摘要著名数学家笛卡儿曾指出:“当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候,……如果能通过连续的、不间断的思考活动,把这几个定理贯穿起来,悟出它们之间的相互关系,并尽可能多地、明确地想象出其中的几个,那将是有益的.照这样我们的知识无疑地会增加,理解能力会有显著的提高.”在高三复习阶段更多的是“解题”,学习难免变得单调、枯燥而乏味,对此,我们不妨尝试改变一下“做了讲,讲了再做”的方式,选择一些结论可推广或拓展的问题类材料,适当开设一些探究课,引导学生深入观察、大胆猜想,应用归纳、类比、联想、引申等思维方式培养学生的发散性思维,这必将是有意义的.
关键词解题教学;探究;拓展思维
著名数学家笛卡儿曾指出:“当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候,……如果能通过连续的、不间断的思考活动,把这几个定理贯穿起来,悟出它们之间的相互关系,并尽可能多地、明确地想象出其中的几个,那将是有益的.照这样我们的知识无疑地会增加,理解能力会有显著的提高.”在高三复习阶段更多的是“解题”,学习难免变得单调、枯燥而乏味,对此,我们不妨尝试改变一下“做了讲,讲了再做”的方式,选择一些结论可推广或拓展的问题类材料,适当开设一些探究课,引导学生深入观察、大胆猜想,应用归纳、类比、联想、引申等思维方式培养学生的发散性思维,这必将是有意义的.1真题再现
(2012年高考江苏理数19)如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在椭圆上,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.(Ⅰ)若AF1-BF2=62,求直线AF1的斜率;(Ⅱ)求证:PF1+PF2是定值.
此题,当年被号称为“最变态”高考题,从笔者通过多种渠道得到的解答来看,求解过程在刻意回避了韦达定理后,确实比较繁琐,但我们如果发现了它的几何特性后,再考虑它的求解思路又是非常令人满意的.以下笔者就第(2)(Ⅰ)问的一种解法展开讨论.
因此,对于圆锥曲线(二次非圆曲线),有如下统一的结论:m=ep1-ecosθ,n=ep1+ecosθ,其中θ为过左焦点的焦点弦的倾斜角.到此,我们竟意外地发现,这正是圆锥曲线的极坐标方程!除此之外,我们不妨引导学生进一步推测:圆锥曲线会不会还有其它的统一性质呢?这必将追溯到圆锥曲线的起源.而正是它的由来“注定”了他们会具备很多统一的性质,可推得很多统一的结论.(1)圆锥曲线的由来:圆锥曲线这个名词最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)提出的.而在《人教A版数学选修21》一书的封面即有三幅图片(图5),它说明,当截面与圆锥轴线夹角不同时,可以得到不同的曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.由于这些曲线是由平面截圆锥而来,所以,称它们为圆锥曲线.
(2)统一定义:平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线——圆锥曲线的“第二定义”(《人教A版数学选修21》一书的“阅读材料”).(3)统一性质:我们可以引导学生把圆锥曲线能够统一描述的性质制成一张表格,并不断进行补充, 如下表(本表适用于焦点在x轴上的椭圆和双曲线标准方程,以及焦点在x轴正半轴上的抛物线,其他类型圆锥曲线的情况均可类比推得).
通径是指:过焦点并垂直于轴的弦.由圆锥曲线焦点弦的统一形式:2ep1-e2cos2θ,θ∈[0°,180°)知,当θ=90°,即cosθ=0时,焦点弦弦长m+n最短为2ep,此时的焦点弦即为通径,可见,通径是最短的焦点弦.
4回头“再”探究
心理学研究表明,每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能,或许有学生早已在前面“圆锥曲线的由来”中就有疑问:为什么得到的三条截口曲线正好是椭圆、双曲线和抛物线呢?这跟我们学过圆锥曲线的严格定义恰好吻合吗?数学概念是精确的、严谨的,只是看起来“像”是不够的.为释疑解惑,我们进行上述问题的“再”探究.
开始,人们都是用纯几何的方法研究圆锥曲线的,在17世纪笛卡儿发明了坐标系以后人们开始用坐标的方法研究它们.由于笛卡儿发明了坐标系,产生了一门新的学科,这就是解析几何——用代数的方法来研究几何.我们可以让学生尝试用坐标法去探究:为什么这些截口曲线是圆锥曲线?以下是用坐标法探究“截口曲线为什么是抛物线?”的一个片段.
如图6,用一个与圆锥母线平行的平面α截圆锥,得到一条截口曲线.设该曲线与圆锥底面圆周交于点C,D,连结CD.在底面上作垂直于CD的直径AB,交CD于点G.由对称性知,该截口曲线关于平面OAB对称,设该曲线与OB交于点P,则PG即为该曲线的对称轴.在平面α内过P点作PN∥CD,以P为坐标原点,PN为x轴,PG为y轴,建立平面直角坐标系.在截口曲线上任取一点M(x,y),过M点作平行于圆锥底面的平面,并与PG交于点Q,则x=|QM|,y=|PQ|,过Q点作该圆的直径与OA、OB分别交于点E、F.
设圆锥轴截面OAB的顶角为θ,θ∈(0,π),|OP|=l,设过P点且平行于底面的圆的直径长为d,则d=l2-2cosθ.在△PQF中,|PQ|=|PF|=y,所以|QF|=y2-2cosθ.
又|QM|2=|QF|·|QE|,所以x2=dy2-2cosθ,即x2=2l(1-cosθ)y,θ∈(0,π),所以截口曲线为抛物线.
有了以上例子,我们不妨引导学生自己尝试去证明另外两种截口曲线的情况.不仅如此,我们还可以继续设问:
问题1如图7,用一个与圆柱母线斜交的平面截圆柱,得到一条截口曲线,这条曲线是不是椭圆呢?你能不能证明你的结论呢? 图7图8
问题2如图8,若该平面与圆柱底面所成角为θ,椭圆的离心率跟θ是否存在一定的数量关系呢?若存在,又是怎样的关系?
这样的探究不仅可以让学生改变一下每天“做题”,等老师“讲解”的單一模式,还可以让学生体会到书本知识的内涵和外延,有助于扩大学生的知识面,激发学生的学习兴趣,使学生对某些概念的产生“知其然”,且“知其所以然”,认识到数学是自然的,数学概念的产生也是自然的、水到渠成的,并体会蕴涵在其中的思想方法.5结束语
解题是一种实践性的技能,如果教师一味让学生操练一些常规运算,那么他就会扼杀他们的兴趣,阻碍他们的智力发展,从而错失良机.相反地,如果他用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心,并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目,那么他就能培养学生对独立思考的兴趣,并教给他们某些方法,而学生也将学到一些比任何具体的数学知识更重要的东西.
作者简介李新华(1982—),女,浙江桐乡人,
中学一级教师.课题曾获嘉兴市教科研成果一等奖,桐乡市教科研成果一等奖;多媒体课件曾获全国优胜奖,浙江省二、三等奖,嘉兴市一、二等奖.发表文章8篇.