三版初中数学教材中“实数”内容的对比研究

贵州凯里学院附属中学贵州师范大学数学科学学院 杨正朝 (邮编:556000)(邮编:550025)

1 问题提出

教材作为教学开展的工具,是课程知识和内容的载体.对教材进行对比,能够起到厘清教材内容编排逻辑和优化教学的重要作用.《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“新课标”)将课程内容划分为:数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个部分[1],实数作为数与代数的重要内容,在初中数学中占据着基础性的地位,为后期学习其他内容起到铺垫作用.同时,对培养学生运算能力、推理能力等核心素养具有极大的帮助.

研究以人教版、苏科版和北师大版中的“实数”章节为对象.在内容上,从章前页、内容编排、呈现方式、数学史四个方面进行对比;在习题上,从数量和综合难度进行对比.基于“实数”内容的比较,以期整合三版教材的异同点,为教材编写和优化教学提供参考.

2 三版教材中“实数”的内容对比

2.1 “实数”中教材章前页的对比

苏科版“实数”则比较直接地表述出实数是由有理数、无理数组成,并将数轴与实数联系起来,强调实数与数轴上的点是一一对应的关系,借助数轴工具,让学生能够更为直观地理解实数内容.同时,在章前页中,根据前面所学的勾股定理设计数学问题,要求学生通过计算,辨析哪些是有理数?哪些是无理数?能否在数轴上表示出相应数值?以问题提出的形式,启发学生思考,引入实数内容.

北师大版“实数”的章前页从两个方面引出实数:一是,借助数学史来引入.其中,不仅提出古希腊的毕达哥拉斯学派的问题“所有的数量都可以用整数或者整数的比表示,该论断正确与否?”,而且附加了毕达哥拉斯的毕达哥拉斯螺线图,充分体现了数学之美,贴合实数主题内容;二是,利用数学情境的实例来阐述.你能求出面积为2的正方形的边长吗?你知道圆周率π的精确值吗?……它们能用整数或分数(即有理数)来表示吗?通过上述两个方面,引起学生质疑和思考,从而引出下文学习内容:无理数、实数、平方根、立方根等内容,并学会利用估算或计算器求解无理数的近似值.与其他两版不一样的是,北师大版在章前页中,加入了学习目标板块,别具特色,这就为教师的“教”和学生的“学”,明确了实数内容的学习目标和方向.

综上可知,人教版和北师大版在章前页上,重视情境问题的创设,尤其是以跨学科知识、数学史为背景,不仅贴合课标要求,而且为引出实数内容做好衔接,帮助学生深化实数内容的理解,启发学生思考,让人印象深刻,起到抛砖引玉的作用.而苏科版则借助勾股定理设计问题,起到了温故知新、承上启下的作用.三版教材的章前页设计各具特色,值得深入探析.

2.2 “实数”中内容编排的对比

通过对三版教材实数章节进行分析,得出其编排情况,如表1所示.由表可知,三版教材呈现出异同点.其共同点是:三版教材编排顺序都是从平方根→立方根→实数,这符合学生的认知发展水平,便于学生的理解.不同点在于:一是,安排的学段不一致,人教版实数内容安排在七年级下册,放在相交线与平行线之后,而苏科版和北师大版都安排在八年级上册,苏科版放在全等三角形、轴对称图形和勾股定理之后,北师大版放在勾股定理之后;二是,编排的节数不同,人教版只有三节,苏科版有四节,而北师大版则有七节;三是,在内容排布上,一方面,对于近似数和利用计算器开方,北师大版和苏科版单独设立一节介绍,而人教版是将其分别融入平方根和立方根两节内容中.另一方面,人教版和北师大版都是先给出算术平方根的概念,再给出平方根的概念,而苏科版则是先得出平方根的概念,再给出算术平方根的概念,三版教材在平方根内容编排逻辑顺序上,有所差异.

表1 三版教材“实数”章节的内容编排

2.3 “实数”中呈现方式的对比

从2.2可知,平方根、立方根和实数内容作为三版实数章节的共同部分,不仅是实数章节的重点,而且三者之间彼此联系.因此,下面以这三节内容作为代表进行对比分析.

在平方根内容上,人教版先是提出问题“美术比赛中,面积为25dm2的正方形画布,如何求作品其边长?”该问题实则是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.以此,提出算术平方根概念,进而在后面顺其自然的引出平方根概念.苏科版则以前面所学的勾股定理来设计题目,启发学生思考“x2=a时,x是什么数?”的问题,进而引出平方根的概念.北师大版基于勾股定理设计问题,要求学生辨析问题中x,y,z,w那些是有理数?那些是无理数?从而提出算术平方根的概念,并在后文引出平方根的概念.

