素养观下尺规作图教学的思考

重庆复旦中学 肖 霄 (邮编:400010)

1 问题提出

“图形与几何”作为《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准(2022年版)》)中四个课程内容之一,内容变化不多,主要体现在一是《标准(2022年版)》将尺规作图从初中前置到小学;二是增加了作图类型并提高作图要求:能用尺规作图过直线外一点作这条直线的平行线以及过圆外一点作圆的切线,将过去“会用三角尺或量角器过一点作已知直线的垂线”改为能用尺规作图过一点作已知直线的垂线[1-2].但在《标准(2022年版)》愈发加强尺规作图教学要求,提升学生动手作图能力的同时,笔者在听课的过程中却发现不少教师教学中对该内容的处理“方法单一”,或者干脆匆匆带过,学生只要掌握或者就是记住基本的操作方法即可,对尺规作图方法原理的挖掘和方法间异同剖析不够;对尺规作图在教学中的作用认识不足,学生作图过程缺少必要的作法说明,难以感受作图的严谨性和思维价值.针对这些问题,首先应明确尺规作图在现今素养为育人导向的教学中的价值.然后在此和大家做个探讨,谈一点自己的教学思考.

2 明晰尺规作图的育人价值

核心素养的本质不是单纯的知识技能,也不是单纯的兴趣、动机、态度,而是重视运用知识技能以及解决现实问题所必需的思考力、判断力与表达力及其人格品性[3].尺规作图特有的育人价值,使其在培养学生核心素养方面具有不可替代的作用.

2.1 培育创新思维

一般几何问题注重辨析论证,解题过程侧重于现有条件分析问题,最后解决问题,更多是“记忆型”知识的重现和参与,主要发展的是“双基”能力.但尺规作图问题往往需要学生首先构想符合题目的几何概念(发现问题),利用直尺和圆规通过动手操作将“想象”的概念以图形“构造”出来(提出问题),通过分析论证自己创设的问题情境,最后解决问题(画出图形).因此在学生的尺规作图数学活动中,首先需要调用切合问题的知识和尺规使用技能将问题所需的概念“具化”,在锻炼发现问题和提出问题能力的同时,逐步摸索用数学的眼光观察现实世界;在运用思想、方法逻辑推理所构想图形是否严谨,是否符合问题要求的过程中,学会用数学的思维分析思考现实世界;而在严谨演绎推理验证前面的直观感知和空间想象,提升其问题解决能力的同时,也在逐渐尝试用数学的语言表达现实世界.这些培养、夯实“四基”“四能”的活动全程离不开学生能动性的“思考型”学习参与,促进了创新思维的孕育、诞生和发展.

2.2 发展几何素养

大量的研究表明:从初中开始,几何直观从基于操作经验的感悟逐步过渡到基于概念的推理,空间观念的发展主要依赖于图形的构造、表征与转换,学习与理解几何的方式将从观察、实验、测量逐步过渡到以演绎为主的推理[4].由此可看出几何教学不能一味注重推理辨析,必须重视学生的直观感知和操作证实.

在尺规作图的学习活动中,学生首先发挥直观感知、空间想象和合情推理构想过程和结论,紧接着利用直尺和圆规将其直观呈现,再运用逻辑推理对其位置和数量关系进行必要的辨析证明,整个过程如图1所示.在动手操作中,学生不断积累必要的数学活动经验,从而深入体会验证几何和逻辑推理在几何学习中的作用,推动几何直观、空间想象和推理等几何素养能力的提升.

图1

2.3 培养良好的情感态度价值观

情感态度价值观是培养数学核心素养的“内驱力”,与“四基”和“四能”深度融合,共同导向素养目标.尺规作图问题所涉几何概念理解的低起点和作图方法技能的宽口径,使得各认知水平层次的学生都能参与其中,以《标准(2022年版)》中新增的尺规作图类型:过直线外一点作这条直线的平行线为例.

如图2,已知点P为直线l外一点,过点P作l的一条平行线,要求:直尺和圆规作图,保留作图痕迹,并写出必要的文字说明.

