基于数学建模问题的高阶抽象思维能力培养探析

顾锋

摘 要：数学高阶抽象思维能力的培养是中学数学的重要目标之一，对学生的数学学习和发展具有重要的作用和价值.本文旨在探讨高中数学建模问题的数学高阶抽象思维能力的培养方法，介绍了高阶抽象思维能力在高中数学学科中的重要性和在教学中所面临的挑战，提出了具体的培养方法和措施.

关键词：高中数学建模；抽象思维；培养方法；提炼与提升

在新课程背景之下，数学高阶抽象思维能力已成为现代教育的重要目标之一.尤其在高中数学建模的教学中，学生需要运用抽象思维解决实际问题，这对培养学生的高阶抽象思维能力提出了更高要求.然而，目前学术界对于基于高考数学建模问题的数学高阶抽象思维能力的培养方法研究还相对不足.如何有效培养学生的数学高阶抽象思维能力已成为教育界的研究重点.

1 培养数学高阶抽象思维能力的重要性

1.1 数学高阶抽象思维的概念和定义

数学高阶抽象思维是指学生在数学学习和问题解决过程中，能够超越具体情境和具体概念，运用抽象的思维方式来分析、推理和解决数学问题的能力.它不仅包括对数学概念的理解和运用，还涉及到抽象化、推广化、归纳化和演绎化等思维过程.数学高阶抽象思维能力的培养是数学教育的重要目标之一.

1.2 数学高阶抽象思维在数学学科中的作用和价值

数学高阶抽象思维能力的培养对学生的数学学习和发展具有重要的作用和价值.它使学生能够从具体的数学问题中抽象出通用的概念和原理，并能够运用这些概念来解决不同的数学问题，从而提高学习效率和应用能力.它能培养学生的逻辑思维和推理能力，使他们能够进行深入的问题分析和解决，发现问题之间的内在联系和规律，培养批判性思维和创新能力，使学生能够将数学知识应用于实际问题的建模过程中，发现问题的本质和关键因素，提出合理的数学模型并进行分析和求解，培养学生的实践能力和创新思维.数学高阶抽象思维能力使学生能够将数学与其他学科知识进行整合和应用，促进跨学科综合能力的培养，培养学生的综合素养和综合思维能力.

2 指向高中数学建模问题的数学高阶抽象思维能力的方法与策略

高中数学建模问题作为一种综合性的数学问题，由于其问题的复杂性，需要学生正确理解和运用一些实际问题的数据，并能够对这些数据进行合理的处理和分析，提取有用的信息，将其应用于问题的求解过程中，通过构建合适的数学模型，使学生具备一定的抽象思维和问题转化能力，同时需要学生能够将实际问题转化为数学语言和符号，并建立起合理的模型方程或不等式组来解决问题，这给学生和教师带来了一些挑战和困惑.

在高中数学建模问题中，如何培养数学高阶抽象思维能力，从而提升学科的核心素养呢？下面本文将结合实例提出具体的培养方法和措施.

2.1 为了提高学生的抽象思维能力，首先需要加强他们的数学理论基础

教师可以通过课堂教学、辅导班和自主学习等方式，帮助学生掌握数学的基本概念、原理和方法.此外，教師还应鼓励学生多读相关的数学文献，扩大他们的数学知识储备，从而加深对数学的理解和抽象能力.

例1 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若进行多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为?（先验概率）.

（1） 求首次试验结束的概率；

（2） 在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.

① 求选到的袋子为甲袋的概率；

② 将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.

解：设“选到甲袋”为事件A₁，“选到乙袋”为事件A₂，“摸到红球”为事件B₁，“摸到白球”为事件B₂，

这个问题，首先需要学生对人工智能中先验概率和后验概率的概念有所了解，再结合条件概率的知识进行求解，师生最后一起探索原理说明了根据结果来调整对某些事物判断的概率，并不断根据结果来优化判断，从而做出更好的决策的道理.

2.2 问题解决是培养抽象思维能力的关键环节

教师可以设计一系列的数学问题，要求学生通过分析、归纳、推理等思维过程，找到解决问题的方法和策略.同时，教师还应引导学生从多个角度思考问题，培养他们的多元思维能力，提高问题解决的灵活性和创造性.

例如，在学习“二面角”时，教师不直接讲解二面角的平面角定义，而是先提出问题：怎样用平面内的角来度量二面角？

启发学生找一个能正确反映二面角大小的平面角.学生通过思考、讨论、归纳出的几个思路：思路一，在二面角的棱上任取一点，过这一点作一个平面和这条棱垂直，这个平面和二面角的两个平面相交于两条射线，得到一个角；思路二，在二面角的一个面内任取一点，过这点作另一个平面及棱的垂线，连接两个垂足，得到一个角；思路三，在二面角的棱上任取一点，过这一点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条垂线，得到一个角.

针对上述结果，进一步提问：这三种角有什么区别和联系？哪个角是要找的角？

学生思考，归纳总结出：三种方法得到的角都是要找的角，其本质是相同的，即都可以用来度量二面角，但思路三最好，并以它作为二面角的平面角定义.

通过这样一环一环的启发引导，学生就能够较深刻地把握二面角的平面角定义的本质.

2.3 促进学生的合作与交流

合作与交流是培养抽象思维能力的重要手段.教师可以组织学生之间的小组讨论和合作，让他们共同探讨数学问题，分享解题思路和方法.通过互相交流和合作，学生可以从不同的观点和思维方式中获得启发，拓展自己的思维空间，提高抽象思维的灵活性和深度.

2.4 教师角色的转变和指导方式的优化

为了有效地培养学生的抽象思维能力，教师需要转变角色，从传统的知识传授者转变为引导者和激励者.教师可以设计具有挑战性的学习任务，激发学生的探索欲和求知欲.这些任务可以涉及真实世界的问题，需要学生运用抽象思维来分析和解决.通过让学生面对复杂的问题，教师可以激发他们的思维活力，帮助他们发展高阶抽象思维能力.同时，教师应该引导学生的思维过程，帮助他们在解决问题时运用抽象思维.教师可以辅之以适当的数学模型，提出问题，引导学生思考解决问题的不同路径和方法.同时，教师应鼓励学生提出问题、提供解决方案，并通过问问题和提供反馈来引导学生的思考和推理过程.在教师创设的积极、包容和鼓励的学习氛围中，学生也感到安全和自由，积极地去表达自己的观点和想法.通过鼓励学生分享思考过程和解决问题的思路，教师可以促进学生之间的合作和交流，共同探索数学的抽象世界.

例2 鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁是鼎中盛烹煮物的部分，四边形ABCD是矩形，其中AD=40cm，AB=30cm，A₁B₁=20cm，点A₁到平面ABCD的距离为18cm，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（ ）

（假定烹煮的食物全在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁内）

A. 10400cm³B. 14000cm³

C. 14800cm³D. 15200cm³

老师引导学生思考，如何求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积？可以先求出A₁D₁，利用相似，求出点O分别到平面ABCD和平面A₁B₁C₁D₁的距离.

最后抽象出此题求棱台体积的方法：利用分割法，大棱锥体积减去小棱锥的体积.

3 结束语

高中数学建模问题的学习和实践可以有效地培养学生的抽象思维能力.通过参与建模活动，学生可以面对真实的问题情境，进行抽象和建模，运用数学知识解決实际问题，提高他们的数学思维和创造力.可以深入研究数学建模教学的有效性和实施策略.通过比较不同的建模教学方法和实践案例，分析其对学生抽象思维能力的影响，从而为教师提供更加科学和有效的教学指导.

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