在立方根内容上,三版教材在概念引入上相似,只不过问题的情境不一样,三版教材分别以包装箱、植物细胞、储气罐等实际例子,设计情境问题,通过类比平方根的概念,进而得出立方根的概念.因此,在立方根内容上,三版的呈现方式差别不大.

2.4 “实数”内容在数学史的对比

表2 三版教材数学史融入的对比分析

3 三版教材中“实数”的习题对比

3.1 习题数量的对比

三版教材在习题编排上都是以“1”“2”等数字命名,而有的题目还包含的有“(1)”“(2)”等小问,因此,为了更好地统计习题数量,将其看作一道题来计数,分别从例题、练习题、习题和复习题四个方面进行统计,如表3所示.

表3 两个版本教材的习题数量统计

由表3可知,三版教材在习题设计上,呈现出一定的差异性.在习题总数上,北师大版最多,高达107道,其次是人教版70道,最后是苏科版59道;在例题数上,三版教材差异较小,都在10道左右;在练习题和习题上,北师大版>人教版>苏科版;在复习题上,北师大版最多,为26道,苏科版与人教版差别不大,分别是15、14道.由此可见,在习题设计上,北师大版更加关注习题数量的设计,反映了其关注学生课后对教材知识的及时训练.但是从内容编排来看,习题数量多又在情理之中,与其他两版相比,北师大版实数内容章节较多.

3.2 习题综合难度的对比

表4 三版教材习题的难度因素比较

根据表4数据,不难发现,三版教材中的探究、运算和推理因素均比较高,而且相差不大,但是背景和知识含量因素则较低.其中,三版教材的运算因素均在2.0以上,而背景因素比较低,原因在于实数内容更多的强调考查学生的运算能力核心素养,与个人、公共和科学等情境缺乏联系.在知识含量上,苏科版和北师大版都高于人教版,从上述内容编排来看,不难发现,苏科版和北师大版均在八年级上册学习实数内容,前面已经学习了勾股定理等内容,这也使得实数在习题设计上,融入了其他相关知识点,丰富了习题类型.

4 反思及启示

4.1 基于学生认知特点统筹三版教材,合理开展教学

在不同学段,学生的认知水平是不尽相同的.一方面,教材编制要遵循学生最近发展区,合理编排教材内容,帮助学生由浅入深、由易到难,循序渐进地理解教材知识.另一方面,教师要提升专业水平,深入理解教材编排的呈现方式和逻辑顺序.例如,在无理数的导入上,教师要拓展教材的阅读和探析深度,对比三版教材各自导入的特点,人教版和北师大版为何均以“有理数化小数”的实例来导入无理数概念,而苏科版则以勾股定理的相关试题来导入.教师要重点思考其缘由,结合学生认知特点优化教学.又如,在平方根的学习中,到底是先介绍算术平方根还是平方根,哪种更为贴合学生认知.其中,人教版和北师大版均是先介绍算术平方根,再引出平方根,苏科版则是截然相反.对于这种内容编排的逻辑顺序,教师要善于去发现和总结,并归纳最优的授课顺序.

4.2 丰富教学手段,促进教学形式多元化

4.3 增设背景及知识含量,优化习题难度

在习题综合难度上,三版教材在探究、运算和推理上,下足了功夫,这与“实数”这一章的教学目标相契合.上述研究表明,习题背景考查相对缺乏.一方面,习题不仅要考查学生对算法、法则等方面的掌握程度,以便灵活构建运算程序解决问题,而且要与生活实际相关联,搭建理论与实践相结合的桥梁,通过设计丰富情境,培养学生应用能力,也可增添跨学科背景,增强学生跨学科的应用意识与实践能力,丰富学生的知识经验.另一方面,从近年考试来看,中考试卷中以生活情境、科学情境等为背景的试题较多,足以显示其重要性.同时,新课标强调了立德树人的理念,提倡五育并举,此类背景习题不仅考查学生学以致用的能力,而且可以起到育人的作用.由此可见,增加适当的背景习题,对于落实课标要求是十分必要的.

同样地,在知识含量上,多以该节内容为主,考查学生在理解算理的基础上进行运算训练,缺乏与其他知识点的结合,这就导致了知识点考查形式较为单一,尤其是人教版,由于实数内容安排在七年级下册,与其他知识点(如勾股定理等)综合考查的机会就更少.尽管该板块的重点放在平方根、立方根等运算上,但是不可否认的是,多知识点的融合,不仅能够对学生起到温故知新的作用,而且可以增强学生综合解决问题的能力.从长远来看,多知识点考查,能够拓宽学生视野,培养学生用联系的观点看待问题,提升学生问题提出和问题解决的能力,为今后走入社会和终身学习打好基础.因此,为了尽可能地做到各因素的平衡,应该以课程标准和学生数学核心素养考查为出发点和落脚点[3],进行内容编排和习题设计,以适应学生未来发展方向.