分，该证明方法被哈佛大学教授库里奇称为“最省力的证明”.因此，“赵爽弦图”被选为2002年国际数学家大会会徽，现在这个标志也成了中国数学会的标志.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》^［3］把“体现数学的文化价值”作为一条课程的基本理念，并具体指出：通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，加深对数学的理解.

由此可见，勾股弦图作为一种初中重要的数学文化，应当要充分发挥其价值.而勾股弦图又是一种解决特定结构的数学问题的模型，是一种数学的思想方法，有助于发展学生运算能力、抽象能力和推理能力，這是《标准（2022版）》^［4］的重要要求，也是教材引入赵爽弦图的意图和价值.

正因如此，“赵爽弦图”近年来已成为各地中考取材的热点.本文通过分析和挖掘2023年杭州市中考数学第10题，得到多种解法与系列好题，从而向学生渗透中华民族优秀传统数学文化.

2 原题呈现

第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tanα＝tan²β，求n.

A. 5B. 4C. 3D. 2

从命题视角看，本题给出两个角度的三角函数关系，进而求解两个正方形的面积之比.本题体现“弘扬数学文化，彰显育人价值”的理念，融代数、几何、三角函数于一题的命题导向；涵盖三角形全等、勾股定理、黄金分割、三角函数、图形面积等知识；考查学生的阅读能力，文字语言转换成符号语言与图形语言的能力，考查学生的构图能力、运算求解能力、推理论证能力；探索了数量关系的不变性，从中归纳出代数表达；也考查了化归与转化思想、数形结合思想等.

3 解法展示

从图形结构看，2023年杭州市中考数学第10题有“弦图”结构.从解题思路上看，要求n的值，常见的思路是对三角形边长设元，表示α与β的正切值，利用正方形的面积比值，列出等量关系求解.从已知条件出发设元列式，通过代数推理求解.因为本题也有特殊的数量关系，故还可以用华罗庚的优选法黄金比求解.

本题通过设元将所求问题与黄金分割、三角函数等知识联系起来，培养学生多种途径分析问题、解决问题的能力，体现了解决问题方法的多样性.如何在复杂图形中识别基本图形以及图形的几何结构，抽出关键图形，转化为熟悉结构，如何构建几何结构与代数表达之间的关联，寻找通性通法，获得解题思路是本题的难点.在此过程中，促进了学生几何直观、推理能力、运算能力等核心素养的发展.

4 试题开发

2023年杭州市中考数学第10题的结构特征、解题方法具有代表性和可衍生性.我们开发系列子题，这也是解题教学中提高教学效率的重要途径，使学生灵活应用原题中的几何结构与代数表达之间的关联，解决新问题.下面是由原题开发的系列新题.

通过对母题的改编，改变题干条件，进而得到不同的设问：求三角函数值，求面积，求面积比、线段长、线段比等数量关系.上述变式从不同路径衍生得到不同子题，但又紧密围绕“弦图”的结构，紧扣“设元列式，代数推理”或“借助黄金比，以算代证”的方法.

在研究变式的过程中，教师应当引导学生再与母题的解决方法进行比较，探索其本质；引导学生明白其中相同的原理，抓住“弦图”结构带来的代数表达的“不变性”.在探索系列题和衍生题时，使得学生深刻理解其中蕴含的数学方法与解题原理，学会举一反三解决新问题；系列题教学研究深入、高效，有利于提高学生解题能力；让学生明白只要改变题干，改变求证，就能得到千千万万的题目，但无论如何改变，不变的是问题的本质，这就是万变不离其宗.

5 结束语

本文所列举的试题与变式均以“赵爽弦图”为背景，真正做到了将数学文化渗入了中考.“弦图”结构的问题实际上是一种解决特定结构的数学问题的模型，是一种数学的思想方法.“弦图”结构的问题让学生经历将复杂几何问题“代数化”的过程，探索数量关系的不变性，不仅提升了运算能力、推理能力，也锻炼了化归思想、数形结合思想，这是《标准（2022版）》的重要要求，也是安排2023年杭州市中考数学第10题的意图和价值.

中考试卷中数学文化试题不断涌现.为响应学科育人的号召，广大一线教师应当发挥中考试题的引领和导向作用，借助《九章算术》《周髀算经》《几何原本》等著作，将数学文化真正渗入教材、融入教学，不但可使学生理解数学、喜爱数学，还可以激发学生的爱国热情和学习激情，真正达成“情感教育”与考试功能的有机结合，力争做到“文化搭台，学生唱戏，教师喝彩”.

参考文献：

［1］ 王红权.联系促进理解 结构揭示本质——一个平面几何习题的拓展性教学研究［J］.中学教研（数学），2021（10）：19-22.

［2］ 傅兰英.一道中考几何压轴题的解法分析与推广［J］.中学教研（数学），2022（10）：42-45.

［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 （实验）［M］.北京：人民教育出版社.2017.

［4］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.