分类讨论思想在初中数学解题中的应用

朱彦兵

摘 要：等腰三角形在初中数学学习中占据十分重要的地位，常常与多个问题相关联，性质灵活多样，且顶点、角、腰和底边之间都存在极强的不确定因素.鉴于此，必须要融入分类讨论思想，引导学生在讨论中避免漏解的现象，真正提升学生的解题正确率.本论文就以此切入，结合常见考试题目，对分类讨论思想的具体应用进行了详细地探究，具备极强的参考价值.

关键词：初中数学；等腰三角形；分类讨论；解题

结合学习经验可知，每一个数学结论都存在一个或者若干个成立的前提条件，每一种解决方法也有相应的适用范围.在数学解题中，有些问题往往存在多个结论，必须要将其划分为若干种情况，并随即按照不同的情况进行探究、解答.这种解题方法在数学解题中尤为常见，即：分类讨论思想；等腰三角形在初中数学学习中占据十分重要的地位，同时也是考查的热点.但由于等腰三角形性质灵活多样，且三角形的顶点、角、底边和腰之间都存在极强的不确定性，致使学生在解题中，频频出现漏解的现象，严重影响了学生的解题效率.鉴于此，在加强等腰三角形解题教学时，就必须要融入分类讨论的思想，引导学生在分类讨论中，规避日常解题中常常出现的错误现象.

1 分类讨论思想在等腰三角形解题中应用

1.1 在“等腰三角形边”中的应用

在等腰三角形的一些题目中，常常给出了等腰三角形的两条边长，但却并未明确指出哪条边是三角形的腰，哪条边是三角形的底边.在这种情况下，如果学生想当然将某一边作为腰长，或者将某一边作为底边长，就会导致解题时出现错误.鉴于此，必须要充分借助分类讨论思想展开讨论，并在此基础上分情况作答.

例1 已知等腰三角形的底边长和腰长是方程x2-6x+8=0的两个根.那么，这一等腰三角形的周长是多少？

解析：这一问题将等腰三角形和二元一次方程进行了结合，难度系数比较低.但是学生在解答的时候，常常出现漏解的现象.根据二元一次方程解答得知，两个根分别为x1=2，x2=4，但究竟哪个是腰长，哪个是底边长并未明确给出来，则必须要展开分类讨论：（1） 当底边是2，腰长为4时，此时等腰三角形的边长恰恰是4、4、2，符合三角形三条边之间的关系定理，因此得出其周长为4+4+2=10；（2） 当底边是4，腰长为2时，此时等腰三角形的边长恰恰是2、2、4，不符合三角形三条边关系定理，无法构成三角形.因此，这种情况应舍取.由此可见，在这一道数学题目中，学生解出方程两个根之后，必须要基于题目的内容展开分类讨论，并结合等腰三角形的性质，才能真正完成题目的解答.

1.2 在“等腰三角形角分类”中应用

这一类型的题目与“等腰三角形边”同样常见，在题目中常常只给出一个角的度数，但该角究竟是等腰三角形的底角还是顶角并未明确说明.在这种情况下，学生常常将自己算出来的答案，想当然地视为顶角，或者底角，致使学生解答出来的答案不够全面.

例2 已知三角形ABC中，∠A为40°.当∠B是多少度的时候，该三角形是等腰三角形？

解析：这一道题目难度系数非常小，但却是学生失分最严重的题目.在这一题目中，只给出了∠A的度数，但该角究竟是三角形的顶角，还是三角形的底角并未直接说明.鉴于此，必须要融入分类讨论的思想：（1） 当∠A是顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则∠B=∠C=（180°-∠A）÷2=70°；（2） 当∠B是顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则∠A=∠C=40°，因此，∠B=100°；（3） 当∠C是顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则∠B=∠A=40°.可见，在解答这一类题目时，唯有融入分类討论的思想，才能避免漏解的现象［1］.

1.3 在“等腰三角形高”中应用

三角形的高通常是由三角形的形状所决定的.对于等腰三角形来说，当顶角是锐角的时候，三角形腰上的高则在三角形内部；当等腰三角形的顶角为钝角的时候，三角形腰上的高则处于三角形之外.鉴于此，在对这一类问题进行解答时，必须要融入分类讨论思想进行解答.

例3 已知等腰△ABC，AB=AC，BD为三角形腰AC边长的高.如果高BD与另外一个腰的夹角为50°，那么等腰△ABC的底角为多少度？

解析：学生受到惯性思维的影响，在解决这一问题时，常常会作出一个顶角为锐角的等腰三角形（如图1所示），并未考虑顶角为钝角的情况（如图2所示）.但是符合题意的却存在两种情况，必须要展开分类讨论：（1） 如图1所示，当顶角为锐角时，根据题意得知∠ABD=50°，BD⊥AC，由此得出∠A=40°，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°；（2） 如图2所示，当等腰△ABC顶角为钝角的时候，根据题意得知∠ABD=50°，BD⊥AC，由于AC腰上的高BD位于三角形之外，得出：∠BAC=140°；又AB=AC，∴∠ABC=∠C=20°.由此可见，在对这一类问题的解答中，必须要摆脱定式思维的束缚，避免人为将等腰三角形设定为锐角等腰三角形，必须要结合题目的条件融入分类讨论的思想，使得学生在分类讨论中，对该题目作出全面的解答［2］.

