指向核心素养发展的初中数学结构化教学

唐俊 刘成龙

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022版）》首次提出了课程内容结构化，并进一步指出内容的结构化整合是探索发展学生核心素养的路径。基于新课标要求，文章在给出结构化教学的概念和揭示指向核心素养发展的结构化教学内涵的基础上，构建了指向核心素养发展的初中数学结构化教学的“四化”基本框架——知识结构化、方法结构化、能力结构化、经验结构化。“四化”的逻辑路线为“知识线→方法环→能力群→经验域”，最终指向核心素养发展。

【关键词】核心素养；初中数学；结构化教学

一、引言

《义务教育数学课程标准（2022版）》（下文简称《标准2022》）首次提出了课程内容结构化，并进一步指出“对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”［1］。同时，结构化成为《标准2022》的高频词汇，体现了新课标对结构化教学的新要求，也表明了结构化的重要性。学术界对结构化教学的研究也取得了一些成果：李文革强调数学知识与核心素养的整体性、一致性和阶段性，教学应整体设计，分步实施［2］；卜以楼基于“生长数学”研究了结构化教学，他认为在教学中只有创设凸显结构的思维情境，才能放大数学结构的功能［3］；李庾南等基于“学材再建构”研究了结构化教学，即进行知识重组，实施单元教学，把知识点放在结构中去教学［4］；等等。这些研究多聚焦于结构化教学的理论指导和实践策略，几乎没有涉及基于核心素养发展的结构化教学研究。因此，本文聚焦数学学科，探索指向核心素养发展的初中数学结构化教学，旨在揭示指向核心素养发展的初中数学结构化教学的内涵和框架。

二、结构化教学概念

关于结构化教学的概念，目前学术界尚未有统一定论。祁宁宁等［5］认为，结构化教学指教师通过整合丰富的教学资源，选择合适的教学方法，组织多元的学习活动，促使学生形成知识结构，并逐渐形成某一学科领域的基本观念，包括学科基本思想和方法等，进而发展学生学科核心素养的教学。吴玉国［6］指出，结构化教学是指学生在已有认知结构的基础上，以学科知识学习为载体，自主经历个性化认知过程并自觉建构整体关联的一种学习方式与方法。许金莉［7］则认为，结构化教学是指教师要着眼于数学知识的整体性，关注数学的本质，基于关联对教学内容进行重组与优化，并将优化后的数学知识作为一个相对独立完整的结构进行整体设计与分步实施，共同达成本部分内容的教学要求，实现学生思维的高度提升，进而建构适合自身发展的结构。王力争等［8］认为，结构化教学就是依赖结构化意识、思路和方法，促使学生思维结构层次不断提升，思维能力有效发展的教学。

可以看出，不同研究对结构化的概念界定的侧重有所不同，有的强调知识结构及基本观念的形成，有的关注个性化认知过程的经历及整体关联的建构，有的落脚点为思维能力提升和自身发展结构的形成。正如郑毓信所言，人们对结构化教学这一概念的解释各不相同，甚至有点混乱［9］。但大部分研究对结构化教学概念的界定都表达了其基本的要素——结构、整体和关联。基于此，本文将结构化教学的概念界定为：结构化教学是指立足学生认知基础，以大单元教学设计为载体，实现知识、能力、方法、经验结构化发展的教学过程。

三、指向核心素养发展的初中数学結构化教学内涵

揭示结构化教学的内涵是研究结构化教学无法回避的焦点。郑毓信认为，结构化教学应关注的核心是“分清层次，居高临下，走向深刻”［9］。根据郑毓信的观点，结构化教学具有层次性、整体性、统摄性、目标性等特征。马云鹏指出，课程内容结构化以主题形式呈现，体现学习内容的整体性、一致性和阶段性［10］，内容结构化的关键是聚焦核心概念，指向核心素养。吴刚平在2022年版义务教育课程方案和课程标准国家级示范培训中指出，课程内容结构化满足三个基本要素，即为什么学（核心素养）、学什么（重要观念、主题内容和基础知识）、怎么学（学科知识学习、学科实践活动、跨学科主题学习）。根据已有研究可以看出，研究者对结构化内涵的解读不尽相同，但能形成共识的是：结构化是结构化教学的核心和手段，也应是结构化教学的出发点和落脚点。具体来讲，结构化的思想统领整个教学过程，成为教学活动的顶层设计理论；结构化的内容成为整个教学活动的载体，成为培育核心素养的现实“土壤”；结构化的活动统摄整个教学活动，成为了教学活动推进的指路明灯；结构化的目标是检验结构化教学水平的重要指标，成为评价教学活动成败的试金石。在知识本位走向素养本位的背景下，发展学生的数学核心素养成为教学活动的主旋律，因此核心素养的发展成为了初中数学结构化教学的归宿，而结构化教学反过来是数学核心素养发展的重要路径和抓手。

