例谈数学运算和逻辑推理能力的培养——以2023年北京卷第19题为例

西藏自治区山南市第二高级中学 周宗杰 (邮编:856099)

安徽省淮北市教育科学研究所 张建明 (邮编:235000)

章建跃曾经说过“运算是童子功,推理是命根子”,推理和运算是马车的两个车轮,其发展是相辅相成的,不能有失偏颇.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出“数学教育要提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界”.要提升学生“会用数学思维思考世界”的能力,就要发展学生的数学运算能力和逻辑推理能力. 圆锥曲线是培养学生数学运算能力和逻辑推理能力很好的载体,下面以2023年北京卷第19题为例,谈谈逻辑推理能力和数学运算能力的培养,以期起到抛砖引玉的作用,为课堂教学带来一些启示与思考.

1 真题再现

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设P为第一象限内椭圆E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线AP与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.

这道高考题是帕斯卡定理的退化形式. 帕斯卡(Blaise Pascal)是17世纪法国著名数学家,他指出:如果一个六边形内接于一条二次曲线,那么它的三对对边的交点在同一条直线上.

如图1所示,椭圆E的退化内接六边形ABCCDP的三组对边AB与CD的交点无穷远点、BC与PD的交点M、过点C的椭圆的切线CC与AP的交点N三点共线,由于AB∥CD,故MN∥CD.

图1

2 问题分析

3 解法分析

又点B(-3,0),C(0,-2),则直线BC方程为:2x+3y+6=0

①

②

联立①②得

故MN∥CD.

思路分析解法1直接从题目本身出发,设点P的坐标来进行运算,当然也可以借助椭圆的参数方程设P(3sinθ,2cosθ),采用相同的方法来进行计算. 这种方法的优点是思维成分少,便于入手,缺点是运算量大,一不小心就容易算错.

3yM=2xM-2xN-6

③

又点M在直线BC:2x+3y+6=0上,即

2xM+3yM+6=0

④

对于本题而言,还可以从几何的角度对信息进行转化,比如:由于△BCD是等腰三角形,当MN∥CD时,因为BC和CM重合,且CN∥BD,故△BCD相似于△CMN,则CM=MN,即2xM=xN.当然如果从数的角度分析,可以发现当MN∥CD时,kMN=kCD=-kBC=-kCM,即CM=MN,则2xM=xN.

由此不难发现,转化化归的角度既可以是几何角度也可以从代数角度,数形结合的思想也伴随其中,而逻辑推理能力是进行转化化归不可缺少的学科素养之一.

以上两种解法都是从设点P的坐标入手解决问题,运算的难易程度与信息转化的方式有关. 当然,解析几何问题的入手点是不唯一的,不同的入手点和处理问题的角度所带来的运算量也是不同的. 除了“设点”的方法入手,还可以考虑“设线”的方法入手,考虑到动直线AP与椭圆恒交于定点A(0,2),因此可以设直线AP的方程来入手.

该方法也可以设直线PD方程来进行求解.解题中巧妙运用了直线与椭圆交于已知的定点来进行处理相关问题,大大减少了数据运算,这里面在设直线方程的技巧背后所隐藏的逻辑推理能力是十分重要的.

4 总结

“设点”和“设线”是处理解析几何综合问题常用的思路和方法,到底应该从哪个角度入手?这就需要学生在处理问题之前进行相应的逻辑推理,注意发现处理问题的突破点和关键环节,适当进行转化化归,将几何关系与代数关系进行合理的转化,从而降低问题的难度和简化数学运算.

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证. 数学运算是解决数学问题的基本手段,数学运算包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、获得运算结果. 逻辑推理和数学运算是高中数学核心素养重要内容,在教学中不可偏废,它们是相辅相成的整体. 缺少运算的推理就是空想;缺少推理的运算就是蛮干. 数学运算素养并不是仅仅算得对算得快,更要求学生要掌握一定的运算技巧,从多角度分析问题,尽可能的降低运算难度和运算量,这里就离不开逻辑推理能力. 因此,教学中一定要引导学生夯实运算能力,加强逻辑推理训练.