一道递推数列通项的多解探究

摘 要：本文从一道求递推数列的通项公式问题展开深入研究，主要从数学归纳法、迭代法、构造法和累加法进行认识和改进.

关键词：通项公式；数学归纳法；迭代法；构造法；累加法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0098-03

数列是高中数学的重要内容之一，求数列通项公式问题在各种考试中经常出现.在大多数数列问题中，确定数列的通项公式是求解的关键，也是解决数列问题的基础.此类问题的出题方式灵活多变，解法也多种多样.对于既不是等差数列，也不是等比数列，我们需要根据递推关系式的特点，选择合适的方法进行求解.

数学归纳法是高中数学的一种重要方法.通过数列的初始值和递推公式依次计算出数列的前几项，要注意项的表示形式能够反映其规律性，便于发现数列的通项公式，主要考查学生的观察、猜想和归纳的合情推理能力.

迭代法是解决有关数列问题的通用方法，尤其是已知相邻项的递推关系式时十分有效，利用数列的递推关系式依次辗转代入，发现项与序号之间的变化规律，最终转化为第n项和第一项的关系.

构造法就是根据题目的条件和结论，构造出一些新的数学形式来解决问题的一种方法.

利用累加法求数列的通项公式时，需要将已知的递推关系式进行恰当的变形，整理成下一项与上一项的差和项数之间的函数关系，形如an+1-an=f（n），然后等式两侧对应累加，转化为求f（n-1）+（n-2）+…+f（1）式子的和.

本题中，p=2，q=3，a1=12，满足a1-pq+1=0，所以an是等比数列，也就是这种巧合使本身错误的解法得到了正确的答案.从中可以发现：若数列an+an+1是公比不为±1等比数列，那么数列an是否也為等比数列取决于首项.

参考文献：

［1］ 郭建华.关注生之问 探寻教之策：以一道数列通项题的求法为例[J].中学数学教研（数学），2022（2）：17-20.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者简介：雷誉（1991.12-），女，湖北省咸宁人，本科，从事高中数学教学研究.