实例分析正、余弦定理判断三角形形状

张志明

摘 要：主要通过例题来探讨如何用正、余弦定理判断三角形形状。基本思路是将过角化为“纯边”或化为“纯角”问题。

关键词：正弦定理；余弦定理；三角形形状

三角形的各种不同形态有锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形等，判断三角形形状特征，必须深入研究边与边的等式关系：三边是否满足勾股定理？两边还是三边是否相等？还要研究角与角的大小关系：两角还是三角是否相等？是否有直角或者钝角？判断三角形形状的基本思路是通过变形将边角关系化为“纯边”或化为“纯角”的等式。然后利用边边关系，或角角关系，求出大小或者找出对应关系，从而作出正确

判断。

为了更方便地观察判断三角形的形状问题，从以下例题入手进行分析。

例1：在△ABC中，若■=■=■，则△ABC是什么三角形？

解析：等式中既有角又有边，化为“纯边”或化为“纯角”。观察发现化为“纯角”，可以得出角的大小，可以确定△ABC的形状。

解：由a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。且■=■=■。

可以得到■=■=■，1=■=■=■

从而tanB=tanC=1，B=C=45°，A=180°-（B+C）=90°

所以△ABC为等腰直角三角形。

例2：在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。

解析：对于等式中既有角又有边，基本思路化为“纯边”或化为“纯角”。观察sin2A=sin2B+sin2C中有平方，从正弦定理入手化成“纯边”。

解：由正弦定理sin2A=sin2B+sin2C，可得a2=b2+c2，从而△ABC为直角三角形，A=90°。故B+C=90°，则B=90°-C，sinB=cosC。

又sinA=2sinBcosC可得1=2sin2B，sinB=■，B=45°。故C=45°。

故△ABC為等腰直角三角形。

例3：在△ABC中，已知■=■，试判断△ABC的形状。

解析：题目中有正切，利用正切的定义转化为正弦、余弦，然后化为“纯边”或化为“纯角”。

解：法1：由题意得■=■，整理得sinAcosA=sinBcosB。即sin2A=sin2B。

又A、B为△ABC的内角∴2A+2B=π或2A=2B

∴A=B或A+B=■，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形。

法2：■=■，由余弦定理得■=■。

整理得（a2-b2）（a2+b2-c2）=0∴a2=b2或a2+b2=c2∴a=b或a2+b2=c2

从而可以得出△ABC为等腰三角形或直角三角形

例4：在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，试判断△ABC的形状。

解析：对于观察条件（a+b+c）（b+c-a）=3bc，会出现b2，c2，a2，bc，所以从余弦定理入手求出角A，对于条件sinA=2sinBcosC，既有正弦又有余弦，从三角函数入手也可以转化为“纯边”。

解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，∴{（b+c）+a}{（b+c）-a}=3bc，

（b+c）2-a2=3bc，b2+c2-a2=bc，cosA=■=■=■，A=■

方法一：sinA=2sinBcosC，

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，

sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，

又B，C为△ABC的内角。

故B=C，又A=■，A+B+C=π，所以B=C=■。

故△ABC为等边三角形。

方法二：sinA=2sinBcosC，由正弦、余弦定理将其化成“纯边”

a=b·■，化简得a2=a2+b2-c2，b2=c2，b=c。故B=C。

又A=■，故A=B=C=■。

故△ABC为等边三角形。

高中常见基本思路是利用三角形正、余弦定理将等式化成“纯边”或“纯角”，从而求出具体边角关系来进行判断。在解决问题时，常要结合三角公式进行化简，有时还要用到三角函数的有关性质。

参考文献：

[1]唐益才，孙令华.鼎尖教案数学必修五[M].吉林：延安教育出版社，2015.

[2]尧林华.新课程新练习数学必修五[M].江西：二十一世纪出版社集团，2009.

编辑 张珍珍