结构化教学，彰显数学整体系统的教学力量

潘明珍

摘 要：掌握数学知识的结构，形成学生的结构化思维是数学教学的应有之义。教学中，教师要秉持“高观点”，基于“大视野”，运用“关系思维”，展开“结构化教学”。立足于不同视角、原初关联、相关特性，可以让学生对数学知识展开整体感知、探究、感悟，进而彰显数学整体系统的教学力量。

关键词：结构化教学；高观点；大视野；关系论

当下的数学教学突出存在两个问题：一是教师的教学依赖于教材的单元编排，缺乏整体的视角。由于备课以课时的形式展现，因此，许多教师对课时教学设计精益求精，忽视了对知识点在整体知识链中性质的研究；二是教师往往要求学生“从数学角度进行思维”，而很少让学生“通过数学学习学会思维”，数学的育人价值没有得到应有体现。数学教学呼唤“结构化教学”，以便彰显数学整体系统的教学力量。通过整体架构、有机渗透、集约经营，发展学生的数学核心素养。

一、结构化教学：依据及其可能

结构化教学有三重意义：一是高观点下认识数学的本體性知识；二是数学知识的结构化；三是学生思维的结构化。在教育史上，从列维的“结构主义”到皮亚杰的“认知结构理论”，从布鲁纳的“学科基本结构”到奥苏贝尔的“有意义学习理论”，无一不重视“结构”。正如华东师范大学叶澜教授所说，“掌握包括知识的、方法的和过程的多重意义的结构，是最有效地达到学生学会学习的途径，对学生用综合的眼光去发现和认识解决问题具有基础性作用。”

1. “高观点”下教知识

小学数学知识有许多鲜明的特性，如形象性、描述性、可感性等。这些数学知识由于儿童的年龄和心理特征，没有采用抽象化、符号化的定义，因而生动、具体。但也因此带来了许多认识误区和实践偏差。例如“方程”，小学教材中的定义是“含有未知数的等式叫作方程”，致使许多教师教学时抓住“等式”“未知数”等词让学生辨析、判别，以至于学生认为“a+b=b+a”也是方程。华东师范大学张奠宙先生认为，这样的教学纯属折腾，对于学生认识方程、学习解方程没有任何实质意义。方程是什么？方程是在已知数量和未知数量之间建立一种关系。在小学数学中，类似的概念还有许多，如学生在认识圆的直径、半径时，许多教师往往特别强调同圆、等圆等。在高观点下教数学，不会钻牛角尖，相反会引导学生展开深度的数学思维，把握数学知识中蕴含的数学思想。

2. “大视野”下教结构

数学知识的存在不是孤立的、单子形态的，而是整体系统的有机组成。在数学教学中，倡导并践行“结构化教学”，能够让学生“见树木更见森林”。教学中，教师要把握数学知识的结构之形，领悟数学结构之神。结构之形，即显性的数学知识联系；结构之神，即隐性的脉络关联。只有“形神兼备”，才能形成学生的“结构化思维”。例如“分数的认识”，在三年级上册直观认识几分之一、几分之几，在三年级下册学习将一些物体组成的整体平均分成几份，认识对应的分数，而到了五年级开始建立较为抽象的分数意义，其间的关系显而易见，这是一种显性的知识联系。此外，学生在计算领域学习“商不变的规律”，在数的领域学习小数的性质、分数的基本性质，在认识比中学习比的基本性质等，其间所蕴含的联系就是一种隐性关联。再如，整数加减法、小数加减法、分数加减法所蕴含的“计数单位相同才能相加减”也能彰显隐性结构的力量。教学中，教师必须秉持大的视野，将数学知识串起来、连起来、合起来，形成意义结构。

3. “关系论”下教思维

儿童的思维有两类：一类是“实体性思维”，即对知识本身的思维；二是“关系性思维”，即对知识关系的思维。数学知识的结构性、逻辑性特质为形成学生的结构性、关系性、系统性思维提供了有益的支撑。有了关系思维，学生就能从整体、系统、全局的视野展开思考，而不会拘于一隅，思考就会均衡、客观、理性、多元，就不会眉毛胡子一把抓。例如，教学“加法交换律”和“加法结合律”，具有“结构化思维”的学生会进行联动串式思考、主动问学，“老师，有没有减法交换律、结合律，乘法交换律、结合律”等。他们会对数学知识进行块状归类、网状思维，如学习《三角形内角和》，学生会主动思考并探究“四边形的内角和”“五边形的内角和”甚至“多边形的内角和”等。他们会展开立体性反思，如学习了《圆的面积》后，学生会对推导过程进行反思，展开咀嚼、反刍，“化曲为直”的圆除了可以转化成长方形外，还能转化成已学习的其他图形如三角形、梯形吗？如果能，怎么转化呢？“结构化思维”让儿童的数学思维更有条理、更加深刻。