四、指向核心素养发展的初中数学结构化教学基本框架

《标准2022》指出，课程内容的设计要体现结构化特征，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。［1］因此，基于结构化教学的概念及内涵，本文提出了指向核心素养发展的初中数学结构化教学基本框架（如图1）：知识结构化、方法结构化、能力结构化、经验结构化（下文简称“四化”）。

数学知识、数学方法、数学能力和数学经验的获得与发展是数学学习活动的主要内容和关键任务，是数学核心素养发展的前提。同时，知识、方法、能力、经验的获得是一个逐级上升的渐进过程。基于此，本文提出了上述进阶层级结构。特别指出，图1结构中的“四化”有明确的含义：众多知识点形成“知识线”的过程为知识结构化，不同方法形成“方法环”的过程为方法结构化，各种能力形成“能力群”的过程为能力结构化，已有经验形成“经验域”的过程为经验结构化，“四化”的逻辑路线为“知识线→方法环→能力群→经验域”，最终指向核心素养发展。

1.知识结构化

所谓“知识线”，即联结相关知识的线路。知识结构化的关键是将知识点联结形成“知识线”。研究表明，知识结构化的过程有利于建立知识间的联系，形成知识网络，整合认知内容，丰富知识结构，优化知识储存形式，减少知识碎片化、零散化状态，从而降低大脑认知负荷，便于学习者快速启动、激活、提取、应用知识。那么，如何建构“知识线”和有效地实现知识结构化呢？经过实践，本文凝练了四层次化的单元教学模式（如图2），即知识问题化、问题情境化、情境模型化、模型经验化。

通过将知识融入问题，对问题赋予情境，利用情境抽象模型，运用模型获取经验，最终实现知识的结构化。具体来说，将知识融入问题，即以问题为主线来统摄知识，回避知识的简单罗列与零散呈现；对问题赋予生活情境、数学情境或科学情境，即通过情境感受知识的来龙去脉，为知识纳入认知系统做准备；利用情境抽象模型，即通过数学化将问题抽象成基本的数学模型（或结构或关系），在对模型深层解构的过程中强化对知识的融合和运用，进而在知识的深度理解中促进知识的整体化和结构化；运用模型获取经验，即将模型建立、模型解构、模型应用等过程进行梳理，形成可持续、可操作的程序，进而上升为基本活动经验，并对模型背后涉及的主体知识、知识间的关联及融合、知识的走向等加以反思，为实现知识的结构化积累经验。不难看出，问题在知识结构化过程中扮演了重要角色，表现在统摄知识、链接情境、建构模型和获得经验。可见，在知识结构化过程中，问题是串联知识的主线，因此教学中需要设置恰当的问题来促进教学活动的开展。

【案例1】探究三个“一次”的关系

在探究一次函數、一元一次方程、一元一次不等式三者关系时，笔者链接生活情境，利用问题统摄三个“一次”，建构起函数、方程、不等式的模型，从而帮助学生获得学习经验。

爷爷和小强经常一起晨练爬山。有一天，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷。图3中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间x（分）之间的函数关系（从小强开始爬山时计时）。（1）分别求出两条线段所在直线的解析式；（2）求小强出发多少分钟后追上爷爷；（3）写出哪个时间段爷爷在小强前面，哪个时间段爷爷在小强后面。

