基于基本活动经验的概念课教学实践

顾燕声

摘 要：概念教学是高中数学课堂的重要组成部分.对于有些高中的概念，学生在初中的学习中已经有所铺垫和积累，这样的概念课需要在学生原有的知识基础上进行拓展与延伸. 这时，需要教师在课堂上能够激发学生的学习兴趣，让学生感受到新知识与旧知识的异同性，以及在这种延拓的过程中引导学生学会自主思维，向更深层次探寻数学问题的方式方法. 本文以《指数》这节概念课为例，探讨怎样能够基于基本活动经验上好一堂概念课.

关键词：高中数学；概念课；活动经验；教学

数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，在该类对象的范围内具有普遍意义.^［1］数学概念课是重要的数学教学内容之一，教师通过概念课的教学让学生掌握某个知识点的概念，形成对某个知识点的基本的、概括性的认识；能够明确概念的内涵和外延，熟悉其表述；了解概念之间的关系，会对概念进行分类，从而形成概念系统. 在概念课的教学中，教师要引导学生掌握概念的来龙去脉，正确运用概念解决问题.

《指数》这一节概念课不同于高中阶段其它知识点，例如《对数》《椭圆》《双曲线》等，以上这些对学生来说都是全新的内容和体验，而对于《指数》，学生在初中时就有学习基础，已经学习过二次根式和三次根式，以及整数指数幂的运算，因此这节课就不是单纯的新知识的探索与讲授，而是一种加深与拓展，即将整数指数幂拓展到有理指数幂.如何在学生原有知识的基础上进行再创造，特别是更深入的发现与挖掘，引导学生自己发现幂指数可以从整数范围拓展到分数指数幂，这种拓展的延续性是什么？差异性是什么？在完成这一拓展之后，能不能让学生主动去思考无理指数幂是否有意义？这都是这节课亟待解决的问题.

1 《指数》一课教学设计分析

在“问题情境”阶段，笔者采用的是启发引导式的教学方式，首先抛出问题引起学生兴趣，让学生感受到本节课要研究的是一个生活中会出现的有意思的问题，并且值得做深入的探讨.

在此过程中，笔者尤其强调情境中的问题的形式结构——“幂”，但是它与学生已经学习过的整数幂存在差别，因此可以顺理成章地向学生抛出三个问题，即“这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？”一方面，这是提醒学生，虽然已经学过相似的结构，但是它们是有区别的，仍然要认真对待，仔细辨别.另一方面，让学生带着问题学习，可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思考意识，提升学生的数学思维能力.再者，也是教导学生，以后再遇到这种在已学知识的基础上进行拓展延伸的问题时，应该如何来思考、从哪里找出突破口.

在“问题情境”中唤醒了学生对幂的记忆，那么接下来就理应帮助学生回忆整数幂的相关问题，这部分内容的复习主要是为了帮助学生达到“温顾”的目的，也是充分暗示学生：“今天将要学习的内容是有基础和铺垫的，大家要在原有知识的基础上进行进一步理解今天的新问题.”

在做完以上一系列“热脑运动”之后，下面即刻进入今天学习的主要内容：

学生在初中已经学习过二次根式和三次根式，因此在教学时不再做过多赘述，而是直接引导学生从n次根式入手，再通过对比二次根式与三次根式，可以知道在n次根式中，n为奇数和n为偶数是不一样的.在這个过程中，一方面我们实现了字母代替数，将具体问题进行了抽象概括，提高了学生总结数学问题的能力，另一方面，通过对“先开方后乘方”与“先乘方后开方”，即（na）ⁿ与naⁿ这两种不同运算的辨析，进一步强化了对n次方根的认识.

当然，所有的数学概念都是为数学应用服务的，在与学生进行了一系列概念的辨析之后，笔者给出了“例1”与“例2”这两个与n次方根概念相关的例题进行随堂的巩固训练，以达到更好地理解概念的效果.在例题的最后提出一个问题，即“当根式的被开方数的指数与根指数不同时，应当如何理解这类式子的意义？”这自然是为了引出这节课的难点——“分数指数幂”的概念.

通过前面的课堂铺垫，再与学生谈论“当根式的被开方数的指数与根指数不同时”这一问题也就变得顺理成章了，于是笔者先与学生共同分析“5a¹⁰”与“4a¹²”这两个式子，即“外小内大”且能被乘除的情况，与初中的“乘方”与“立方”相挂钩，再进一步类比推理到“3a²”“b”“4c⁵”， 至此正分数指数幂的定义就呼之欲出了，然后探讨负分数指数幂、0指数幂，这样就完成了将学生初中学习的整数指数幂拓展延伸至有理指数幂的过程.进而再类比推理有理指数幂的运算性质. 最后用两个例题对概念进行巩固.

