基于逆向思维的初中数学解题

李奎安

【摘  要】  逆向思维是通过已知条件推进的一种思维方式，将其运用于初中数学的解题教学中，不仅能激发学生的学习兴趣，而且能提高学生的解题灵活性与敏捷性.因此，初中数学的解题教学中，教师需注重培养学生的逆向思维，引导学生进行逆向思考，从而有效解决相关数学问题.

【关键词】  初中数学；逆向思维；解题策略

初中数学的解题教学中，数学思维以及思维习惯通常对解题步骤的优化以及解题正确率有着重要影响，逆向思维作为一种常见的解题思维，又称作反向思维，是发散思维培养的一种重要形式，主要采取与惯性思维相反的方式对数学问题进行分析与推理，即突破惯性思维，在已具备的知识体系基础上，形成深层次的理解与认知.将逆向思维运用于初中数学解题中，可有效激发出学生的逻辑思维，促进学生的思维灵活性，提高学生的思维开放性，使学生实现高效解题.

1  基于逆向思维解答否定性命题

例1  已知：△ABC的内角分别为∠A、∠B、∠C.

求证：∠A、∠B、∠C中不存在两个角为直角.

解析  证明题中出现了“不是”“没有”“不能”等词，这是典型的否定性命题，若直接证明，就要找出所有的可能情况，并加以论证，这个证明过程十分繁琐.而通过逆向思维的运用进行逆向推导，则能高效解答.

证明  假设∠A、∠B、∠C存在两个角为直角，

设∠A＝90°，∠B＝90°，

则有∠A＋∠B＋∠C＞180°，

依据该结果，其与三角形内角和为180°的定理相矛盾.

二者存有冲突，故∠A＝90°，∠B＝90°的假设是不成立的，

即证∠A、∠B、∠C中不存在两个角为直角.

2  基于逆向思维解答存在性命题

例2  过O点作七条直线，试证明：以O为顶点相邻的两条直线形成的夹角中必然有一个角是小于26°的.

解析  涉及“存在”等词的试题，运用逆向思维可假设为“没有一个”.首先，过O点作出7条直线，相邻的两条直线形成的夹角共14个，这些角的和是360°，并通过逆向思维，设各个角都不小于26°；其次，将这些角的度数相加求和，判断其与360°的大小，即可证明命题.

证明  将O作为顶点的角中，相邻的两条直线形成的夹角一共有14个，若必然有一个角是小于26°，而14个角恰当形成一个周角，

假设14个角都大于26°，

那么，14个角的和大于且等于14×26°＝364°＞360°，

这和周角的度数是360°相矛盾，

即得证以O作为顶点的角中必然有一个角是小于26°的.

3  基于逆向思维解答“至多”“至少”的命题

例3  任意给出三个实数，下列不等式中，至多有两个不等式是同时成立的：|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|.

解析  证明本题中出现的“至多”，学生常常无法理解，此时，可通过逆向思维，假设三个不等式均成立，则能有效证明本题.

证明  依据实数的性质，设实数a、b、c是数轴上的三点，如图1中的A、B、C所示，

则存有|a|＝OA，|b|＝OB，|c|＝OC，

|b－c|＝BC，|c－a|＝AC，|a－b|＝AB，

假设三个不等式均成立，那么，|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|，

即AO＜BC，OB＜AC，OC＜AB，

且OC＝OB＋BC＞OB＋OA＝AB，

此时，OC＞AB，与假设矛盾，

故|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|至多有两个不等式是同时成立的.

例4  已知，证明：、、中至少有一个是不小于.

解析  存在“至少”词汇的解题中，可通过逆向思维，将至少存在n个，假设为至多存在（n+1）个，也就是假设、、均小于即可.

证明  假设、、均小于，

那么①，

②，

③，

即有④，

⑤，

⑥，

式子④+式子⑥可得：⑦，

由于式子⑤与式子⑦是矛盾的，故可证原命题成立.

4  基于逆向思维解答几何问题

例5  如图2，△ABC中，AB⊥AD，AC＝AB，BC和AD相交于点E，且BC⊥DC，AD和DC相交于点D，证明：AC2＝AD·AE.

解析  在解题时，无法从已知条件中找到证明思路，教师就可以指导学生通过逆向思维加以证明.即想要证明：AC2＝AD·AE，可将其变形成，为了得到该结论，就需证明△ADC∽△ACE，依据图2得：∠CAD与∠EAC是公共角，由此可断定三角形相似，并證明结论.

证明  因为AB⊥AD，BC⊥DC，

所以∠ECD=∠EAB，

又因为∠CED=∠BEA，所以∠D=∠B.

因为AC=AB，

所以∠BCA=∠B=∠D，

即在△ADC与△ACE中，∠ECA=∠D，∠CAD=∠EAC，△ADC∽△ACE，所以，即证AC2=AD·AE.

5  结语

综上所述，初中数学的解题教学中，教师需充分认识到逆向思维的作用，并通过逆向思维在实际例题中的应用讲解，让学生形成相应的逻辑思维，以实现解题效率的提高.

参考文献：

[1]梁玲.初中数学解题中逆向思维的应用[J].数理天地（初中版），2022（16）：51-52.

[2]龚爱峰.初中数学解题教学中逆向思维的应用[J].读写算，2021（28）：155-156.