梯度分组教学模式在大学数学课程中的应用

摘 要：为了提高学生学习数学课程的效果，以高等数学和数学实验两门课为例，阐述了如何在课堂中实施梯度分组教学，从小组划分方式、分组讨论内容、课堂实施办法、考核方式、实施效果和待改进的问题等几个方面进行了详细分析和说明，丰富了课堂教学形式，增强了学生的团队合作意识。

关键词：梯度分组教学；高等数学；数学实验；教学模式；团队合作

高校的数学类基础课程主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计和数学实验课程等，这类课程具有基础性地位，且具有广泛的授课对象。高等数学课程是高校各专业学生必修的基础课，它为学生后续学习提供了必要的理论基础，也为解决实际应用问题提供了关键技术。数学实验课程的开课范围比高等数学要小，它以高等数学和线性代数等为基础，通过Matlab软件，依靠数值计算理论和数学建模思想进行实践教学。以高等数学和数学实验这两门不同授课对象的数学基础课为例，研究一种以数学教学为特色的梯度分组教学模式对于改进课堂教学和提高学生课堂参与度的重要意义。

一、高校数学课程教学模式概述

数学课程教学班级的规模一般较大，近几十年来，高校数学基础课程的教学班平均规模在一百人以上，最高可达二三百人。教师是课堂教学的主导者，面对庞大的听课群体，最初，数学教师采用的是以讲授为主的教学方式，即课堂上大部分时间教师在讲课，学生在台下被动接受知识，这种教学形式导致教师不能及时了解到学生的知识接受状态，且课堂互动较少，师生之间配合不默契。随着高等教育的逐步发展，近年来，学生的主体地位逐渐受到重视，以学生为中心的思想也被提出。数学课程中逐渐减少了“填鸭式”的教学现象，改進方式主要体现在：第一，课堂互动增加。除了基本的课堂问答，教师还经常设计各类创新环节，积极引导学生学习的积极性，启发学生开动脑筋参与教学互动，如课堂游戏、课堂挑战、学生小老师环节等。第二，留出课堂练习的时间。学生对数学知识吸收是否良好的一个重要体现就是能否灵活运用，因此，在讲授完一个知识点后，教师经常会布置对应的练习题，考查学生对知识的接受程度。第三，课堂留白，给学生思考、提问和总结的时间。例如，课堂的最后会留出几分钟的时间让学生自己总结，并针对自己的薄弱环节提出疑问，教师答疑解惑。以上几点是数学课程教学方式由传统向现代过渡的明显转变。

但随之产生的问题是，班级规模较大使得教师不能够兼顾到每一位学生，且没有充足的时间面向学生全体进行互动，因此很多教师开始尝试班级分组教学。分组教学并不是一种新型教学方式，这种方式在19世纪末就出现了。当时，资本主义国家的现代教育派认为，学生的个体差异在传统教学不能够得到适应，他们提出应按智力等级和成绩对学生进行分组教学，校内分组和班级内分组是当时主要的两类分组教学制。一些人认为这样能照顾学生的学习差异，适应学生个体的实际情况和需要，对人才培养更加有利，因此，这类教学模式也被沿用至今。这种教学模式针对大规模的听课群体，能够使每一个人积极参与课堂学习，与未分组的方式相比，能够调动学生的学习积极性。我国在大多数学科中均进行过分组教学的改革，尤其是文科类课程中，这种教学方式取得了非常积极的效果。

由于学科性质的不同，高校大班数学类课程进行的分组教学改革比文科少一些，也正因为如此，以数学教学为特色的大班型分组教学方式才更值得研究。

二、具有数学课堂特色的梯度分组学习方式探究

目前，高校的数学课程大多数为大班授课，为了激发学生的内部学习动力，采用分组互助形式学习数学课程，有助于创新课堂形式，增强团队合作意识，提高学生整体学习水平。尤其是数学实验课，教学内容模块化，以解决实际问题为导向，在学习中需要几位成员一起协作完成实践任务，采用分组教学模式尤为合适。梯度分组是指每个小组的学生组成具有成绩和学习能力上的梯度，遵循先进带动后进，构建组内互相学习、互相竞争的模式，目的是提升学生整体的学习水平，培养学生团队合作的意识。

（一）实施方式

第一，小组划分方式。针对高等数学课程：首先应该了解学生对概念以及定理公式的认知水平，然后根据学生的能力制订相应的计划，通过适当提示和讲解帮助学生顺利认知。分组亦是如此，要让组内学生有梯度，给每个小组分配任务而不是给学生个人。问题则让组长负责汇总，通过小组内的互相帮助，增强小组的集体荣誉感。以沈阳工学院为例，目前数学班级人数约为90人，将学生按照5～6人为一个小组进行分组，要求每组学生的学习能力和数学基础有梯度地设置，有数学理解能力较强的学生，同时也有数学成绩较落后的学生。这种模式划分的准备工作需要有一定的提前量，因为高等数学课是为大一新生开设的，在开学初，任课教师不能很好地把握学生的学习水平，学生之间也不能够深入了解。因此，结合高考数学成绩和宿舍单位对学生进行粗划分，再逐渐在实施过程中进行微调。针对数学实验课程：以沈阳工学院为例，数学实验课程的开设在大二上学期，班级人数约为70人。此时，班级内学生之间对彼此都比较熟悉，且教师可参考的成绩指标较充分，容易将学生按照3～5人以小组的方式进行划分。

