中考微专题“根的判别式”的教学与思考

李珺

摘 要：中考试卷是“两考合一”，既有毕业功能又要承担高中升学招考的区分选拔功能，有些较难题隐含着考查一些不太常规的最值分析，比如一类分式的最值分析问题，学生如果能将这类问题巧妙转化为一元二次方程，进一步运用方程一定有实数根、根的判别式为非负数，则可顺利获得问题进展.

关键词：中考微专题；根的判别式；压轴题

初中阶段一次函数、二次函数或反比例函数的最值分析往往要结合自变量的取值范围、函数的增减性来进行，而更多代数式最值的讨论则是高中阶段研究的重点.然而，有些简单的分式最值分析偶尔也会散见在一些地区的中考较难题的求解步骤中，比如一类分式最值问题，可以将分式转化为一元二次方程，然后运用“根的判别式”进行分析，解法的每一步变形依据都在初中阶段找到原型，只是这种解题策略在过去的各地中考试题中不太多见.然而，笔者在研习2022年江苏各地级市中考试卷时发现，扬州、徐州两地中考试卷的压轴题的最后一问都可以运用“根的判别式”法解决，基于上述研习心得，笔者构思了一节中考微专题“根的判别式”教学，以期为教育工作者提供参考.

教学环节（四） 课堂小结

小结问题1：通过本专题的学习，你对一元二次方程的根判别式有了哪些新的认识和理解？可举例说说.

小结问题2：本专题的例2、例3求解过程中，由一元二次方程根的判别式得到的参数k的取值范围，并不是“原问题”中的取值范围，你是如何理解的？

小结问题3：本专题的有些问题，开始“没有”一元二次方程，后来经过转化整理出一元二次方程，从而可以运用根的判别式来分析某个参数的取值范围，你能积累怎样的解题经验？

2 关于中考微专题的教学思考

2.1 中考微专题需要教师善于解题研究

不可否认，绝大多数的数学教师都是热爱解题的，但是“善于解题”“善于解题研究”的教师人数却要大打折扣，原因在于教师的解题研究应该是更加特殊、更显示专业方向.具体的说，就是教师的解题研究主要应该服务于教学.比如，研究某道题的一题多解是必要的，但不需要“一题滥解”，某道题可能两三种解法对于接下来要开展的解题教学就足够了，那么就围绕这几种解法进行必要的教学设计；再如，像上文关注的两地的中考试卷的最后一问虽然形式上各不相同，但是从解法策略上可以归到一类——可以运用根的判别式求解，则可以将它们收集、整理起来，同类解题方法积累多了，可以作为一个微专题开展教学.

2.2 中考微专题围绕教学主线渐次展开

开展中考微专题教学时，要先明确教学主线（或教学目标），然后将教师之前研究试题挑选出来的“形异质同”问题有序组织起来，顺便指出，有研究者指出微专题教学的学材选编要“形散神聚”，说的也是这个道理.对于较难问题不宜在开课阶段直接出示，可以先安排必要的铺垫式问题，像上文提供的“例1”及变式，就是铺垫式问题的设计立意.在这些问题的训练、启示之下，学生继续研究后续较难题时，能找到转化和突破的方向，不但能顺利解决问题，还能学会面对难题今后如何转化和突围，并增强解题信心.

2.3 中考微專题要预设课堂小结的问题

中考微专题教学主要是解题教学，而且教学进程的“中、后半段”都是围绕较难题进行的，课堂最后阶段一定要留出必要的（5分钟左右）时间进行课堂小结，教师在课前可针对本课学习主题、较难题解法中的关键步骤、深层结构、思想方法等，进行必要的课堂小结的预设，然后让学生在小结问题的引导之下进行解后回顾反思，以加深学生对这类问题的理解.当然，除了课前预设的小结问题之外，如果在教学过程中一些“生成性资源”（如学生的精彩解法、典型错解等）也应该在课堂小结时进行评析与回顾，这也是教师课堂驾驭能力的体现.