论数学题目难度的主观性及对解题教学的启示

张清仕

【摘要】题目的客观难度与教师和学生对题目的难度体验并非一一对应的关系，不同知识背景和能力直接影响数学题目难度的体验.题目难度实际上同时具有客观性和主观性两种属性，而一般难度评价模型中包含的大多是体现平均意义上的客观因素，很少包含难度的主观性因素.文章从认识论的视角，把解题过程中主观体验到的难度归为四个可以相对识别的类型区间，教师和学生可以在相对一致的难度语境内进行对话，从而减少师生之间的沟通障碍和误读几率，增强解题教学的效果.

【关键词】题目难度，主观体验，解题教学

引 言

数学题目的难度不仅决定了能否有效区分学生的不同能力，而且是数学教学效果评估中的一个重要参考因素.一般认为，数学题目的难度属于一种客观标准.比如，对高考试题的难度分析已经成为评价试卷质量的重要方面.但是在实践中，不同的人对数学题目难度的认识却有很大不同：数学教师感知一道数学题目难不难，主要通过学生关于该题的平均成绩来判断；而对单个学生而言，一道题目的难与易，做题所花时间长短很可能是其感知题目难度的一个主要指标.由于不同教师和学生或者同一个学生在不同学习阶段对难度的认识也有差异，所以我们一直在谈论的数学题目的难度可能并不只是一种客观标准，也包含了个体对解题的主观体验.德国哲学家石里克认为体验和认知存在重大差别，对一个有着解题经验的人来说，数学题目的难度大多属于一种解题体验而非认识，而对于没有任何数学基础的人来说，则很难真正体验难度，更无法认识难度.正如波利亚所说：“我们更多的是靠‘感觉而非清楚的论证.”看似没有任何异议的客观性的“难度”概念已经成为了一个认识论意义上的教学理论和实践问题.因此，文章主要分析讨论数学题目难度的认识论本质及对解题教学的影响问题，即如何认识解题过程中体现的主观性难度？如何看待难度客观性和主观性之间的关系？在教学实践中教师能否通过认识难度的主观性来改善解题教学的效果？

一、何为数学题目的难度

为了限定数学题目的范围，文章对数学问题和数学题目进行了区分：数学问题既包括已经解决的，又包括尚未解决的.数学题目特指为了考查人们数学能力而专门设置的数学问题，并且这些数学问题已经有标准答案.数学题目都是已经解决的.文中所说的难度是指解数学题目的难度.

难度的完整表述为难易程度，一件事情的难度，用经济学术语来解释的话，是指完成一件事情需要付出的成本，当付出的成本越大，意味着难度也越大.解一道数学题需要付出哪些成本呢？这需要分两种情况来看，一种是学生最终给出了正确答案，另外一种是学生未能给出正确答案.从解题时间看，如果完成了解题过程，那么完成解题的时间就是最直接的、可度量的成本；如果未能完成解题，那么时间就无法成为难度的度量标准.由于解题过程是一个十分复杂的认知和推理过程，无法完成解题的原因可能出现在解题过程中的任一阶段.

比如，阅读是解题的第一个步骤，以审题阶段的读题为例.按照罗增儒的划分，解题过程可分为审题、思路探求、书写解答三个阶段，而仅审题阶段又可分为四个步骤：①读题—弄清字面含义；②理解—弄清数学含义③表征—识别题目类型；④深化—接近深层结构，而未能完成解题的原因可能出现在任意阶段.假设试卷上有一道字数超过500字的应用题，那么学生的第一个任务就是用最快的时间获取题目的字面含义，也就是弄清题目在讲一个什么样的故事.这种情况下，假设学生都具有阅读字面意义的基本能力，即假设每个人都有一个阅读速度v，无论v值的大小，都能在一定时间内完成.因此，获取时间就可以成为度量题目阅读难度的标准.但是对于审题的第二个步骤—理解，就很难用时间来衡量了.

例1 已知x2∈{1，0，x}，求x.

这是一道基础题，读懂“字面含义”很容易，关键是从“符号信息”x2∈{1，0，x}中理解“数学含义”.这种理解的基础是对集合概念的掌握程度，对于完全没有学习或者理解集合概念的学生来说，再长时间也无法跨越这个障碍.对于已经深刻理解集合概念的学生来说，理解时间是瞬时的.由此，定义理解速度来区分难度就变得非常困难，这种情况无法用时间来衡量题目的难易程度，只有“理解与不理解”的二元关系.当然，这并不意味着这种难度是无法衡量的，我们可以从题目本身出发，通过与其他题目中的理解阶段进行对比，对于同一个学生，能够准确写出理解含义的形式，则该题目审题过程中的理解较为容易，反之难度较大.