本案例首先从生活情境出发，将一次函数、一元一次方程、一元一次不等式融入三个问题中，以此为主线来统摄三个“一次”。接着，基于情境将问题数学化，抽象并建构三个“一次”的模型，即一元一次方程模型（kx+b=0）、一元一次不等式模型［kx+b＞0（kx+b＜0）］和一次函数模型（y=kx+b），在知识深度理解的基础上促进学生对三个“一次”的整体化和结构化认知。最后，进行模型梳理，即一次函数的图象是融合三个“一次”的纽带：图象在点（8，240）处建构方程模型，在点（8，240）左侧或右侧建构不等式模型。笔者通过解构、重整知识，引导学生形成三个模型并推进模型的应用，进而形成基本活动经验。可以看出，在这一过程中，三个“一次”模型背后的知识关联性强、融合度高、结构性凸显。

2.方法结构化

所谓“方法环”，即由能解决某一个或某一类问题的具有关联性、指向性的多种方法构成的共同体。方法环的实质就是方法的共同体，而方法共同体构建的核心和关键是形成方法结构。数学知识学习不仅要形成数学知识结构，更要在形成过程中逐步形成数学的方法结构［11］，即方法结构化。实践表明，方法结构化的过程有利于建立方法间的联系，形成方法体系，便于学生快速识别、提取问题解决方法，减少方法碎片化、零散化状态带来的问题解决乏力、延时。方法结构化的过程可以从三个维度开展：（1）在宏观上把握问题解决的一般步骤，比如解题活动的一般步骤是弄清题意、拟定计划、执行计划、回顾反思；（2）在中观上识别问题解决的基本程序，比如“猜想—证明”型问题解决的基本程序为先猜后证、特值引路；（3）在微观上厘清问题解决的具体操作，比如猜想的具体操作有结构猜想、经验猜想、归纳猜想、特值猜想等，处理线段和差问题的具体操作有截长法、补短法。因此，方法结构化即在宏观方法的统摄下，由中观方法引领具体操作，构建“三位一体”的方法共同体。

【案例2】等腰三角形存在性问题和菱形存在性问题

在解决等腰三角形存在性问题和菱形存在性问题时，考虑到这两类问题的解决方法具有关联性，因此可建构体系化方法，即通过“三位一体”视角来透析此类问题解决的方法共同体。

已知在平面直角坐标系中，如图4所示，A（-2，0），B（0，2），点C为坐标轴上一点，点D为平面上一点。（1）若△ABC为等腰三角形，求点C的坐标；（2）若四边形ABCD为菱形，求点D的坐标。

宏观上看，问题（1）和问题（2）可整合处理。两个问题均是几何类存在性问题，且具备一定关联性，这是因为菱形可由等腰三角形通过几何变换所得三角形与原三角形组合而成。一般步骤为先利用尺规作图找等腰三角形，再利用代数推理和画图找四边形。中观上看，解决问题（1）是解决问题（2）的充分条件，即明确点C坐标为求点D坐标提供数据支撑。基本程序为先解决等腰三角形存在性问题，根据尺规作图求点C坐标，再利用点A、B、C三点坐标求点D坐标。微观上看，问题（1）可利用“确定顶角”法或“两圆一线”法解决，问题（2）可利用“两圆一线”法和“盲解盲算”法解决，综合题目条件考虑采用“两圆一线”法。具体操作为首先分别以点A和点B为圆心，以AB的长度为直径画圆，然后再连结两圆交点得直线MN，两圆与坐标轴的交点以及直线MN与坐标轴的交点即为所求点C坐标，顺势由“盲解盲算”法求出点D坐标（如图5）。

经过实践，本文提炼了由方法构建方法环的三个步骤：（1）前提，即掌握通性通法，也就是掌握基础知识及其蕴含的数学思想方法［12］；（2）过程，即聚焦将碎片化方法，通过梳理、整合、建构形成体系化方法（即上述“三位一体”）；（3）实践，即将形成的体系化方法迁移至真实陌生的情境中并成功解决问题。

