聚焦核心素养，在问题解决中体会结构化的优势

江小苹

摘要：2022年版《义务教育数学课程标准》指出设计体现结构化，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。我们在解决小学阶段的各个领域（数与代数、图形与几何、统计与概率、数学好玩）中相关的数学问题时，需要从问题入手，弄清楚问题与已知信息之间的关系，为了解决问题，需要用已知信息进行一系列的认知操作，如果操作成功，问题就得到了解决。本文主要是从知识的本质方面入手，弄清知识的前世今生以及后延，利用结构化来助推问题的解决，以此感悟结构化的优势。

关键词：结构化    问题解决    数学建模

数学建模是新课标倡导的核心素养之一。模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识。在解决问题时，学生初步感知建模的基本过程，感悟数学模型可以解决一类问题，模型应用具有普遍性。本文主要想让学生在解决问题的过程中，体会模型结构化的优势。

一、充分运用结构化，体会运算的一致性

运算的一致性是核心素养（2022版课程标准）强调的内容。如何充分运用结构化，体会运算的一致性，从而培养学生的运算能力呢？我将举一些例子加以说明。

例，北师大版小学数学四年级上册的第3单元“乘法”中的第1课时“卫星运行时间”，学习内容是三位数乘两位数的乘法计算。在學习这内容之前，我先把三年级上册两位数乘一位数、两位数乘两位数的算理及算法汇总在下表中。

★第一个问题：每个游泳圈12元，买三个游泳圈需要多少钱？

这个问题运用了两种方法，加法：12+12+12，乘法：12×3。

★第二个问题：每行14人，共有12行，有多少人参加表演？

这个问题也可运用两种方法，加法：14+14+…+14   乘法：14×12。

从意义上来看，乘法是加法的简便运算，都是在算总数，都是多少个计数单位的累加。可见，当相同加数的个数比较多时，我们选择乘法列式比较简单。从算理、算法上来看，两位数乘两位数与两位数乘一位数计算方法一样，都运用了乘法分配律：先拆分，再乘，最后合起来。

如图中杨树每捆有20棵，3捆一共有多少棵？我觉得方法⑦是一个很好的一个策略，运用了列举法，渗透了类推思想。1表示1个20，2表示两个20，或者是在20的基础上再加20，3表示3个20，或者在40的基础上再加20。学生在写的过程中会发现求几个几的多少，可以用加法，也可以用乘法来列式。但是有的学困生在学完乘法和除法之后，往往不知道什么时候用除法什么时候用乘法，就这样写着写着，在理解知识本质的过程中自然而然就会了。把整十数乘一位数的方法迁移到两位数乘一位数中去，就迎刃而解了。比如，方法①是把乘法转换成加法。这是一个很好的策略，在后面的小数乘法、分数乘法中会用到。方法②③④的算理是相同的，都运用转化的方法，结合点子图、表格等，把两位数乘一位数的计算转化成一位数乘整十数、一位数，把未知转化成已知，即方法③把12分成2个6，先算6×3=18，18＋18=36；②④把12分成10和2，再10和2分别与3相乘，最后把结果合起来，其实就是乘法分配律的运用；方法⑤和⑥是两位数乘两位数，与两位数乘一位数的方法一致。再往前思考，无论怎么拆分，其实都要运用到乘法口诀，这更体现了运算的一致性。

回顾用结构化解决问题的策略过程中，解决问题的方法也形成结构化，进而迁移到三位数乘两位数。猜想求21个114怎么列式？114×21可以拆、乘、合吗？学生通过前面结构化的复习，很容易方法迁移，快速解决问题。

学生也可以借助点子图，动手画一画，对比表格和竖式，在算法多样化中理解算理。比如，先算7个114的结果是798。有3个这样的798，就是 2394。

通过方法和知识的结构化，学生的运算能力得到提高，推理能力得到发展。

二、在结构化问题解决中，体会方法的一致性

数学学习，最终的指向是问题解决。教学中引导学生寻找解决问题的策略，培养学生的善于思考习惯，更加重视教学过程，而不是教学结果。结构化教学可以唤醒学生已有的学习经验，便于知识的迁移，让问题解决更简单，可见，在迁移与应用中进行实践，是结构化的创新高地。比如，学习了分数、百分数以后，可以进行这样变式练习。

★根据题意，选出其中一个信息列出算式或方程，不计算。

水果店运来苹果120千克，           运来梨多少千克？

⑴ 运来的梨是苹果的[14]；⑵ 运来的梨是苹果的25%。

⑶运来的苹果是梨的[14]；⑷ 运来的苹果是梨的25%。

⑸运来的苹果比梨少[14]；⑹ 运来的苹果比梨多25%。

收集到学生的下回答，如下：

⑴列式为120×[14]；⑵列式为120×25%，

⑶列式为120÷[14]；（4）列式为120÷25%；

⑸列式为120÷（1－[14] ）；（6）列式为120÷（1＋25%）。

发现：[14] 、25% 都表示的是两个数之间的关系。可见，分数、百分数有着密切的联系，我们解决相关问题时，思考方法是一样的。

三、通过结构化的问题设计， 培养学生建立数学模型的能力

数学建模是新课标倡导的核心素养之一。模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识。在解决问题时，学生初步感知建模的基本过程，感悟数学模型可以解决一类问题，模型应用具有普遍性。