图2

基础较薄弱学生容易联想到平行线的判定方法,如图3所示(作法:过点P作l的垂线PO,过点P作PO垂线AP,则AP即为求作的平行线).而对于认知基础较好的学生,则会进一步联想哪些几何概念蕴含平行的性质,构造符合该概念的图形即可,如图4所示的作中位线(作法:在直线l上任取一点A,在射线AP上作线段PB=AP,另在直线l上任取一点C,作BC中点F,则PF为求作的平行线)和图5的作菱形(作法:在直线l上任取一点A,在直线l上作线段AB=AP,分别以点P、B为圆心,线段AP长为半径作圆交于点C,则CP即是求作的平行线).因此各认知层次的学生都能在观察、类比和联想以及合情推理,甚至直觉等一系列智力活动中自主探究、尝试构想问题所需的图形关系,并通过操作尺规将其直观呈现出来,从中获得必要的认知建构体验,逐步树立积极主动和不畏困难等良好的情感态度价值观.

图3

图4

图5

3 教学建议

3.1 重视基本作图,鼓励方法多样

尽管在《标准(2022年版)》中,现阶段尺规作图虽然只有五种基本类型,但学生正是从基本作图类型开始熟悉作图流程,规范作法用语,更重要是从基本类型的作图中领悟到尺规作图的主要思路和基本方法在于“执果索因”,逆向思维假设图形已经作出,再分析图形成立需要满足什么条件,什么条件是可以通过直尺和圆规的作图得到的,因此基本类型的作图课是基础课、示范课、规范课,更是方法课,必须予以重视.但结合笔者的多次听课经历,在目前的尺规作图教学中,部分教师容易陷入只是教授教材中的作图步骤,然后习题训练强化的怪圈,导致学生对作图原理认识不足.其实,方法的多样意味着考虑问题的出发点的不同,所涉及的知识也就不同.方法的不同需要学生主动探究,经历条件分析、关联图形、调取知识、构思图形、证明图形、确定图形的完整思维过程.以《标准(2022年版)》中新增的尺规作图类型:过圆外一点作圆的切线为例.

如图6,已知点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的一条切线,要求:直尺和圆规作图,保留作图痕迹,并写出必要的文字说明.

图6

结合题目条件和切线概念,即是在圆上确定一点N,使∠PNO=90°,问题转化为作图构造什么图形条件可得到直角或直角三角形,调取认知结构中与之相关的知识,在除该作图所在章节对应知识点“直径所对的圆周角是直角”关联的方法外,还有如“等腰三角形的三线合一”、“菱形的对角线互相垂直”,如图7(做法:连接OP,以O为圆心,以⊙O直径长为半径作弧,以点P为圆心,PO长为半径作弧,两弧交于点B,连接OB交⊙O相交于点N,连接PN,则PN即为所求作的切线.)、图8所示(做法:连接OP,以O为圆心,以⊙O直径长为半径作弧,以点P为圆心,PO长为半径作弧,两弧交于点B,分别以点O和点B为圆心,PO长为半径作弧,两弧交于点C,连接OB、PC交于点N,连接PN,则PN即为所求作的切线.).

图7

图8

此外,认知水平层次较高的学生可能跳出思维桎梏,在关联相关知识构造直角之外,先作一个直角,尝试全等或相似三角形的方法在圆上将直角复制出来,如图9(作法:连接PO交⊙O于点A,作∠CMB=90°,在MB截取MD=AO,在以D为圆心,PO长为半径作弧交MC于点E,以点P为圆心,ME长为半径作弧交⊙O于点N,连接PN,PN即为所求作的切线.),图10(作法:连接PO交⊙O于点A,以O为圆心,PO长为半径作圆,延长PO分别交两圆于点B和点C,以点C为圆心,AB长为半径作弧交大圆于点D,连接PD,过点O作PD垂线,垂足为N,连接PN,则PN即为所求作的切线.)所示.

图9

图10

鼓励学生多种方法作图(必要时可教师引导),不仅可使学生充分联系前后所学知识,并使知识得以“内化”,理解更全面和深入,更为重要是通过对比方法间异同,明晰方法之间的内在关联性和一致性,多种方法意味着学生可从多维角度感悟直观感知、操作证实与推理辨析在作图过程中的相互关系,这对积累活动经验,培养创造性思维、直观想象力和推理能力,发展核心素养大有裨益.