3.能力结构化

所谓“能力群”，指由多种能力构成的能力系统。能力系统中的各种能力相互依赖、彼此关联，是一个具有特定功能的有机整体。能力系统构建的核心和关键是构建能力结构，即能力结构化。首先，能力结构化的首要任务是明晰关键能力是什么。《中国高考评价体系》（以下简称《评价体系》）指出，支撑和体现学科素养的能力表征是关键能力，即认识、分析和解决问题的能力。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》、《标准2022》和《评价体系》均指出要培养和发展学生的“四能”，即发现、提出、分析、解决问题的能力。其次，能力结构化的另一个关键是厘清能力间的关系。《评价体系》指出，关键能力以能力群的形式呈现（如图6），可分为知识获取能力群、实践操作能力群和思维认知操作群。每一个能力群由若干种同类能力构成，各种能力是能力群的基本单元，一方面单元间彼此关联、相互作用，形成了一个特定的能力系统；另一方面能力群间相对独立，各有侧重，能力间的关系脉络清晰、结构明了。最后，能力结构化要建构基本模式。什么样的模式有利于能力结构化呢？答案是问题解决。《评价体系》指出，关键能力以能力群样式呈现，它在生活实践和实际问题情境的解决中体现。因此，能力结构化需要在问题解决中实现，这是因为问题是撬动知识、方法、能力的杠杆，问题解决是汇聚、甄别、建构各种能力的过程，问题解决最终实现能力结构不断优化。

【案例3】一道半开放性试题的习题课片段

现有含糖15%（质量分数，下同）的糖水20克，含糖40%的糖水15克，另有足够多白砂糖和水，要配制成含糖20%的糖水30克。

（1）试设计多种配制方案；

（2）如果要求尽可能多地使用现有糖水，应怎样设计配制方案？

【师生活动】

师：题干中有哪些关键信息？

生1：关键信息有五个，即①含糖15%的糖水，②含糖40%的糖水，③白砂糖，④纯水，⑤含糖20%的糖水。

师：很好！如何通过这些关键信息去解决问题呢？

生1：认真审题会发现，可以通过前四个关键信息去推导第五个关键信息。

师：请问（1）问中可以选择的配制方案有哪些？

生2：如果选用两种材料配制⑤，可选用①和②、①和③、②和④、③和④。

师：如果选用三种材料配制⑤呢？

生2：可选用①②和③、①②和④、②③和④。

师：不错！可以选用四种材料配制⑤吗？

生3：如果选用四种材料配制⑤，可选用①②③④。

师：非常好！同学们对此思路都很清晰，这就是经典的“糖水”问题。

……

本片段所选试题覆盖了关键能力的三个维度：知识获取能力群聚焦阅读理解、信息搜索、整理归纳以及激活提取知识，实践操作能力群聚焦设计配制方案和分析处理数据，思维认知能力群聚焦抽象转化有利条件，演绎推理得对应结论，批判性思考并归纳概括。具体来说，知识获取能力群着力于通过阅读理解获取问题，经历信息搜索、整理归纳获取五个关键信息（包含四种原材料和一种目标产品）；实践操作能力群着力于经历实验设计拟定配制方案，通过数据处理获取材料比例，利用语言表达传递可行方案；思维认知能力群着力于利用抽象思维分析原材料和目标产品，经历演绎推理得出配置方案，借助批判性思維验证方案以及利用归纳概括列举可行方案。可见，学习者在参与互动和问题解决过程中经历了发现问题、提出方案、分析佐证、解决问题的过程，并通过问题撬动知识学习，进而迁移方法，建构和优化能力结构，达到发展核心素养的目的。

4.经验结构化

所谓“经验域”，指由多种经验交汇融合而成的场域。场域中的经验具有高度的交汇性和融合性。经验的交汇性、融合性需要对零散、无序的经验进行加工、整合、优化，形成具有协调性、统一性和一致性的经验系统，即经验结构化。杜威指出，教育即经验的不断改造与重组。实际上，经验的不断改造与重组的最终目的是获取结构更好的经验。具体到数学学科，数学活动是数学教育的主要形式，因此数学教育就是数学活动经验的不断改造与重组，即数学活动经验的结构化。数学活动经验结构化需要回答三个问题：（1）什么是数学活动经验？数学活动经验是指个体在数学活动中经过心智操作和心力操作过程后储存于长时记忆系统中具有意义和价值的数学信息［13］。可以看出，数学活动经验的形成要经历复杂的心理过程，并非简单地记忆。（2）数学活动经验结构化的形成条件是什么？《标准2022》指出，获得数学活动经验的前提是学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能并能体会和运用数学的思想方法［1］。因此，数学活动经验结构化应以知识结构化、方法结构化、能力结构化为前提，即只有实现知识、方法、能力结构化才能实现数学活动经验结构化的跨越。（3）数学活动经验结构化的形成路径是什么？第一，夯实基础知识、基本技能和基本思想，有序实现知识结构化、方法结构化和能力结构化；第二，开展以学生为主体的数学活动，让学生在切身体验中获取数学活动经验；第三，厘清数学活动经验间的关系，将零散的经验整合到经验“团队”，再将经验“团队”纳入已有结构，从而进一步重组、改造已有结构，以实现数学活动经验结构化。

