“双减”背景下指向深度学习的初中数学例习题设计研究

杜倩男

【摘 要】  “双减”背景下，指向深度学习的初中数学例习题设计应着眼于加深学生对数学知识的构建与理解，引导学生运用知识去探索、解决问题，促使学生主动反思、迁移、运用，将知识转化为素养.本文以落实“双减”政策、促进深度学习为目的，采用案例分析方法对初中数学例习题设计进行研究，并给出参考建议.

【关键词】  “双减”；初中数学；例习题设计

在初中数学教学实践中，教师可以以例习题的设计为抓手，着眼学生对数学知识的深度理解，促进学生知识建构和方法迁移，启发学生高阶思维的发展，让学生在解决问题的过程中提高核心素养.从实践层面来看，“双减”背景下指向深度学习的初中数学例习题设计可以从以下几个方面展开.

1 结合学生的学习需求设计例习题

在初中数学教学指导中，教师应深入分析学情，了解学生需求，并整合教材资源，合理设计例习题，引导学生由浅入深展开学习.

例如   在“一元二次方程的概念”这部分内容的教学指导中，教师对学情进行分析，了解到学生所掌握的知识基础，也认识到学生正处于逻辑思维从经验型逐步向理论转型发展的关键时期，他们的观察力、记忆力和想象力迅速发展，并且表现出好动、好奇、好表现，注意力易分散、希望得到他人表扬等特点.基于此，教师从学情出发，抓住学生特点，利用直观生动的生活情景设计例题，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；同时设计习题，创造条件和机会，让学生独立计算、发表见解，发挥学生学习的主动性，满足学生需求.

在课堂上，教师首先结合生活情景出示例题.

（1）根据题意，列出方程：①一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？②一个的正方形的面积等于12，求它的边长.③一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这个数.

（2）思考：①以上三个方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？②尝试类比一元一次方程给上面的三个方程下个定义.

（3）归纳一元二次方程的概念：①只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.②体会概念中的三个条件：整式方程、各未知数和未知数的最高次数为2.

在这个环节，教师运用三个实际问题引导学生列出三个方程，并与一元一次方程作比较，结合之前关于“元”“次”的理解，帮助学生认识一元二次方程的基本特征，在迁移思考中，顺利抽象、归纳出一元二次方程的概念.

接下来，教师根据例题设计习题，引导学生深度学习一元二次方程的概念，并为学生提供自我发展的机会.练习（1）①-2x  2 =0；③x  2 -4y=3x+6；②x  3 -x+4=0；④（x-3）（x+3）;⑤2x（x-1）=3x-4.要求学生判断哪些是一元二次方程.这组练习是关于概念的辨析，帮助学生理解概念中的关键字词，从而理解概念；练习（2）要求学生两两一组进行合作，一个自编一元二次方程，一个作出判断.对于学生无法作出判断的，教师则以“裁判”的身份进行判断，以加深学生对抽象概念的理解.在两组练习中，教师为学生提供了展示的空间，对学生的参与给予高度肯定，引导学生查缺补漏，扎实掌握一元二次方程的概念.

2 根据学生的学习目标设计例习题

在学生的深度学习过程中，目标是指引、是方向，是学生自主探究、积极思考的依据.在初中数学教学实践中，教师应以学生的基本能力和课程标准为依据，对学生应完成的学习结果进行分析，对知识进行多维度的意义理解，进而导引学生逐步完成意义建构和深度学习.

例如   “一元一次方程的应用”这一课要求学生在学习了列方程、方程的解以及解一元一次方程等基础知识后进一步学习，以实现小学解应用题和中学解应用题的衔接，进而感受数学与现实生活息息相关，体验数学的趣味性，提高学习数学的积极性.基于此，教师通过多角度分析，确定了应达到的学习目标，既能找出应用题中的未知量和已知量，找到应用题中的关键语句，结合题意，设适当的未知数，列出一元一次方程；经历用方程解决实际问题的过程，初步体验方程思想，了解方程是解决实际问题的工具；提升分析问题和解决问题的能力.根据学习目标的指导，教师设计例习题，促使学生逐步展开深度学习.

在课堂上，教师有步骤地呈现了如下例题：

例1   在举办北京奥运会期间，国家提出了“节俭办奥运”的新理念，将建造国家体育馆的预算资金调整为26亿元，比原预算节约资金35 % .请问原建造国家体育馆的预算资金为多少亿元？在课堂上，教师要求学生齐读例题（1），学生代表发言说明从中获得的信息，进而师生共同完成例题（1）的解题.在学生获取例题信息过程中，教师不断追问，驱动学生思考，并将题目中的每个信息补充完整.这样学生在有效获取信息的基础上才能逐渐明确的解题格式，归纳列方程解应用题的一般步骤，初步形成知识应用的一般思维.

例2   在雅典奥运会闭幕式上，中国表演队用8分49秒表演舞动北京、中华武术及少儿京剧这三个节目，这三个节目的表演时间之比是10∶8∶5，那么舞动北京、中华武术及少儿京剧表演的时间各是多少秒？在课堂上，教师不断追问“你在例题中获取了哪些信息？”“如何设未知数？”“你能找到不同的设未知数的方法吗？”，这些问题引导学生抓住“如何设元”这一关键点，明确列方程的条件.同时针对学生不同的设元方法，组织他们进行比较，区分优劣，让学生深入体会“设适当的未知数列方程”的重要性，促使他们在例题中更加准确地寻找列方程的等量关系.