对上述两个阶段难度的分析可以看出，数学题目的难度既包含可用时间尺度度量的难度，也包含不能用时间尺度度量的难度.这意味着，对于一道完整的题目而言，直接准确地认识难度是非常困难的，需要通过类似计算股市指数一样的计算方式，才可能將这两种不同性质的难度整合到一起.

比如，鲍建生等人认为数学题难度有多个因素，主要包括探究、背景、运算、推理和知识量5个因素，这些因素是题目本身蕴含的客观表现，但是这些因素本身并不能完全反映数学题目的难度.比如，背景和知识量这两个因素具有相对性，不同的学生或者同一学生的背景和知识量并非恒定不变的.对于知识背景丰富的学生，题目所体现的难度可能相对较低，反之对于知识背景匮乏的学生，题目所含的背景可能更加复杂，难度也更大.也就是说，对一个数学题目难度的估计是一个非常复杂的过程，仅仅靠分数，得到的只是一个题目难度的总体结果，且这个结果只能作为分析学生整体数学学习情况的依据.而一般难度评价模型中的因素都只是一种平均意义的客观因素，这些难度评估方法难以反映难度的主观性，也很难作为教学实践中提高具体某一项能力的精确指针.

关于难度，波利亚认为，第一，题目的难度随着研究领域的扩大而增加；第二，题目的难度会随着我们尚未掌握，但在解题中又必须用到的条件的数目增大而增加；第三，题目的难度通过考试进行统计分析.由于波利亚没有区分数学问题和数学题目，因此第一点对于教学的意义不大；对于第二点，这就如同让一个只懂加法的学生去做乘法题目一样，不能为我们提供更多有价值的知识.但是他指出前两种方式是预先判断，而具有统计学特征的考试则属于预后判断，这一点却十分重要，因为预先判断与主体对难度的体验方式直接相关.从表征难度的方式看，难度主观的体验主要有三种：

第一，学生的主观表述.难度最直接的表现是学生的做题感受，当一个学生完成一道数学题目，无论是做对了还是做错了，这种做题的难度感受很多时候只是一种直观的、难以言状的感觉.这种难度体验的最大问题在于表述的模糊性.当教师向学生提问时，学生大多数只能说出一些零散的模糊感受，比如，不太懂题意或者不知道从哪里着手等.由于表述的准确与否取决于学生的知识背景、表达能力和理解能力等一系列因素，需要教师引导来提高这种表述的准确性.这点非常类似于病人找医生看病的情况，当病人某个部位疼痛时，医生往往会引导式的发问，疼痛是压痛、刺痛、镇痛或者其他感受等.因此，学生根据自己解题过程中体验感受来表述时，需要有教师的引导发问，特别是在学生未能正确完成题目时更为重要.

第二，对学生书写过程的分析.学生的解题过程直接反应其解题的思维过程，我们从学生的解题书写过程可以发现学生的思维变化路径.这一点在几何证明过程中体现的最为明显.几何证明的书写过程是学生思路演进的过程，通过分析可以获取学生在哪个步骤出现了停顿，在哪个节点出现了逻辑断裂，这样就可以分析题目难度对学生的影响.与分析学生的主观表述相比，对书写过程分析的客观性和可靠性更强，更有利于教师掌握学生的真实情况.

第三，对题目结构本身的分析.题目文本本身也是一个会说话的主体.在设计题目时，难度一定是出题者要考虑的重要因素.一般而言，出题者通过对完整命题的论证过程进行分析（划定论证区域）、切割（对特定区域实施切割）、重组（确定哪些是条件、哪些是所求），最后形成一道数学题目.当切割的条件越多或者切割的越深时，题目的难度也就越大.因此，通过分析题目本身的结构特点，推测出题者切割和重组的方式，也可以确定题目的难度.

二、题目难度的主观性认识

通常情况下，与数学题目相关的主体类型有出题者、学生和教师（知道答案，并对学生进行评判的人），其中最广泛的关系是学生和教师.不同的知识背景和经验，造成了学生和教师二者对难度体验的不同认知，而题目难度的认识主观性只能存在于二者认知的一致性区域内，而要找出这种一致性，必须从认识论的层面去分析.当我们思考一个问题时，首先必须对问题进行准确理解，其次选择思考分析问题的路径，对思考对象进行推理或者计算，最后得出结论.

如图1，在解题的整个思考分析过程中，难度可能出现在理解问题、选择径路、推理计算、得出结论四个认识阶段.无论是学生还是教师，当我们谈论到难度时，在这四种难度认识分类的框架下进行讨论，会很快形成较为一致的认知感受.