二、结构化教学：路径及举措

认识到数学知识具有结构化特质，认识到儿童思维具有结构化必要、结构化可能，就必须展开数学“结构化教学”的研究，探寻结构化教学的现实路径及举措。教学中，教师要将数学学科的结构性知识与儿童的结构性思维进行无缝对接，注重数学知识的广度、深度及其厚度，实现学生数学素养尤其是数学思维的发展、提升。

1. 立足不同视角，对数学知识进行整体感知

立足于不同的视角，对数学知识进行整体感知要让学生感觉到数学知识就像一串葡萄，是提得起、连得上的。所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，教学中要让学生多元观照数学知识，帮助学生在头脑中形成一个立体、开放、动态的知识结构。在这个结构中，相关知识可以纳入其中，其中的某些知识节点同样可以迅捷地提取，用来指导相关数学问题的解决。例如：在一年级上册认识立体图形后，一年级下册的“平面图形的认识”可以从立体图形引入，以便让学生形成“面是体的面”的意识；而在二年级认识角、认识线时，可以从平面图形入手，以便让学生感受到“线、角”是平面图形的线、角。这样的教学，首先让图形立起来。由于有了这样的立体渗透、启蒙，在四年级下册学习“三角形的认识”时，就可以反过来，让儿童立足于边、立足于角分别对三角形、平行四边形、梯形进行研究。例如“三角形”，从角看可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等，从边看可分为等腰三角形、不等边三角形，其中等腰三角形还有一种特殊的等边三角形等。基于这样系统而多元的视阈，学生就能对数学知识获得整体感知、整体感悟。

2. 立足原初关联，对数学知识进行整体探究

由于学生的年龄和心理特征，数学的整体知识被分散、割裂在教材之中。因此，在数学教学中，教师要从整体视角把握教材，站在高处，想到深处，要读懂、读通、读透知识，不仅要找到知识元素，而且要找到元素的原初关联。例如教学《年、月、日》（苏教版小学数学教材第6册），据笔者观察，绝大部分教师的教学都是孤立的，没有联系二年级下册的时分秒。时间本身就是一个整体，是一个“时间流”，从秒到分，从分到时，从时到日，从日到星期、月、年、世纪等，原初的时间是不可分割的。据此，笔者教学时立足于原初关联，用照片引入，照片上显示的是整体的拍摄时间，某年某月某日某时某分某秒，学生一下子就整体感悟到时间流。在此基础上，笔者基于学生已有的知识经验，展开教学。

师：关于时间，你已经知道了什么？

生1：我知道1小时等于60分，1分等于60秒。

生2：我通过阅读科普书知道了地球自转一周的时间为1昼夜，地球围绕太阳公转一周的时间为1年。

生3：我知道月球围绕地球公转一周的时间是1月。

……

師：关于时间，你们有什么疑问吗？

生1：一年有多少月？一月有多少天？一年有多少天？……

接着，笔者让学生围绕日历展开探究，学生纷纷表达自己的认识，诸如大月、小月、2月。同时学生自然生成新的问题，如为什么“2月份既有28天，又有29天？”“为什么前面7个月中大月都是单月，后5个月中大月都是双月”等。是什么决定着2月份天数的规律呢？是谁规定了大月、小月的月份呢？笔者通过地球、月球自转、公转以及恺撒和奥古斯都的故事引导学生继续探究，深化理解。

3. 立足相关特性，对数学知识进行整体感悟

数学知识是结构性的，如何将结构性的知识内化为儿童的结构性思维？固有的、僵化的知识是不可以硬生生地塞进学生的头脑中的，教学中教师可以对相关知识进行比较，采用分类分析和聚类分析的方法，让学生进行主动迁移。例如教学《角的度量》（苏教版小学数学教材第7册），大部分教师就知识教知识，至多像著名特级教师强震球老师那样，让学生经历量角器的诞生历程。笔者在教学中，采用结构化比较的策略进行教学，收到良好的教学效果。首先，和学生一起复习“用厘米尺测量物体”，这是学生已有的知识经验，可以被教师激活、唤醒。测量时引导学生思考：测量线段用了什么仪器？——直尺。怎样测量线段？——既可以从0刻度开始测量，也可以从其他刻度开始测量。为什么不同的测量方法都可以量出长度？——都是看比较长度里面有多少个标准长度（1厘米）。据此展开“角的度量”教学，学生自然提出了三个本质性的核心问题：测量角度用什么仪器？——量角器。怎样测量？——既可以从0刻度开始测量，也可以从其他刻度开始测量。为什么不同的测量方法都可以度量出角度？——都是看比较角度里面有多少个标准角度。由于学生经历了“量角器”的诞生过程，从“单位小角”的认识到“多个小角的连接”再到形成“量角器”，由于学生有了测量线段的经验支撑、比较、迁移，学生很快掌握了量角的要领。他们不再混淆量角器的内圈、外圈了。

“结构化教学”要求教师基于整体、系统和全局的视野观照数学知识，形成知识板块、结构，将之内化成学生的结构性思维，使结构化知识成为学生核心素养的重要组成。以结构化的方式进行教学，就是对数学知识左顾右盼、上下贯通、前延后续，就是要注重知识比较、方法点拨和思想渗透。