基于微课的立体几何性质定理探究

摘要传统立体几何推理证明思想的缺失引发我们思考如何培养学生的逻辑推理能力，使学生的思维更加严密.以“平面与平面平行的性质探究”为例，借助于“翻转课堂”的模式，通过让学生观看微课视频，带着疑问和困惑进入课堂，进行“性质”的展示、交流、探索活动.通过微课让学生拥有更多更广的空间加强自身的逻辑推理能力以及思維的严密性.关键词微课教学；传统推理；性质定理；开放探究

1立体几何的教育价值

立体几何学作为世界文明史的一个科学体系和几何学的一个重要分支，虽经历各种曲折和磨难，却显得更加璀璨，其根本原因就在于立体几何本身的价值决定了它具有无可替代的教育价值.立体几何课程以几条简单且清楚的公理为起点，以严格的逻辑顺序进行推理，得到一系列有用的、正确的定理和结论，让人们真正看到了理性的力量、逻辑的魅力.立体几何学作为一个严谨的逻辑体系，精密的推理过程呈现在学生面前，有利于他们形成科学的世界观和理性精神；立体几何材料具有深刻的逻辑结构，丰富的直观背景和鲜明的认知层次，是一种有效的训练手段，有助于培养学生良好的思维习惯；立体几何学是对思维进行系统的﹑较为严格的训练的一门学科，是演绎推理系统自然发展的一部分，有利于发展学生演绎推理和逻辑推理能力.

2目前传统立体几何教学的缺失

纵观目前的传统立体几何教学，笔者觉得现在的学生较之笔者自己读书那会儿逻辑推理能力存在一定的缺失.当然客观的原因是新课程改革后，在某些程度上淡化了几何的演绎推理，人教A版必修2传统立体几何中的很多定理的证明都删去不作要求，有些内容也进行了精简.引进了空间向量，空间向量确实是一个非常好的工具，很多学生在学习了空间向量之后，就把传统立体几何方法抛之脑后，认为空间向量是万能方法，使用起来也非常便捷，不需要繁琐的推理证明.主观原因是教师自身也存在偏向空间向量法的倾向，很多时候（特别是当使用传统方法比较繁琐时）只讲授空间向量方法就完事了，觉得只要问题解决了就可以了.在讲授传统立体几何新课时，对于定理的证明教学（教材中要求的证明）也采用不讲或者一笔带过的态度.尤其对于“平行系统”的教学特别缺失，原因是高考中对“平行”的证明出现的较少，特别是涉及到“面面平行”的题目更少，大部分考题都落在“垂直系统”中，导致学生对“平行系统”相关定理印象浅薄，推理过程错误百出.再从传统立体几何整体证明书写来看，学生的逻辑推理思维显得混乱，漏洞百出，缺乏必要的严密性.

3基于微课的性质定理探究

基于以上传统立体几何教学中存在的缺失，笔者觉得有必要加强传统立体几何的定理探究教学，尤其是性质定理，因为所谓“性质定理”就是已知“线面平行”、“面面平行”、“线面垂直”、“面面垂直”能得到哪些性质？较之“判定定理”，“性质定理”有更大的供学生探究的空间，能更好地发挥学生的想象力与推理能力.下面笔者以“平面与平面平行的性质探究”为例，借助于“翻转课堂”的模式，通过让学生观看微课视频之后，带着疑问和困惑进入课堂，进行“性质”的展示、交流、探索活动.3.1依托翻转，微课引领

制作微课视频，将学生进行同组异质、异组同质的分组，让有条件的小组自己集中观看探究微课视频中的内容，没有条件的小组笔者创造条件让小组成员集中学习.

微课视频内容概要：

（1）温故知新

之前已经学习了空间点、线、面的各种位置关系，又系统地学习了直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理以及直线与平面平行的性质定理.微课视频引领学生回顾这些知识，并启发学生思考“判定定理”与“性质定理”的作用分别是什么，进一步对“平行系统”的定理和知识展开系统的梳理.

（2）引领探究

“平行系统”中还存在知识缺漏，需要学生将其补充完整.已知两平面平行，我们可以得到哪些性质？一般需要添加一些条件，可以是“直线”、“平面”等等.如何从公理体系的角度证明这些性质？

（3）任务驱动

以小组为单位，集思广益，收集“平面与平面平行的性质”，并思考在诸多性质中以哪些性质作为定理比较合适.并思考教材确定“平面与平面平行的性质定理”的缘由.同时将在探究过程中碰到的疑问与困惑记录下来，待课堂上与教师、同学们交流探讨.3.2成果展示，集中探究

让学生带着探究成果进入数学课堂，每个小组将各自探究出来的“平面与平面平行的性质”展示出来，当然这些成果中有些是重复的，所以笔者将其进行整理，按照一定的体系重新展示出来.

