高中数学探究课教学的探索与实践

李景秋 郭民 高立东

【摘要】数学建模与数学探究课都是数学项目式学习的载体，二者具有与“选题、开题、做题、结题”相似的研究步骤，强调学习者对实践活动过程的体验，更加注重学习者积累数学学习经验与解决问题的经验.文章通过三节《正方体截面的探究》的探索与实践，总结开展数学探究课的基本方法、步骤及注意的问题.

【关键词】高中数学；数学探究；正方体截面

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）首次提出了数学学科的六个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析.其中对数学建模核心素养的定义是：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学建模建构解决问题的素养.数学建模的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.

纵观欧美发达国家的课程标准，不难发现各个国家虽然依据其教育目标及其对人才的需求，提出了各具特色的数学素养，但是却对于未来的人才需求标准达成了共识，即未来人才要有综合解决问题的能力，要有社会责任感，最重要的是要有创新能力.在此基础上各个国家不约而同地将数学建模、数学问题的解决能力及用数学交流的能力作为数学素养的要求.

《课程标准》除了提出了数学的六大核心素养外，还在附录2中给出了37个教学与评价案例，用具体的实例帮助全体高中数学教师理解数学学科素养与平时的教学内容对学生的评价以及考试命题之间的关系.其中与数学建模、数学探究有关的案例多达18个.

数学探究是围绕某个具体的数学问题，开展探究与合作研究并最终解决数学问题的过程.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养.显然，数学探究与数学建模都是数学项目式学习的载体，数学探究相较于数学建模，无需从具体的情境中抽象数学模型，降低了学生的切入难点，但又与数学建模有着基本相同的研究步骤，需要开题、做题、结题（无需选题）.

二、探究课教学的探索与实践

2020年“第十届全国高中青年数学教师课例展示与培训活动”将《正方体截面的探究》做为吉林省指定课题，笔者所在学校有多名青年教师报名参加，其中有三名教师准备了《正方体截面的探究》这节课.中国教育学会中学数学专业委员会提出了如下明确的内容要求和教学提示.

（一）研究思路与过程

1.截面在生产生活实际中的具体应用

为什么要研究截面？除了通过具体的实例示范研究问题的路径，还必须让学生了解数学是服务于生产生活实际的，即数学是有用的.通过查阅文献发现，现代医学常用的CT超声对人体的某一部分做断层扫描，从而形成人体的截面成像，医生通过截面成像进行判断；在建筑设计中，设计师常用的CAD软件实际上是二维软件，设计师需要画出正剖面、横剖面、侧剖面，但在实际工作中，正剖面设计师只需要根据建筑物的高度以及实际施工的需要在不同的标高画出对应的截面，进而利用相应的软件形成3D图形即可，施工方只需根据二维图纸即可建设出完美的各类建筑设施.

所以截面可以在二维层面集中反映几何体的主要特征，把几何体的关键内隐元素及其关系集中展现在平面图形上，可将三维空间问题转化为二维平面问题.

2.查阅资料，开拓思路

通过查阅资料，笔者认为学生无论是动手操作还是理论证明时机均已成熟，他们在教师恰当的引导下完全可以对正方体的截面进行充分地比较和探究，得出丰富的结论，并利用所学的知识进行完备的证明.

但从资料中我们可以看到，所有调查文章都将核心集中在正方体截面图形的形状及从理论层面论证结论，没有关注学习者在探究正方体截面过程中的思维过程，即便是动手操作也仅是叙述了如何操作，而为什么要这样操作，其分类的标准和依据均无体现.

根据《课程标准》及中国教育学会中学数学专业委员会的要求，教学设计的定位应该在如何引导学生探究、发现并证明.因此，明确本节课的教学目标与学习目标是首要任务.

3.明确课程目标与学习目标

这节探究课依据《课程标准》的课程目标，即

（1）通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想象、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验；

（2）能够发现和提出有意义的数学问题，会猜测合理的数学结论，能够自主提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论；

（3）初步体会运用数学知识解决数学问题，能够在具体的实验教具中抽象出平面、正方体、截面等数学概念，积累从具体到抽象的活动经验，培养数学抽象的核心素养.

針对不同学习水平的班级应该制订不同的学习目标.恰好甲、乙、丙三位教师所教授的班级处于三个不同的层次，按照学习能力水平与成绩由高到低暂时将其称为A，B，C三个班.

A班学生总体学习水平能力在年级居于上游，学生的个人学习能力较强，思维活跃，所以A班学生的学习目标设置较高：

（1）学生借助各种手段和方法，结合自主学习与小组合作学习的有效形式，进行观察、试验、探究，通过尝试、归纳、类比，自行发现并总结有关截面问题的知识和方法；

（2）了解正方体截面的形状，能够判断和画出正方体的截面，并能计算几种特殊截面的周长、面积.

B班学生总体学习水平能力在年级居于中游，学生在教师的指导下能够自主地完成大部分学习内容，掌握基本的方法并进行简单的模仿，相同的问题理解接受的时间相较于A班长，对于具有较高思维难度的问题在第一时间内很难自行解决.对此，授课教师将B班学生的学习目标设定为：

（1）初步掌握收集、整理资料的基本能力，在课堂上能流畅的表达出来；

（2）能够初步了解“探究”的全过程，掌握探究课题的基本方法；

（3）能夠根据题目选择合适的实验材料；

（4）能运用数学知识简单论证实验的结果.