3.2 重视尺规作图教学,注重自主探究

尺规作图,以兼容并包的多维思路、直观明了的感知方式、科学严谨的逻辑推理成为数学教学中蕴含丰厚思维价值的教学内容,凸显其在发展创新思维、几何素养和培养良好的情感价值观方面不可替代的育人作用.因此要重视尺规作图的教学,除鼓励引导学生发散思维,对问题展开多种思路的作图方法外,还应注重在几何概念、命题形成和辨析过程中应尽可能地多给学生利用尺规作图开展自主探究的机会,使其把尺规作图作为合情推理的手段,用作图去发现结论,然后用演绎推理证明结论,如在学习命题“直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半”后,可设问“其逆命题是否成立?”

图11

尺规作图本质是一种“问题情境”的创设,教师可利用几何概念、定理或命题中某些易混淆,不易理解或难掌握的部分创设较丰富的问题情境,学生关联和调取相关图形或模型知识,借助直尺和圆规,在作图的操作尝试中探究问题,借助图形的直观明了寻找问题解决的方法,这对于学生加深几何直观、空间观念和培养严密的逻辑思维能力是有益的,同时,也在一定程度上展示怎样从已解决问题的基础上“发现问题”和“提出问题”,培养了学生的“问题意识”.

3.3 完善作图流程,透析方法本质

《标准(2022年版)》中对尺规作图的要求是了解作图的原理,保留作图痕迹,不要求写出作法[5].这是因为仅仅将尺规作图作为操作技能,单纯记住作图方法的育人价值已经不大了.而通过探索发现作图方法(同时可以理解作图原理)的过程,是执果索因(先想象出通过尺规作图的操作形成的图形)利用几何知识解决几何问题的过程,可以更好地培养学生的探索性思维(包括直觉思维、发散思维、联想思维等)和直观想象能力、逻辑推理能力[6].

尽管《标准(2022年版)》对尺规作图的教学要求越来越高,但不要求写出作法值得商榷,这是因为写出作法不仅可以培养学生的数学语言表达能力和图形、文字与符号的转换能力,更重要是写出作法和必要的证明(初学阶段或某些问题可要求证明)能充分外化学生思维的细节和推理的过程,便于教师准确了解学生作图中的障碍和困难,从而分析成因进行精准化的干预和引导,同时,详尽的作法和必要的证明使得认知较薄弱学生得以从生生、师生间作法的对比中透析方法原理和本质,知法明理,逐步提升作图能力.如前文中过圆外一点作圆的一条切线,还可以采取如图12所示的方法(作法:连接PO交⊙O于点A,延长PO交⊙O于点B,以PB长为直径作⊙M,过点A作AC⊥PB,垂足为点A,交⊙M于点C,以点P为圆心,PC长为半径作弧交⊙O于点N,连接PN,则PN即为所求作的切线.).

图12

图13

简要的证明,不仅可剖析其方法的原理源自圆的切割线定理,更深远的意义在于与其他方法的鲜明对比,使得学生透析作图方法的本质或通性通法是“交轨”,即无论所作图形多么简单或繁琐,都离不开关键点位置的确定,点的位置是由直尺和圆规画线相交得到的,而这些线的本质是满足特定条件的点的轨迹,这里特定条件则是与“想象”图形相关的几何概念、定理或命题.

基于以上论述,笔者认为在初中阶段的几何教学中可根据学生认知基础情况,适时创设问题情境便于学生利用尺规作图展开自主探究,规范和完善作图流程,注重对作图原理的溯源和通性通法的挖掘,感悟背后所蕴含最基本的数学思想与方法,由此在教学中可采用这样的步骤:① 要求学生画出草图,假设图形已作出;② 根据图形分析画法;③ 利用尺规严格操作并写出作法,鼓励“一题多法”;④ 对作法进行必要证明(特别是初学阶段和某些问题).学生按照这样的步骤进行作图学习的过程,正是一个猜想、观察、操作、验证的过程,这一过程符合学生的认知特点,有助于学生养成严谨规范的作图习惯,培养其探索性思维和直观想象力,以及严密的逻辑思维能力,真正提升学生的数学素养.