例，学习了圆柱与圆锥以后，可以进行这样的练习题：一个圆柱形容器的底面直径是10厘米，容器里面水深5厘米。放入小铁块后，水面高度是7厘米。求小铁块的体积。

这个问题与我们五年级时，求长方体容器里不规则物体的体积方法一样，用底面积×水面升高的高度，就求得不规则物体的体积。即V长=S底h升。基于知识结构本质，引导学生先复习长方体体积、容积有关的知识，然后迁移到求圆柱形容器中不规则物体体积，问题就迎刃而解了。

知识结构化可以让我们把散乱的知识点，组成的立体式的整体知识结构网络，让学生感悟到知识点不是孤立的，而是相互联系的。同时促使我们解决问题的方法也结构化，让核心素养的培养不是一句空话。

接着做练习题：一个长方体容器从里面量长是19厘米，宽是12厘米。里面装有一些水，水深为9厘米。放入一个石头后，水面上升到13厘米.求石块的体积。通过计算交流。学生有两种解决问题的方法。通过展示这两种方法，学生积累解决问题的策略，并建立计算不规则物体体积的模型。

方法一：

V水：19×12×9 =2052（立方厘米）

V石+V水：19×12×13=2964（立方厘米）

V石：2964-2052=912（厘米?）

方法二：

V石： 19×12×13-19×12×9=19×12×（13-9）=228×（13-9）=912（立方厘米）

在学生掌握了上述方法之后，学生们很快就有了解决问题的策略。我让学生们计算圆柱形容器里不规则物体的体积。大部分学生看到这道题，脸上露出了喜悦之情，直说“简单”。有学生用第1种方法。求出了小铁块的体积。根据圆柱体积公式，先求出水的体积。再求出石头和水的体积。用石头和水的体积减去水的体积，就是石头的体积。于是我让他们再建立一个模型。像圆柱形的容器里面有一些水，加入一个不规则的物体，水淹没了物体，怎样求不规则物体的体积？如果把所有的不规则的物体，比如石头、砖块儿铁块等都看成石头，你们能建立一个模型，帮助不会解决这类问题的人解决问题吗？

于是多数学生都能建立下列模型：

方法一：V水=πr?h1   V石+V水=πr?h2     V石=（V石+V水）-V水=πr?h2—πr?h1

方法二：V石=（V石+V水）-V水 = Sh2—Sh2=S（h2-h1）

学生建立了在圆柱形容器中求不规则物体的体积的模型，然后再举例子验证这个模型。两人一组举例看看。他们用方法二和方法一进行计算，并验证模型的合理性。然后全班交流，验证模型的普遍性。对于理解能力一般的学生，他们喜欢用方法一。而思维比较好的学生更喜欢方法二。这也体现了不同的人在数学上有不同的收获。没有经过学生组织的知识，纳入学生认知结构的知识，都不能被学生真正的理解和吸收。而通过验证，学生才能体会探究的乐趣。

四、结构化的知识重建教师的教学观

教学改革由学科本位转变为以人的发展为本位，教师需要树立新的教育观念。且新课标要求教师必须具备整体性把握学科知识结構的能力，设计体现结构化特征的课程内容，适应教学新形式要求，教师需要重建教育观。

（一）把结构化的知识串连起来

教材存在着内容的结构化，教师要做的就是把这些结构化的知识联系起来。如，学习了分数、比、正比例、反比例以后，我们可以从结构化思想出发，把相关的知识串成串，变中抓不变。

（二）设计结构化的教学内容

教师的教是为了学生的学。教学是有机的整体，学生有了解决问题的经验，有了学习的乐趣。变要我学为我要学，让教与学达到和谐的境地，但这需要教师在课前做好充分的准备。

比如在学习按比例分配时，如果只看教材内容表象，学生在学完按比例分配后，解决问题就有困难。课后的练习中有已知长方形的周长以及长与宽的比，求长方形的面积。很多学生就会直接把周长来按比分配，认为求出的是长和宽，用长乘宽就算出长方形的面积，从而得出错误的结论。这是学困生普遍存在的问题，教师在教学这节课之前，先理清长方形的周长的实际意义：周长表示两条长与两条宽的和。直接用周长按比例分配得到的是两条长与两条宽，而我们要求面积，实际上在数长方形里有多少个面积单位，长（表示一排有多少个面积单位）乘宽（有几排这样的面积单位），因此要把先周长除以2，再按比例分配，就可求出正确答案。教师正确引导，从知识本质出发，厘清知识的来龙去脉，学生在结构化中抓核心，学习就很轻松了。

教师的改变，学生不仅获得了知识，增长智力，德育也在不知不觉中渗透，教师的一点点改变，对于几十个学生来说就是巨大的改变。教师要与时俱进，为了学生的成长，不断更新教育观念，教师教育观的转变，是要给课堂带来变化。“变”是过程，“变”是方法，“变”更是目标。

内容的结构化是实现学科知识向学科核心素养的转换的关键。教师在教学时应设计结构化的知识，便于学生发现规律，积累活动经验，形成解决问题的策略。聚焦核心素养，在解决问题的过程中去体会结构化的优势，从而培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。