多面体外接球的一条重要性质的证明及其应用

摘 要：在高中教材中，与球有关的知识点不多，仅仅只涉及到球的简单性质、表面积和体积，而高考中，球通常会与棱锥、棱柱进行组合，主要考查棱锥、棱柱的外接球问题.因此我们有必要学习清楚棱锥、棱柱与它们的外接球的关系.本文从“有一个侧面垂直于底面的棱锥与它的外接球的关系”说起，给大家介绍解决此类问题的速解方法.

关键词：多面体；外接球；正弦定理

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0010-04

定理 若有一个侧面垂直于底面的棱锥的各顶点都在同一个球面上，设此侧面三角形的外接圆半径为r1，底面多边形的外接圆半径为r2，此侧面与底面的公共棱长为2a，则此棱锥的外接球的半径R=r21+r22-a2.

证明 如图1，若侧面PAB⊥底面ABC，设△PAB的外接圆的圆心为O1，半径为r1，底面多边形的外接圆的圆心为O2，半径为r2，球心为O，球的半径为R，此侧面与底面的公共棱长为2a.取AB的中点为O3，连接OO1，OO2，OO3，AO.

總之，“有一个侧面垂直于底面的棱锥与它的外接球的关系问题”是众多棱锥、棱柱的外接球问题中的一种类型.此类问题有了上述公式，就不用挖空心思地去找球的球心了，从而降低了试题的难度，使学生的解题速度得以大大提高.不过要提高解题速度，一定要记熟上述公式；还必需要熟练应用正余弦定理解三角形，用正弦定理解三角形外接圆的半径.

参考文献：

［1］ 沈清臣.几类特殊的多面体外接球问题[J].数理化解题研究，2020（28）：61-63.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者简介：李勇（1976.9-），贵州省石阡人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.