【案例4】初中阶段函数学习路径的经验结构

初中阶段涉及的函数内容，以一次函数、反比例函数、二次函数为主。学习一次函数和反比例函数时，依次研究了概念、解析式、图象、性质和应用。实际上，二次函数的学习路径可效仿并加以适当重组和改造一次函数（或反比例函数）的经验结构，进而形成二次函数学习的基本数学活动经验。具体来说，学习一次函数（或反比例函数）时，首先研究实际问题，分析一些运动现象，在运动现象中找出刻画运动变化的变量并用符号表示，将其提炼为数学问题；其次分析运动现象中的数量关系，列出函数关系式；再次分析所列函数关系式的特点，抽象出一次函数（或反比例函数）的概念；从次用描点法画出函数图象并观察，概括一次函数（或反比例函数）的性质；最后应用性质解决问题。（如图7）

图7所示数学活动形成了一次函数（或反比例函数）的知识、方法、能力结构，并进一步形成经验结构。在一次函数和反比例函数学习经验基础上，以学生为主体开展二次函数学习活动，以此获取基础知识、基本技能和基本思想。由于二次函数的特殊性，学习二次函数时需要在函数性质研究处作重组与改造（以华东师大版教材为例）：（1）经验的重组。一次函数学习相对比较简单，即先研究一般形式y=kx+b，再研究特殊形式y=kx，接着研究y=kx的图象和性质并类比y=kx+b；二次函数的学习则是基于二次函数的特殊性，将一次函数学习经验进行扩充重组，依次研究y=ax2、y=ax2+m、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+m和y=ax2+bx+c，再研究后四者的图象和性质并类比y=ax2的图象和性质。（2）经验的改造。一是解析式的类型发生变化，一次函数主要研究一般式，而二次函数除了一般式以外，还增加了顶点式、交点式；二是图形的形状发生变化，一次函数图象是一条直线，而二次函数图象是一条曲线；三是图形的性质发生变化，从左往右看，一次函数的增减性始终一致，而二次函数在对称轴左右两边增减性相反。

通过数学活动夯实函数相关基础知识、基本技能和基本思想，将学习经验“团队”融合已有结构并重组改造，能实现数学活动经验结构化，如函数学习路径经验为“概念→解析式→图象→性质→应用”，研究思路经验为从具象到抽象、从单一到复杂、从特殊到一般等。

五、结语

本文从结构化教学概念入手，在知识、方法、能力、经验结构化四方面构建了发展核心素养的框架，旨在促进一线教学形成结构化的观念和意识，最终指向学生核心素养发展。笔者相信明确的指向核心素养发展的初中数学结构化教学内涵和框架将为教学实践带来理论支撑，大量的教学实践将进一步丰富这一教学理论体系。本文未讨论指向核心素养发展的初中数学结构化教学评价指标体系，这将是接下来重点探讨的课题。

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［11］汤久妹. 探结构 悟结构 用结构 固结构：以“用二元一次方程组解决实际问题（第一课时）”的教学为例［J］. 初中数学教与学，2023（3）：17-18，34.

［12］章建跃. 注重通性通法才是好数学教学［J］. 中小学数学（高中版），2011（11）：封底.

［13］赵思林. 数学活动经验的含义新探［J］. 数学教育学报，2019（2）：75-80.

（责任编辑：潘安）

【作者简介】唐俊，二级教师，主要从事初中数学教学与研究工作；刘成龙（通讯作者），副教授，博士在读，研究方向为数学课程与教学论。

【基金项目】四川省首批卓越教师教育培养计划改革试点项目“西部卓越中学数学教师协同培养计划”（ZY16001）