1.4 在“等腰三角形垂直平分线”中应用

在等腰三角形类型题目解答中，由于其性质比较多，涉及的知识点也非常多.在诸多知识点中，三角形的垂直平分线常常是考查的重点，同时也是易错点.尤其是在等腰三角形中，受到顶角大小的影响，一条腰上的平分线与另外一条腰的交点常常存在两种不同的情况，唯有融入分类讨论的思想，方能保障解题的正确性.

例4 已知等腰△ABC，AB=AC，且AB腰上垂直平分线与AB、AC分别相交于D、E点，且垂直平分线与AC腰所夹角的锐角为40°.求等腰三角形的底角为多少？

解析：在对这一问题进行解答的时候，由于题目中并未给出等腰三角形顶角的度数，致使其存在两种可能（如图3、4所示）.因此，必须要展开分类讨论：（1） 当等腰△ABC顶角为锐角的时候，AB腰上垂直平分线与另外一腰相交于E点，且∠AED=40°.因此，根据题意得知∠A=50°，∴等腰三角形的底角为65°；（2） 当等腰△ABC顶角为钝角的时候，AB腰上垂直平分线与另外一腰相交于延长线E点，且∠AED=40°.因此，根据题意得知∠A=130°，∴等腰三角形的底角为25°.

因此，在对这一问题进行解答时，唯有融入分类讨论的思想，结合顶角大小进行分类，才能在解题的时候，避免漏缺的现象［3］.

1.5 在“等腰三角形存在性”中应用

在初中数学解题中，判定三角形是否为等腰三角形的题目比较常见，同时该题目也存在极强的融合性，具备一定的难度.按照常规的解题思路，学生在判断等腰三角形时，需要对三角形的两条边、两个角进行判断，或者基于“三线合一”的逆定理展开判定.但是学生在解决这一类题目时，由于题目中并未给出到底是哪两条边或者哪两个角相等，学生必须要融入分类讨论思想，才能完成该题目的高效解答.

例5 如图5所示，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，D、E分别是△ABC边上的两个动点，且不与三角形的顶点相重合.如果DE∥BC，则以DE为边长，在△ABC内部作一个正方形DEFG，若△BDG为等腰三角形，那么AD的长度为多少？

解析：这一道题目难度系数相对比较高，将三角形、正方形融合到一起，具备一定的综合性.同时，结合题意，在解答的时候，可采用逆推的方式，要想△BDG为等腰三角形，该三角形中必然要存在两个相等的边.但是结合题目中所给的条件，难以确定出究竟是哪两条边相等.鉴于此，必须要融入分类讨论思想，才能对这一题目进行全面、正确地解答，即：当BD=DG；当BG=DG；当BD=BG.

2 分类讨论思想在等腰三角形解题中应用价值总结

在初中数学学习中，分类讨论思想的运用尤为常见，它不仅仅是一种重要的数学思想，也是一种常见的数学解题手段.具体来说，分类讨论思想就是在解答数学问题之前，对所要解决的问题进行仔细地观察和分析，如果无法借助统一的方式进行解答，就必须要采用分类讨论的方式，对解决的问题进行划分，对其各个击破.因此，从这一角度上来说，分类讨论思想属于“化整为零”，各个击破之后，再“积零为整”.

在等腰三角形的相关题目中，除了运用常规的思维进行解答，还应认真观察图形，及时融入分类讨论思想.经过课堂教学实践证明，将这一思想融入到等腰三角形解题中，不仅提升了初中数学解题效率和准确性，也在很大程度上培养和发展了学生的数学综合素养.同时，分类思想的教学也有助于促使学生形成一定的数学运用能力.分类讨論属于一种非常有效的数学思想，将其应用到等腰三角形解题中，学生可通过定理推演求解、系统分析等，也实现化繁为简，并借助形象的知识完成抽象概念的理解，在一定程度上发展了学生的数学运用能力；再者，学生在分类讨论的过程中，思维也随之发展，更加条理化.同时，在分类讨论的过程中，学生也逐渐形成了系统化的知识体系，形成了一定的总结、概括和分析能力，真正落实了学科素养下的要求.

3 结束语

等腰三角形是初中数学学习的重难点，也是学生失分率比较高的一类题目.鉴于等腰三角形题目类型的特点，教师在引导学生进行解题的时候，必须要跳出传统的“题海战术”模式，不仅仅要引导学生运用常规的解题思路，还应在必要时融入分类讨论思想，使其在全方位的分析和思考中，完成题目的全面解答.

参考文献：

［1］ 田雯.利用分类讨论思想研究二次函数与等腰三角形结合问题［J］.读写算，2022（11）：154156.

［2］ 荣慧英.提升初中生数学学习深度的研究——以“等腰三角形”为例［J］.数学教学通讯，2020（20）：1215+21.

［3］ 雷贵珍.分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究［J］.考试周刊，2019（A5）：8182.

［4］ 郭源源.巧构“010”分类 妙用“轨迹法”解题——谈两个顶点固定的等腰三角形分类问题［J］.中学数学教学，2019（5）：5255.

［5］ 董文峰.分类讨论思想在数学解题中的应用——以二次函数中的图形存在性问题为例［J］.数学之友，2023，37（5）：2830+34.