数形结合思想在解题中的应用

王芸

【摘  要】  数学是研究数量关系与空间形式的科学，数形结合思想是连结数和形的桥梁，将数的抽象性与形的直观性相结合，使得抽象思维与形象思维相结合.本文通过对初中数学中考真题中的具体真实例题进行研究与分析，将其分为三种类型：用数解形、用形解数和数学结合，探究其在解决几何问题、不等式问题、函数类问题和概率论问题中应用的优越性，得出一些在解题中使用数形结合思想的优点.

【关键词】  初中数学；数形结合；解题教学

初中学生的思维正处于从形象到抽象的过渡阶段，对于抽象数学知识的理解仍然有些困难.数字和形状的结合可以联结数学知识的抽象和直观两个方面.初中数学中主要有两个分支，代数与几何，它们并不是彼此独立的，而是紧密相关的.在解决数形结合类问题时，有时会面临着较大计算的代数问题，这些问题单纯地依靠代数法解决比较繁琐，计算量较大且容易出现计算错误.但是在变成一个直观的图之后，使用图形的相关性质就可以很容易地解出结果.有时我们会发现由于缺少辅助线而无法研究的几何图形，但是通过诸如建立坐标系的方法将其转化为代数问题来研究就能够轻松地解决.在教学过程中应用数形结合思想能够提升学生的知识应用能力和数学学科核心素养.

1  数形结合思想在中学数学解题中的应用

1.1  以“数”化“形”

1.1.1  利用代数法解决几何问题[13]p11-12

例1  如图1，，

则S?AGC=_________

解析  延长AG，CG分别交AB，BC于点D，E，连接DE，所作图如下图2所示.

在Rt ?ABC中，因为∠BAC=90 ?，AB=6，AC=4，

所以，

因为G是?ABC的重心，

所以AG=2EG，CG=2DG，

又因为D，E分别是AB，BC的重点，

所以DE∥AC，且.

设S?DGE=m，则S?ADG=S?EGC=2m，S?AGC=4m，

所以S?ADE=S?BDE=3m，则S?ABC=12m，

因为12m=12，

所以m=1，所以S?AGC=4.

解析  这个例题是关于求解三角形的面积问题，解决问题的过程，需要用到两个相同高度的三角形的面积之比等于两个底部的线段的长度.虽然题目中给出的已知条件很少，但是我们可以通过题干寻找到题目的隐藏条件，即重心的性质，只要抓住这个重要的性质就可以顺利地利用代数的方法进行解题，使得原本的几何问题简单化.这道例题如果直接求解?AGC的面积比较困难，解题步骤比较繁琐，这时需要应用数形结合思想进行解題，尝试选择用代数的方法去解决问题，这样就可以简化书写解题的过程.

1.1.2  利用面积法解决几何问题

例2  Rt?ABC中，∠ACB=90?，a，b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：

解析  在Rt?ABC中，∠ACB=90?，CD⊥AB，

所以，

从而ab=AB·h，则a?b?=AB?·h?=（a?+b?）·h?，

两边同时除以a?+b?，得：.

面积法的一大优点是能够具体化和可视化抽象问题.用面积法解决数学问题既可以发展图形感，同时可以深入理解各种问题的共同点.此外面积法还可以起到训练学生数形结合意识的作用.这个例题要证明边长与高之间的数量关系式，单纯地从图形上来判断，很难知道他们之间的关系.运用面积法可以轻松地通过面积表达式找出数量关系，从而顺利地求解出结果.这道例题要求证明线段之积相等，而且题目所给的条件很少，因此解题时要有发散性的思维.运用面积法进行证明，只需要两步就可以证明出来，大大提高了解题效率.应用面积法解决几何问题不仅可以锻炼学生的数形结合的意识，而且能够丰富学生的数学解题方法.

1.2  以“形”解“数”

1.2.1  利用图形解决不等式问题

例3  解不等式组，并写出它的所有负整数解[14]p12.

解析  解不等式，得；解不等式，得.

所以原不等式组的解集是，

这道例题不仅要求解不等式组的解集，而且要求写出所有的负整数解.如果不利用数轴解决问题，那么很容易将负整数有所遗漏，造成解题结果不完整.这时利用数形结合思想，借助数轴解题，通过数轴来表示不等式组的解集会显得简单且清楚，可以清晰直接地看出所有的负整数解，不仅可以提高了解题的速度，而且可以提高了解题的正确率.

1.2.2  利用图形解决函数类问题

例4  已知一次函数（k为常数，k≠0）和[14]p9

（1）求x的取值范围；

（2）请结合图像，直接写出k的取值范围.

解析  （1）

根据题意，得，

解得.

（2）-4≤k≤1且k≠0.

如图7所示，直线恒过点D（0，2），

与直线x=1交于点C（1，k+2），

直线经过点A（3，0），B（1，-2），

过点D作DF∥AB，则直线DF的函数表达式为.

所以直线DF交直线x=1于点F（1，3）.由图7可知，当点C在线段BF上时， 所以-2≤k+2≤3，即-4≤k≤1.又因为k≠0，所以-4≤k≤1且k≠0.

这道例题是有关一次函数的题，在解决函数类问题中，首先要想到绘制图像，借助平面直角坐标系画出函数的图形进行研究分析.函数类的题目一般综合性比较强，常常作为试卷中的压轴题，难度较大，主要是针对学生综合解题能力的考察.在解决问题中，利用数形结合思想，可以建立函数关系式与平面图形之间的对应，更有利于分析题中所给出的条件.题目中给出了两个一次函数的表达式，在解题过程中，需要在同一个坐标系中画出两个函数的图像，借助图形研究函数y1 与y2 的大小关系.在解决函数类问题的过程中应用数形结合思想，通过所画的函数图像的直观性，可以快速地求解出结果，从而能够提高学生的解题能力.

2  结语

数形结合思想是最重要的数学思想之一，普遍应用于初中数学的教学中.本论文主要研究应用其思想在解决数学问题中的作用，以及对当前的教学应用现状进行研究与分析，针对教学过程中存在的问题提出了一些改善现状的措施，可以提高学生的学习兴趣及更加容易接受应用数形结合思想去解题.《数学课程标准》不仅把“数学思考”作为总体目标之一提出，同时还将“双基”改为“四基”，即基础知识，基本技能，基本数学思想，基本活动经验. 数学思维教学是提高学生数学思维能力的基本条件，也是养成良好思维习惯的基础.

参考文献：

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[4]刘兴楠.数形结合思想在中学数学教学中的应用[D].大连：辽宁师范大学，2011.

[5]林明全.数形结合，解决数学问题的有效策略[J].数学学习与研究，2014（12）：114.