以选择路径为例，其难度可进一步细分为：无选择型和不确定选择型两种.无选择就是我们通常所说的题目不知道如何下手，不确定选择就是知道多种处理方法，但不知道该用那种方法.下面通过一组例题加以详细说明：

例2的选择路径有3条，而例3和例4的选择路径只有1条.如果学生一种方法都不知道，那么难度就属于无选择型；如果学生知道三种方法，但不知道例3、例4该用哪种方法，那么就属于不确定选择型难度.

从上述的例子中可以看出，這种选择困难更多地表现为一种难题体验，很难归为现有难度评价模型中的某个类型指标.对于学生而言，在掌握了例2中的方法后，不一定能成功解决例3和例4的题目，由此学生头脑中会形成一种模糊的难度体验.相反，从教师的角度看，例3和例4的解决方法已然在例2中有所体现，那么学生解决例3和例4时遇到的困难可能主要表现为计算能力，进而忽视了认识过程中“路径选择”所带来的困难.对于学生和教师而言，上述题目的难度都可以分为这两种类型，而教师和学生通过区别和认识这两种类型就能精准对接学生需求与教学目标.

因此，无论什么类型的难度，当我们把主观体验的难度分别归为这四个类型中的一个类型，那么这些类型实质上可以作为相对识别题目难度主观性的置信区间，教师和学生至少可以在相对一致的语境区间内进行对话，这就大大减少了师生之间的沟通障碍和误读几率，从而提升解题教学的效果.

三、难度主观性对解题教学的启示

（一）对数学题目难度的不一致性认识是影响解题教学效果的重要因素

很多情况下，教师和学生对难度认识存在的主观性差异，是造成教学效果不佳的原因之一.学生自身对题目难度的认识存在先天困难（难度表述的模糊性），同时教师对难度的认识与学生往往又存在显著的差异，那么教师在帮助学生跨越难度时，往往会偏离二者的交汇点.当教师和学生的难度认知一致性越大，教师和学生在解题教学过程中就可以形成一种同步效应，从而改善解题教学的效果.

（二）对题目难度的深度分析应成为解题教学的重要准备环节

教师有时候也不能正确认识难度.事实上，具有可操作性的解题办法的题目，往往是较为容易的，难度集中在判断题目属于哪一类，而分类的依据也是可操作性的，二者本质上是一致的.假如学生不知道操作的程序，就会觉得很难，而这种难度是很容易跨越的.题目的难度往往表现为两个方面：一种是没有固定模式的题目，比如，较为困难的几何证明题；另外一种是方法太多，不知道如何运用这些方法，比如，求函数值域时需要用到的各种方法.因此，教师在研究题目的难度时，应尽量从认识论的角度出发，按照图1所示的阶段对难度进行归类，以期在课堂上能够直接击中学生产生困难的要害，然后在此基础上再进行细致的讲解分析.

（三）通过精确引导使学生跨越难度是解题教学的重要目标

教师在教学提问时，往往太过笼统.比如，教师经常问：“这道题难吗？”这个发问应该变为“在解这道题时，哪个环节出现了问题？属于何种问题？”通过精确提问，引导学生分析自己所处的解题环境，进而使学生明白如何突破这个困境.要想达到精确提问，教师不仅需要对题目本身进行剖析，而且重要的是对解题的主观认识路径（不是解题本身的路径，而是图1中的一般性路径）进行分析.教师要对解题过程和学生知识能力进行比较，确定学生无法克服的难度在哪里，这样才能取得事半功倍的效果.

对数学题目难度的认识论分析，意指不同主体对数学题目难度的一种认识，分析难度在不同认知主体中的认识差异以及可能存在一致的领域，从而确定难度的主观性.一个题目包含的不同解题方法是客观的，但如何掌握和理解这些解题方法却体现了主观因素.通过研究数学题目难度的主观性，可以使得教师和学生能够更好地度量、理解和控制难度，最终达到更好的教学效果.

【参考文献】

[1]武小鹏，孔企平.基于AHP理论的数学高考试题综合难度模型构建与应用[J].数学教育学报，2020（02）：29-34.

[2]石里克著，李步楼译.普通认识论[M].北京：商务印书馆，2007，27.

[3]乔治·波利亚著，刘景麟、曹之江等译.数学的发现—对解题的理解、研究和讲授[M].北京：科学出版社，2012，322-323.

[4]张维忠，黄丽虹.新教材“三角形”课程难度的对比分析[J].数学教育学报，2009（04）：61-64.