第二，选取适合分组讨论的内容。经教学研究讨论，提炼出高等数学课程教学中适合分组讨论的教学内容不完全列举如下：工程和实际应用中什么问题的变化率是人们经常关注的；尝试利用导数定义推导一些基本初等函数的导数公式；能否推导出正（余）切函数的求导公式；金属薄片受温度变化影响后对面积改变量的讨论；总结各种未定式求极限的方法；微元法相关问题的讨论和总结；愚公移山问题在级数中的应用；举例一个收敛的级数、一个发散到无穷的级数、一个“和”没有稳定趋势的级数；讨论什么样的级数适合用比值法判别收敛性，什么样的级数适合用比较法判别收敛性；讨论函数展开成幂级数的优势和作用；如何利用函数的幂级数展开求近似值。数学实验课程针对四个核心教学模块（矩阵代数模块、函数与方程模块、数值微积分模块、微分方程模块）的建模实验，采用分组讨论、协作完成的模式进行。课程中设置的建模实验主题分别为：建立线性方程组模型的交通网络流问题；建立高次方程的贷款利率问题；建立积分模型的奶油蛋糕问题；建立微分方程模型的导弹系统问题。从资料的搜集、问题分析、模型假设、模型建立到模型求解，每个实验以项目教学、小组协作的方式展开，充分发挥学生的主观能动性和团队协作意识。

第三，课堂实施办法。针对高等数学课程：由教师在课堂上讲解概念和例题，遇到解题环节或需要总结或发现规律的理论环节，可由小组竞争的方式完成课程内容。例如，在学习拉格朗日乘数法求最值时，可以小组讨论该方法的优势是什么，同时小组内针对具体的应用题题目进行讨论并求解；在学习级数时，可以让学生总结规律：具有什么特点的级数适合比较法、比值法；针对二重积分的计算的习题，小组可展开互助讨论：如何适当地选择X型、Y型区域将二重积分化为二次积分，从而进行二重积分的计算。小组讨论结束后，可以派代表总结组内意见，同时适当有区别地加分以激励学生。对于常规性的基础习题，可以开展小组间的竞赛，随机选取组内学生回答问题，并作为整个小组的成绩，对于有一定难度或应用性较强的题目，可由小组自行派代表回答问题。教师在合作互助分组教学活动中应更多地让学生参与到正常的学习过程中，从而需要更好地进行备课，尽可能地想到学生面对新知识、新教法所产生的种种问题。同时，教师应特别关注性格内向的学生在组内讨论过程中的动态，鼓励他们积极发出自己的声音，同时引导小组成员之间互帮互助，提高团队合作能力。针对数学实验课程：该课程实际操作性较强，每学完一个知识点后，可以安排小组协作完成对应的实验内容，同时，该课程融合数学建模，使学生能够从分析问题到解决问题全线打通。例如，在学习Matlab编程基础后，让小组对实际应用中的累加求和等问题进行编程运算；学习了矩阵代数的Matlab指令后，对于实际应用问题，让小组建立线性方程组模型，并进行软件求解等。

（二）考核方式

分组形式下，每位学生的成绩既要以所在小组共同成绩为基础，又要有个体差异。一方面，确定小组基础分。小组讨论的成绩主要体现在平时成绩考核的教学互动和阶段测验这两项中。教学互动时，对于常规基础题，以随机抽取的学生回答情况代表小组整体成绩；对于有难度的习题，则以小组派出代表的回答情况代表小组整体成绩。阶段测验时，组内成员共同协作完成综合题目。全体组内成员共同进退，这样能够逐渐培养出学生的集体荣誉感，使后进生能够积极投入课堂讨论中，也使优秀的学生能够更深刻地理解所學知识，实现整体成绩的提高。另一方面，确定个体差异分数。在小组整体得分的基础上，对个体分数进行调整，采用小测验的方式考核学生个体，题目的难度要有一定的区分度，设置60%以上的题目为基础题，20%的题目为中等难度，20%的题目为难题，以此来对学生个体进行评分。

（三）实施效果

笔者将上述措施在理工类三个班级中实施，约260人，效果如下：第一，更加突出了学生的主体地位。学生在课前按要求预习，课堂上教师提出问题，学生以小组的形式进行分析讨论。小组内的每一位成员都能够展示自己学习体会和成果，尤其能让数学基础较差的学生发表自己的观点看法，在小组学习气氛的带动下，敢于提出问题，成绩更上一层楼。在某一组展示后，其他组的同学能大胆地进行点评，充分调动了学生的积极性和主动性，发挥了他们的主体性作用。第二，学生团队合作意识有所增强，参加各类学科竞赛时能够更好地配合，并获得奖项。最能够激发学生学习积极性的方法就是让学生之间成为利益共赢者，通过团队合作，学生深刻体会到自己与整个小组一荣俱荣，从而提高学习兴趣。第三，学生学习积极性增强。课堂气氛更加活跃，数学学习更加轻松有趣。学生才是学习的主人，分组讨论能够使学生积极主动地去探索和求知，达到良好教学效果。