（1）已知两平面平行，则一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面；（2）已知两平面平行，则分别包含在两个平面内的两条直线平行或异面，不可能相交；（3）已知两平面平行，和其中一个平面平行的直线和另一个平面平行，或包含在另一个平面内；（4）已知两平面平行，和其中一个平面相交的直线也和另一个平面相交；（5）已知两平面平行，第三个平面和其中一个平面平行，则和另一个平面也平行；（6）已知两平面平行，第三个平面和其中一个平面相交，则和另一个平面也相交；（7）已知两平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则交线平行；（8）已知两平面平行，夹在这两个平行平面间的平行线段长相等；（9）已知两平面平行，一个平面内任意一个点到另一个平面的距离相等；（10）已知两平面平行，一条直线垂直于其中一个平面，则也垂直于另一个平面；（11）已知两平面平行，一条直线与这两个平面斜交，则斜线与这两个平面所成的角相等；（12）已知两平面平行，第三个平面垂直于其中一个平面，则也垂直于另一个平面；（13）已知两平面平行，第三个平面与这两个平面斜交，则第三个平面与这两个平面所成的角相等.

其中（1）（2）（3）（4）涉及了直线与平面的位置关系，（5）（6）（7）涉及了平面与平面的位置关系，（8）涉及了距离，而（9）（10）（11）（12）（13）涉及了垂直关系，需留待学完“垂直关系”后再研究.所以课堂上主要针对（1）-（8）进行详细探究.3.3证明当先，释疑解惑

提出性质或许具有猜想的成分，体现了学生数学想象能力与猜想能力，证明这些性质就含有演绎数学的成分，估计学生可能会存在一定的困难.笔者在此环节充分挖掘学生的潜能，此小组提出的疑问让彼小组回答.若是全班同学都存在疑问的知识点，笔者就引领大家一起探究.此环节充分体现了教师主导、学生主体的新课改精神.

学生1：我来说性质（1），由定义可知，两平面平行，则两平面无交点，则一个平面内的直线与另一个平面也无交点，由定义可知，直线与另一个平面平行.

学生2：我来说性质（2），由定义可知，两平面平行，则两平面无交点，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线也无交点，所以两直线的位置关系是平行或异面.

学生3：性质（3）（4）（5）（6）我认为肯定是成立的，但看似简单却很难用现有的定理或定义证明.

教师：那不如先让我们来看性质（7），因为教材上以性质（7）作为性质定理.请大家用数学符号写出“已知”与“求证”.

学生4：如图1所示，已知平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b，求证：a∥b.

教师：谁来证明这个性质？

学生5：因为α∥β，所以α与β无公共点，

而aα，bβ，所以a与b也无公共点.

又aλ，bγ，所以a∥b.

教师：非常好！现在让我们回过头来看（4）.

师生共同：如图2所示，已知平面α∥β，直线c∩α=A，求证：直线c与平面β也相交.

证明在平面α内过点A作直线a，再过相交直线a与c作平面γ，γ∩β=b.

因为α∥β，所以由性质（7）得到a∥b.而直线a，b，c均在平面γ内，且c∩a=A，所以c∩b=B.

又因为bβ，所以c∩β=B，即直线c与平面β也相交.

教师：在以上的证明过程中，大家有什么发现吗？

学生6：性质（4）的证明用到了，性质（7）.

教师：对于（3），有哪位同学有想法？

学生7：如图3所示，已知平面α∥β，直线c∥α，求证：直线c∥β或cβ.

证明过直线c作平面γ∩α=a，γ∩β=b，

因为α∥β，所以由性质（7）可知a∥b.

又因为c∥α，且过直线c作平面γ∩α=a.

所以由线面平行的性质定理可知c∥a且a∥b.

所以c∥b.又bβ，若cβ 则由线面平行的判定定理得c∥β；否则有cβ（若直线c与平面β相交，则有性质（4）可知直线c与平面α也相交，这与条件“直线c∥α”相矛盾.）

教师：很好！性质（3）的证明同样用到了性质（7）.下面看性质（5），哪位同学有高见？

学生8：如图4所示，已知平面α∥β，且γ∥α，求证：γ∥β.

证明作平面δ∩α=a，δ∩γ=b，δ∩β=c，再作平面∩α=a′，∩γ=b′，∩β=c′，其中a与a′，b与b′，c与c′均为相交直线.

因为α∥β，所以由性质（7）a∥c，a′∥c′.

又因为γ∥α，所以由性质（7）a∥b，a′∥b′.

所以由平行公理4得b∥c，b′∥c′.

所以由线面平行的判定定理可得b∥β，b′∥β且b与b′为相交直线，且bγ，b′γ.

所以由面面平行的判定定理可得γ∥β.

教师：性质（5）的证明用到了性质（7）、“平行公理4--平行的传递性”、“线面平行的判定定理”和“面面平行的判定定理”.让我们继续看性质（6）.

学生9：如图5所示，已知平面α∥β，γ∩α=a，求证：γ与β也相交.

证明（反证法）假设γ∥β，则有性质（4）可知γ∥α.

这与条件γ∩α=a相矛盾，所以假设不成立，γ与β也相交.

教师：到此为止，我们证明了性质（3）（4）（5）（6）（7），通过上面的证明，大家应该能体会出教材为什么将性质（7）作为性质定理的缘由了吧.