这节概念课涉及了多个知识点的概念，而这些概念之间互相有联系，一遍过后很容易有不清晰和混淆的情况，因此要当堂小结，帮助学生及时消化.

在进行本节课的课堂小结之后，可以说学生对有理指数幂的概念应该已经掌握得很到位了，接下来可以借着这波热情，将无理指数幂的问题提出来，让学生在课后进行探讨、研究和深入思考.

2 教学启示

《指数》这节概念课说好上也很好上，利用学生原来对幂的知识，让其认识到整数指数幂可以拓展到有理指数幂即可，但是说难上也很难上，这种由原来知识到更深入知识的拓展与延伸应该如何进行才能使得这个过程自然而然、顺理成章？这就需要老师们对这节课进行研究和设计.

在教学之前，笔者的教学目标有两个.知识点方面：（1） 通过具体实例，探究并理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质与运算; （2） 通过建立根式与分数指数幂的运算性质，理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化; （3） 体会整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，并能熟练运用运算性质进行计算.素养目标：培养学生抽象概括能力、数学计算能力，提高学生的数学思维能力，使学生能够举一反三，主动地对相似的数学问题进行拓展与研究，具备数学的研究精神与探险精神.

教学过后，笔者回看这节课，又有了许多新的感想. 就《指数》这节课而言，它的特殊性太明显了，有种不上这堂课学生也能会的感觉，但是细细一想，这样的会是真的会，还是一知半解？于是，对于这堂“不学就会”的课，如何能够更好地吸引学生的注意力，让学生仍旧能够保持学习的热情和求知的欲望，并能积极的思考，体会数学概念延拓的重要性，这是本节课中除了掌握数学知识之外需要做到的最重要的事情.

第一，设计问题，让学生带着问题展开教学. 这节课的开头就应该让学生知道这不是一节初中的复习课，是“形似但神不似”的一堂新课，在这堂新课中我们需要关注的是它与原先学习的整数指数幂的不同之处有哪些. 这样开门见山的引导一方面可以引起学生对新问题的重视，另一方面，学生能够在问题的引导下，有明确的学习目标，这样才能有深入思考和探究的方向. 带着问题的学习可以激活学生的思维，引发学生的思考，使学生的思维能力、探索欲望得到增强.^［2］笔者认为问题教学，是培养学生主动思考、主动参与课堂的最直接也是最高效的方式，除了概念课，其它如习题课、讲评课都可以借鉴. 但是需要注意的是，提出怎样的问题是老师们需要重点思考的，只有好的问题才能做到事半功倍.

第二，进行类比，让学生“跳一跳”就能獲得新知识. 在设计教学任务的过程中，首先需要了解学情，客观正视最近发展区的存在；其次结合任务分析法，在准确把握最近发展区的基础上，制定科学有效的教学流程.^［3］例如对于“n次方根”，基于学生对平方根与立方根的认识，完全可以让学生自己发现n次方根的特点. 在从特殊到一般的探索过程中，学生能够获得新的知识，也能获得数学学习的成就感和满足感，不但能够大幅度提高他们的数学学习兴趣，更能培养数学抽象思维能力和总结概括能力.

第三，变换形式，让学生能够体会新旧知识的联系. 在《指数》这节课上如何过渡到新的概念以及分数意义的指数幂的意义，这点尤为重要.笔者认为以问题的形式，由浅入深，引导学生不断思考问题、寻求突破，这个过程是学生体会新知识的过程，也是培养学生数学思维能力的过程，也正是“授予渔”的过程.只有学生学会了如何在现有知识的基础上发现新问题、解决新问题，才能获得真正的创新意识、创新思维，体会到思考的快乐.

第四，全盘总结，让学生自主获得新的概念.教师的课前提问、课堂引导固然重要，但课后的总结也是不可或缺的. 通过系统的总结可以将零散的知识点和概念聚拢起来，让它们从看似无关，变得实则相关，在课堂最后告诉学生这堂课我们学了什么，可以让学生的思维变得清晰、理解也更加到位.

不同的概念课，教学设计一定是有很多的差异的. 因课而异，因生而异，但概念是数学学习的基础，与学生一同发现概念，参与到概念的形成中去，这一点是一致的. 在这个过程中所产生的数学思维能力、问题研究方法、深入学习的意识，能够很好地提高学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］ 顾明远.教育大辞典［M］.上海：上海教育出版社，1998.

［2］ 周洁.问题串在高中数学概念课教学中的有效运用［J］.学苑教育，2023（9）：37-38+41..

［3］ 崔红.基于“最近发展区理论”的高中数学教学案例［J］.中学数学，2021（19）：15-16.