C班学生总体学习水平能力在年级居于下游，学生的个人自学能力较差，学生只能在教师给定的几个结论中进行猜测，根据预设的解决问题的思路选择他们认为比较合理的解决方案，所以C班学生的学习目标为：

（1）理解什么叫几何体的截面；

（2）理解正方体的截面的某些特殊形状和特征；

（3）理解正方体的截面有哪些形状并且进行合理的分类；

（4）在了解正方体截面的形状后，能较熟练地运用正方体截面的有关知识解决相应的问题.

4.教学器材准备及教学策略

本节课需要通过动手实验得出对应结论，学生需要准备面包、土豆、橡皮泥等便于切割的实物及切割物体时使用的塑料刀具（需要考虑到学生的安全）；教师需要准备透明的正方体、橡皮泥、颜色鲜艳的液体等.每位准备参赛的教师都是背对背准备，所以在器材的选择上不尽相同，教授A班的甲老师考虑到其他器材对正方体截面形成的限制因素，购买了在民用装修中瓦工常用的激光水平仪.

三个班级均采用了观察法、分组讨论、成果展示及信息化多媒体教学策略.

（二）教学环节设计

本节课是一节数学探究课，题目明确，学生只需在教师的指导下明确研究的方案，并进行初步的研究，然后在课堂上对各自的研究成果进行讨论和汇报，教师针对其精彩或不足之处进行点评，并引导学生进一步探讨正方体截面的相关问题，初步掌握用数学知识解决问题的路径与方法.

三、分析与点评

对比三位教师的教学设计，不难发现，三节课都立足于《课程标准》对于数学探究课的要求，掌握了“项目式学习”的核心，虽然在一节课中无法完整呈现整个过程，但是在本节课中呈现了探究过程中的主要环节.

（一）教学目标与学习目标设置合理

三位教师根据班级中学生的具体学情制订了恰当的教学目标与学习目标，力图使每一位学习者在其能力范围内既能收获知识，又能收获喜悦，进而获得情感与能力的双重体验.

（二）教学内容选择恰当

特别是甲、丙两位教师，其中甲教师没有根据《课程标准》提供的9个问题串的顺序引导学生探究，而是对联系比较密切的三角形和六边形进行了探讨，再根据六边形需要与正方体六个面均相交找到截面分类的标准，进而逐个减少平面与正方体表面相交的数量，逐步得到五边形和六边形，最后提出问题，引导学生在变化的过程中寻找非变量；而丙教师所教授的C班，侧重于让学生通过体验收获经验，整节课仅进行了所截三角形只能是锐角三角形的证明，关于其他形状截面图形形成的原因、分类的标准及其相关的推理证明放在下一节课完成；而乙教师所教授的B班则在教师的引导下“照本宣科”地完成了本课题的各项探究内容.

（三）探究展示过程突出学生的主体地位

在这三节课中，教师和学生准备了多种多样的实验器材，激光水平仪、橡皮泥、金刚沙、透明正方体、带颜色的液体等，让数学课与实验联系在一起，而不是枯燥的推理证明；学生的思维也被激活，积极地展示自己的实验成果，一部分学生利用所学的知识进行了证明，甚至出现了教师原本没有预设的探究结论，改变了以往教师“一言堂”的教学方式，使学习者真正成为学习的主人，彰显数学探究课的育人价值.

（四）不足之处

面对新课标、新课程，教师们第一次进行探究式案例教学，对于如何上好一节探究课，对探究课每个环节的处理还有很多值得斟酌之处.

1.探究过程不完整

学生在初中已经学习过《几何体的截面》一课，并且很多学生已经在初中教师的带领下进行过正方体截面的实验，所以他们对正方体截面的形状并不陌生，但是也仅限于了解形状，对于形成的原因，分类的标准不是很清楚，还有少部分学生未进行几何体截面的相关实验与探究.三位教师均将主要精力放在课堂中带领学生探讨截面的形状、成因及证明上，缺少了让学生自行进行探究成因的过程，学生思考时间短，缺少独立思考的机会.

2.未能完全平衡好探究与证明

本案例是在初中已经有过实际操作的前提下进行的一次探究，其目的不在于截面的形状有哪些，而是在此基础上利用分类、类比等数学思想解决问题，利用高中所学的立体几何基本事实与公理进行严格的推理证明，教师需要为学生提供严格的证明范式.而三位教师全程没有在黑板或大屏幕上为学生做一次范例证明，证明过程主要由学生口述，易给学生造成只需观察即可得出结论的错误印象.

3.“少数”与“多数”的关系处理欠妥

大多数观摩课都是以小组讨论的方式进行的，无论是什么样的课型，教师们都必须组织小组讨论，无论是否适合讨论.通过观看课堂实录，笔者发现小组实践或讨论时的情形是少数学生主导，多数学生旁观，成果展示与交流时话语权主要掌握在少数绩优生手中，没有真正地实现“落实四基，提高四能，促进核心素养发展”的目的，所以探究方案的设计应丰富多样，问题的设置要更多层次，以满足不同层次学习者的需求.

结 语

“教是为了不教”，有关数学探究课教学设计，教师除了要考虑教材内容等因素，广泛地占有资料，根据学习者的具体学情设计切合实际的学习目标，设计层次丰富的探究方案与探究问题，更要深入地了解学习者的学习基础，平衡好学生自主学习与教师指导的度，让更多的学生参与探究学习，使数学探究课真正发挥作用，进而促进学生数学核心素养的养成.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部基础教育课程教材工作委编.普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）解读[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3]金声.高中数学“问题—互动”教学的探索与实践[J].数学学习与研究，2021（14）：14-15.