学生10：因為性质（3）（4）（5）（6）均可以由已学的定理加上性质（7）共同证明.

教师：很好！在面面平行的众多性质中选择合适的性质作为定理很重要，我们可以看出，做出这样的选择不是随意而盲目的，而是以一定的数学公理化思想为依据.下面让我们继续探究性质（8）.

学生11：我来证明性质（8）.

如图6所示，已知平面α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求证：|AB|=|CD|.

证明因为AB∥CD 所以AB与CD确定一个平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=BD.因为α∥β，所以由面面平行的性质定理可得AC∥BD.

所以四边形ABDC是平行四边形.所以|AB|=|CD|.

3.4梳理知识，构建网络

“平面与平面平行的性质”是“平行系统”的结语，为了给“平行系统”画上一个完美的句号，需要让学生对所学与“平行”有关的知识进行梳理，形成一条线索.这样做不仅有利于对“平行”知识的回顾反思，而且还为接下来“垂直”知识的系统学习做了很好的铺垫.引导学生为下面“平行系统”中知识网络进行填空，以完善知识系统.

学生12：第①个应该是“直线与平面平行的判定定理”.

学生13：第②个应该是“直线与平面平行的性质定理”.

学生14：第③个应该是“平面与平面平行的判定定理”.

学生15：第⑥个就是今天新学的“平面与平面平行的性质定理”.

学生16：第⑤个好像没有现成的定理，那就应该连续使用“直线与平面平行的判定定理”和“平面与平面平行的判定定理”.

学生17：剩下的第④个好像也没有现成的定理啊！

教师：请大家回顾我们今天探究的平面与平面平行的性质（1）——（8），其中哪一条可以放入④比较合适？

学生18：性质（1）.

教师：对！性质（1）的证明比较简单，所以在平时的证题中我们一般可以直接拿来用.

3.5自主编题，开放交流

较之教师给出例题让学生解答，由学生自主命题的活动更能调动学生的积极性与主动性，充分体现“生本”理念，让学生体验命题的滋味，揭开命题的神秘感，克服面对考试的恐惧心理.组织学生以小组为单位，运用本节课学习的“平面与平面平行的性质”，当然也可以结合之前学过的定理，自主编拟一些问题.

笔者给出编题载体：人教A版必修2第62页A组题第8题：如图8所示，直线AA′、BB′、CC′相交于点O，AO=A′O，BO=B′O，CO=C′O，求证：平面ABC∥平面A′B′C′.

引导学生适当改变、添加条件或结论得到一些新的问题，并能使此新问题在解答过程中运用今天新学的“平面与平面平行的性质定理”.然后对于学生编制的一些质量较好的题目，笔者将之展示出来请大家一起探讨解答.

学生19：如图9所示，平面ABC∥平面A′B′C′，直线AA′与直线BB′相交于点O.求证：AB∥A′B′.

教师：请哪个小组的成员来解答一下.

学生20：因为直线AA′与直线BB′相交于点O，所以直线AA′与直线BB′确定一个平面，

记作平面ABA′B′.

又因为平面ABC∥平面A′B′C′，且平面ABA′B′∩平面ABC=AB，

平面ABA′B′∩平面A′B′C′=A′B′，所以AB∥A′B′.

学生21：如图8所示，平面ABC∥平面A′B′C′，△ABC与△A′B′C′是两个全等的等边三角形，直线AA′、BB′、CC′相交于点O.求证：AB′∥A′B，BC′∥B′C，AC′∥A′C.

学生22：因为直线AA′与直线BB′相交于点O，所以直线AA′与直线BB′确定一个平面，记作平面ABA′B′.

又因为平面ABC∥平面A′B′C′，且平面ABA′B′∩平面ABC=AB.

平面ABA′B′∩平面A′B′C′=A′B′，所以AB∥A′B′.

又因为△ABC与△A′B′C′是两个全等的等边三角形，所以|AB|=|A′B′|，所以四边形ABA′B′是平行四边形.

所以AB′∥A′B. 同理可證BC′∥B′C，AC′∥A′C.

学生23：我也来编一题.如图8所示，平面ABC∥平面A′B′C′，△ABC与△A′B′C′是两个全等的边长为2的等边三角形，直线AA′、BB′、CC′相交于点O，|B′C|=4 ，|A′B|=23.求证：异面直线A′C′与AB′所成角为直角.

学生24：首先由前面那位同学的证明可知：四边形ABA′B′是平行四边形.

所以AB′∥A′B且|AB′|=|A′B|=23，

又|B′C|=4，△ABC与△A′B′C′是两个全等的边长为2的等边三角形，

所以由勾股定理得AB′⊥AC.

又由“平面与平面平行的性质定理”可知：AC∥A′C′，

所以相交直线AC与AB′所成直角或锐角就是异面直线A′C′与AB′所成角.

所以异面直线A′C′与AB′所成角为π2.

作者简介俞昕，女；中教高级；主要研究方向：数学文化、数学校本课程等.