例3   小明、小杰两人共有500本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多，问小明、小杰原来各有多少本图书？在课堂上，教师要求学生审题、解题，小组讨论分享解题思路，小组代表发言.如有的学生设小明 HYPERLINK"https：//wenwen.sogou.com/s/？w=%E5%B0%8F%E6%98%8E&ch=ww.xqy.chain"＼t"https：//wenwen.sogou.com/z/_blank" 的圖书数量为x，小杰 HYPERLINK"https：//wenwen.sogou.com/s/？w=%E5%B0%8F%E6%9D%B0&ch=ww.xqy.chain"＼t"https：//wenwen.sogou.com/z/_blank" 的则为500-x，列方程是500-x-15=x+15，解出小明图书 x=235 ，所以小杰 HYPERLINK"https：//wenwen.sogou.com/s/？w=%E5%B0%8F%E6%9D%B0&ch=ww.xqy.chain"＼t"https：//wenwen.sogou.com/z/_blank" 图书数为265本；有的学生设小杰有x本，小明就有500-x本，列式x-15=500-x+15，x=265，小明图书则是235本.教师课堂巡视，用课件呈现不同解法的分析过程，并进行总结：当题目中数量关系比较复杂时，可以用图表等直观的方法理清题意；所设未知数要与所列方程需要一致；解题过程要完整.例题（3）让学生独立完成，方法多样，直接交流想法，然后归纳小结.这也就达成了教学目标当中的能找出应用题中的未知量和已知量，找到应用题中的关键语句，结合题意，设适当的未知数，列出一元一次方程，同时也体会到了数学知识在解答生活问题的应用价值.

在上述案例中，教师围绕学习目标设计不同的例题，一步步引导学生完成目标，让思维经历从感性到理性的发展过程.这样的设计为学生带来了不一样的体验与感受，充实了课堂探究过程，也起到减负增效的作用，形成有活力、有深度的新成长课堂.

3 着眼学生的迁移拓展设计例习题

在初中数学教学实践中，例习题设计是一项艰巨而又细致的工作.教师需要在了解学生情况和熟悉教材内容的前提下，遵循激发学生学习兴趣和认知需要的原则，对精选的例题进行呈现，也可以对他们进行适当的拆分、挖掘、引申或改造，在变式中探求方法、激发灵感、实现创新，从而达到深度学习的目的.

例如   在学习了“二次函数的综合应用”相关内容后，教师为学生设计了习题：已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-2x  2 +bx+c的图象经过点A（-3，0）和点B（0，6）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值；（3）在第（2）小题的条件下，连接OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由.这一题目围绕二次函数展开，拓展练习了三角形的相关知识，为学生运用、巩固数学知识，构建知识体系提供了机会.在复习课上，教师想要通过对原有习题的变式，促进学生进一步迁移、拓展，帮助学生实现深度学习.基于这一目的，教师进行了学情分析，并了解到此前学生已掌握了一次函数、平行四边形、相似三角形、锐角三角比等有关知识，能够解决简单的函数问题或几何相关问题，但是在进一步提升自己的解题能力和方法，综合应用所学知识分析题意、合理快速地找到解题策略等方面是比较欠缺的.

针对此，教师设计了根据上一练习设计了如下变式：在平面直角坐标系中，二次函数y=-2x  2 +bx+c（a≠0） 的图象经过点A（-3，0）和点B（0，6）.请回答如下问题： （1）求二次函数的解析式及顶点坐标;（2）将这个二次函数图象向右平移5个单位后的顶点设为点C，连接OC，探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由;（3）在直线OC上找一点D，使四边形ABCD为平行四边形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由;（4）在直线AB上找一点F，使△BOD与△BOF相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

问题（1）的设计意图在于学生利用图象，从二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等方面，帮助学生梳理二次函数的基本性质.教师为学生提供独立思考的机会，让学生运用二次函数的基本知识完成解答；问题（2）的设计意图在于引导学生进一步分析平面直角坐标系中点的坐标转换成线段的长度或函数解析式，并利用相似三角形的性质或锐角三角比的知识解决问题，初步体验用几何方法解决问题；问题（3）的设计意图在于引导学生借用一组平行线构造平行四边形，让他们在操作的过程中体会数形结合的思想.教师引导学生采用数形结合的方法进行探究，深入体会代数与几何的关系；问题（4）的设计意图在于促使学生观察图形找到一对角相等，引导他们进行分类讨论，从而解决相似三角形求点问题的方法，体会代数几何方法的综合应用.教师组织小组合作学习，让学生产生思维碰撞，深入研究.

这样的教学设计使整堂课就围绕一个基础图形，环环相扣的问题促使学生复习二次函数核心内容，同时迁移联系所学的其他核心知识，探求解题的策略.

4 结语

总之，在“双减”背景下，初中数学教学不能只浮于表层，而是要让学生的学习有深度，这样才能有效发展学生的数学核心素养.上述内容从例习题的设计为切入点，分析了深度学习的实现策略，这为落实“双减”政策提供了参考.当然，相关研究依然存在诸多不足，这就要求教育工作者聚焦深度学习，进一步展开初中数学例习题设计研究，为课程改革不断积累经验.

【本文系江苏省泰州市第十三期教研重点立项课题《双减背景下指向深度学习的初中数学例习题设计研究》的研究成果之一；课题编号为tjyzd2021-009】

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