（四）该教学模式对学生参加数学建模竞赛的促进作用

大学生数学建模竞赛为大学生参与最广泛的专业技能竞赛之一，各个高校每年都会组织学生参加该赛事。建模竞赛需要学生团队合作进行数学建模、使用Matlab等软件进行求解，并完成数学论文，这就对小组内成员的协作与分工提出了较高的要求。在数学课堂上实施分组教学，让学生一直处于自己的小团体中，保持团队协作的意识，组内成员互帮互助，能够使学生在参赛时配合默契，有条不紊地完成比赛。另外，高等数学和数学实验课程也为学生参加建模竞赛提供了一定的理论基础、建模思想和软件使用方法。因此，无论是在知识上还是在配合方式上，都为学生参加建模竞赛起到了积极的促进作用。

（五）待改进的问题

第一，个别团队成员不稳定。在实施分组教学模式的过程中，个别团队成员之间出现小矛盾，需要调整所在分组。这种情况一旦发生，会影响组内学生之间长期合作形成的习惯。第二，个别小组建设不完善，成员分工不明确。学生小组是一个小团体，需要完善组织建设，小组成员既有合作又有分工。目前，每个小组设立一个组长，个别组长责任落实不到位，造成学习任务分配混乱，组员在具体实践中职责不明确，造成相互推诿的现象，影响学习效率。因此，在选择组长时，组织协调能力的考察尤为关键。第三，个别学生“隐藏”在小组中，不作为。由于小组内学生学习水平有差异，因此一部分同学经常积极发言，而个别学生由于性格内向或出于不积极的心态，在小组中不作为，也正因为这个原因，对学生的考核不能以小组作为单位“一刀切”，而是要在小组共同分数的基础上，考虑个体的差异，否则有失公平性。

三、数学课程与其他基础类课程梯度分组教学模式的区别

高校的公共基础课一般采用大班授课的教学方式，除了数学类课程，一般还包括大学英语课程、思政类课程、社科类课程等。显然，其他大多为文科类课程，数学课程与其他课程实施分组方式的区别主要在于：第一，学科特点决定了分组讨论的教学内容不同。文科课程需要学生在课堂上发散思维，往往通过讨论、联想和总结的方式提出自己的观点或看法，为了完成上述任务，往往需要学生之间思维的碰撞，以组为单位的组内讨论或组间讨论很适用于这类任务。数学课程属于理科课程，课堂上往往需要学生聚焦思维集中注意力，且教学内容环环相扣，逻辑性较强，因此课程中的一些内容是不适用于分组讨论的。这就为数学课程的分组教学提出了一个难题，第二节所论述的具有数学课程特色的梯度分组方式在内容选取上给出了有别于其他公共基础课程的具体方案。第二，分组方式不同。分组方式需考虑组内学生对数学知识的掌握程度，力求先进带动后进，也需考虑学生的细心程度，希望在解题过程中，总有一位细心的同学能够带动其他同学改掉粗心做错题的不良习惯。第三，学生的学习态度不同为数学分组教学提出了难题。一些学生喜欢课堂上文字、图片和影音的视觉、听觉上的多角度冲击方式，也有些学生喜欢讨论身边的热点问题或生活上的问题，面对数学课程严肃且逻辑性较强的理论推导和练习题会产生一些抵抗情绪，这也是数学教师需要深刻思考的教学改革难题。

结语

综上所述，以数学课程为特色的梯度分组教学模式整体提高了学生的学习兴趣，同时也为略显枯燥的理论课程增添了新的活力，真正使课堂活起来，体现了以学生为中心的教学理念，在提高学生数学水平的同时，也增强了学生们团队协作意识。但教学改革是一个长期的持续改进的实践过程，数学课程的分组教学也会存在不完美的地方，因此，需要教师在长期的教学实践中反复摸索，认清其发展规律，不断总结优点、改正缺点，使分组教学模式更立体化，更适应现代高等教育的发展。

参考文献：

［1］党庆一，代鸿，梁艳华.高等数学教学运用分组教学模式的探讨［J］.高等教育，2016（12）：78.

［2］牛英春.高等数学教学中的分组教学［J］.智库时代，2018（45）：214219.

［3］方连花，范德芝，林伟华.应用型本科院校高等数学“启发—分组教学法”的实践与探索［J］.宁德师范学院学报（自然科学版），2020，32（02）：209213.

［4］赵跃，李迎.应用型本科高等数学教学改革的初步探究［J］.时代金融，2016（20）：179.

作者简介：刘晶晶（1988— ），女，汉族，辽宁铁岭人，硕士研究生，副教授，研究方向：智能计算、数学教学方法等。