从一道联考试题谈米勒定理及其简单应用

摘 要：文章从一道质检试题出发，简要阐述米勒问题及其应用，以此提高学生应用模型解决数学问题的能力和数学建模素养，促进其深度学习.

关键词：米勒问题;应用;数学建模

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0014-04

米勒问题涉及三角形、直线、圆、椭圆、双曲线等众多知识点，经常与角度的最值问题结合考查.借助米勒定理可以迅速求解此类角度的最值问题.

1 试题呈现

题1 （华南师大附中，广东省实验中学，广雅中学，深圳中学2022届高三四校联考第7题）

在足球比赛中，球员在双方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图1为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC图1 2022届高三四校联考第7题图大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为（）（精确到米）.

A.8B.9C.10D.11

2 试题分析

本题以5人制足球场为背景，求足球运动员最佳射门位置.显然这是一道现实生活中的问题，体现了数学来源于现实并用于解决实践问题的理念，突出了对数学建模素养的考查.试题入手宽，解法多，但是不同的解法繁简程度不一，要求考生择优选择最佳路径解决问题，突出了对数学运算素养的考查.

3 试题解析

思路1 从解析几何的角度入手.如图1所示，要使得张角∠PMQ最大，即tan∠PMQ最大.从函数的观点来看，要解决最值问题，必须引入变量，即将tan∠PMQ表示成某个变量的函数，再借助函数求最值的方法解决问题.观察图1可知，∠PMQ=∠BMQ-∠BMP，所以可以将tan∠PMQ转化成

tan∠BMQ-∠BMP.进一步借助两角差的正切公式展开并引入变量解决问题.

当且仅当x2=96，即x≈10时，tan∠PMQ取得最大值.

此时张角∠PMQ最大，所以当BM大约为10米时，张角∠PMQ最大.

思路2 思路1虽然解法自然，但是计算量大，同时也没有看到试题背后隐含的本质.本题要寻找最佳射门位置，实则是著名的米勒问题［1］.米勒是德国的一名数学家，他于1471年提出一个有趣的问题：在地球表面的什么位置，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么位置，视角最大？这个问题被称为最大视角问题，又称之为“米勒问题”.其数学表述如下：

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当点C在何处时，∠ACB最大？

可以证明如下结论：

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当且仅当△ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.

该结论简称为米勒定理.主要有以下三种模型.

模型1 如图2所示，设直线a//b，直线a上有两个定点M，N.在直线b上取一個动点P，则当点P位于过点M，N的圆与直线b相切的切点时，∠MPN最大，此时PM=PN.

模型2 如图3所示，设直线a和b相交于点O，直线a上有两个定点M，N.在直线b上取一个动点P，则当点P位于过点M，N的圆与直线b相切的切点时，∠MPN最大，此时OP2=OM·ON.图2 模型1图 图3 模型2图 图4 模型3图

模型3 如图4所示，设直线a与圆O1相切于点Q，直线a上有两个定点M，N.动点P在圆O1上运动，则当点P位于过点M，N的圆O2与圆O1相切的切点时，∠MPN最大.

运用该定理可以解决数学上一些与最大角有关的问题.因此对于本题，还可以有如下解法.

解法2 如图1所示，作以线段PQ为弦且与BC相切的圆，切点M0.连接M0P，M0Q，当点M不为点M0时，∠PMQ<∠PM0Q.又BP=AQ=8，根据圆的切割线定理，有BM20=BP·BQ，即BM0=96，当点M为点M0，即BM大约为10米时，张角∠PMQ最大.

显然思路2比思路1在思维上更胜一筹，在计算上更加简捷，体现了多思少算的良好数学品质.这也体现了命题者命制本道试题的初衷——对数学建模思想的考查，

4 拓展应用

例1 （2022年上海交大强基试题）已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，点P在直线x+23y-

43=0上，当∠F1PF2最大时，则PF1PF2=.

解析 如图5所示，当过点F1，F2的圆与直线x+23y-43=0相切，切点为点P时，∠F1PF2最大.此时△QPF2∽△QF1P.

故QPQF1=PF2PF1.

由于QP2=QF2·QF1=45，

所以QP=35.

因此3553=PF2PF1，

所以PF1PF2=153.

例2 （2022年9月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试）在平面直角坐标系中，A0，1，

B0，2，若动点C在直线y=x上，圆M过A，B，C三点，则圆M的面积最小值为.

解析 如图6所示，当圆M与直线y=x相切于点C时， 圆M的面积最小.

由割线定理可知，OC2=OA·OB=2.

解得OC=2.

在△BOC中由余弦定理可得BC2=2.

则BC2+OC2=OB2.

所以BC⊥OC.

故BC为圆M的直径.

所以此时圆M的面积最小为π2.例3 （长沙市雅礼中学2023届高三月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若ccosA+acosC=2，AC边上的高为3，则∠ABC的最大值为.

解析 由已知可得b=2.

作直线l∥AC，当过A，C两点的圆与直线l相切于点B时，∠ABC最大.结合已知条件易知此时△ABC为正三角形［2］.

所以∠ABC的最大值为π3.

例4 已知点P为抛物线y2=4x上一动点，A1，0，B3，0，则∠APB的最大值为.

解析 根据米勒定理，当点P为过A，B的圆与y2=4x相切的切点时，∠APB取最大值.

在一些现实问题中，涉及到视野的最大值问题也可以借助米勒定理解决，体现了数学建模的思想.数学建模是六大数学核心素养之一，贯穿于新教材必修一和必修二两册的教学内容当中.数学建模素养是教师在课堂教学中应该着力培养的素养，在平时的教学中教师可以适当介绍米勒问题，并与高中内容相结合，以此为抓手培养建模思想，提高数学思辨智慧，促进深度学习.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 张俊畅.米勒问题的数学建模及应用［J］.数理化解题研究，2020（34）：14-15.

［4］ 彭博.最大视角问题与米勒定理［J］.高中数学教与学，2021（05）：17-19.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者简介：陈艺平（1977.11-），男，福建省龙海人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2022年度“协同创新”（含帮扶项目）专项课题“新课程大单元理念下高中数学集体备课模式构建”（项目编号：Fjxczx22-073）