一道递推数列通项的多解探究

2023-09-15 20:57雷誉
数理化解题研究·高中版 2023年8期
关键词:通项公式构造法迭代法

摘 要:本文从一道求递推数列的通项公式问题展开深入研究,主要从数学归纳法、迭代法、构造法和累加法进行认识和改进.

关键词:通项公式;数学归纳法;迭代法;构造法;累加法

中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2023)22-0098-03

数列是高中数学的重要内容之一,求数列通项公式问题在各种考试中经常出现.在大多数数列问题中,确定数列的通项公式是求解的关键,也是解决数列问题的基础.此类问题的出题方式灵活多变,解法也多种多样.对于既不是等差数列,也不是等比数列,我们需要根据递推关系式的特点,选择合适的方法进行求解.

数学归纳法是高中数学的一种重要方法.通过数列的初始值和递推公式依次计算出数列的前几项,要注意项的表示形式能够反映其规律性,便于发现数列的通项公式,主要考查学生的观察、猜想和归纳的合情推理能力.

迭代法是解决有关数列问题的通用方法,尤其是已知相邻项的递推关系式时十分有效,利用数列的递推关系式依次辗转代入,发现项与序号之间的变化规律,最终转化为第n项和第一项的关系.

构造法就是根据题目的条件和结论,构造出一些新的数学形式来解决问题的一种方法.

利用累加法求数列的通项公式时,需要将已知的递推关系式进行恰当的变形,整理成下一项与上一项的差和项数之间的函数关系,形如an+1-an=f(n),然后等式两侧对应累加,转化为求f(n-1)+(n-2)+…+f(1)式子的和.

本题中,p=2,q=3,a1=12,满足a1-pq+1=0,所以an是等比数列,也就是这种巧合使本身错误的解法得到了正确的答案.从中可以发现:若数列an+an+1是公比不为±1等比数列,那么数列an是否也為等比数列取决于首项.

参考文献:

[1] 郭建华.关注生之问 探寻教之策:以一道数列通项题的求法为例[J].中学数学教研(数学),2022(2):17-20.

[责任编辑:李 璟]

收稿日期:2023-05-05

作者简介:雷誉(1991.12-),女,湖北省咸宁人,本科,从事高中数学教学研究.

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