从直线型轨迹最值问题谈图形构造

陈宏亮

摘 要：近年来最值问题成为中考复习中的热点、难点，2022年南通中考25题第三问的直线型轨迹的最值问题全面考查了学生的思维能力与计算能力，轨迹处理的多样性决定了解决途径的多样化，不同的思考方式决定了不同的处理方式.笔者在教学时尝试以大单元微专题的教学模式，训练学生以“图形构造”的方式进行思考，进而训练学生的高阶逻辑思维能力，以切实发展学生的核心素养，使学生真正掌握最值问题的能力.

关键词：中考复习；大单元教学；直线型轨迹；最值问题

中考几何压轴题以高思维力、高灵活度常使学生望而却步，因此几何压轴题的讲评过程是教学活动中较为复杂的思维活动的集中体现，对教师的课堂教学活动设计要求较高.问题中的辅助线添加更是摆在学生面前的一道坎.2022年南通中考以轨迹最值问题作为压轴问题，该问题的表述简洁，但是方法多样、思维灵活，极具挑战性.笔者在大单元中考复习中以“直线型最值问题的图形构造”为主线进行微专题教学，尝试从代数、几何两方面阐释最值问题的常规解决途径，使学生真正能从解决问题的角度去思考最值问题中图形构造的来路以及解题出路.

1 试题呈现

关于轨迹的确定还有其他解决方法，再过点D作轨迹的垂线段即可，本文全部利用三角函数计算垂线段长度，还可以用相似，或建立直角坐标系后利用点到直线距离公式等方法求解.

3 教学建议

压轴题的解决方式具有极强的创造性与关联性，问题的分析既要有思维的发散也要有思维的发展.压轴题讲评时，笔者尝试从条件入手归纳直线型轨迹解决的常用手段，如定角型直线轨迹、定距型直线轨迹、两点型直线轨迹、瓜豆型直线轨迹、放缩型直线轨迹以及函数最值构造等，在进行微专题研究时，课堂教学时需要引导孩子从恰当的条件入手进行恰当的图形构造.

3.1 图形含参代数构造

原则上大部分几何题都可代数化，而代数化后可能会需要进行复杂的计算.所谓代数化是通常借助特殊条件把问题中的角、线坐标化，然后借助坐标解决几何问题.教学难点在于点的坐标化，教学中建议教师详细体现计算过程，这样的做法有助于学生观察模仿.

3.2 图形残缺补全构造

补全构造需要在特殊的图形背景下进行整体构造，如南通中考2021年18题，采用此法就较为简便.教学难度在于图形的还原，教学中建议教师将部分图形与完整原图形对比演示，并引导学生思考部分图形与原有图形的思维方式、问题解决方式之间的异同.

3.3 特殊條件联想构造

联想构造需要借助问题中的特殊条件进行构造，如中点、角平分线、等腰三角形等等.教学难点在于相关图形的构造，这需要学生有一定的经验积累，如中点的处理、角的处理等.此外还有一个难点，由于问题条件多，以哪个条件为切入口进行分析？这也需要学生进行选择.教学中，建议教师在典型题添加辅助线后及时归纳、总结辅助线的添加方式，同时还应引导学生学会快速选择条件作为思维的起点.

3.4 模型适用基本构造

有些特殊条件与一些几何模型的条件重合，如旋转全等或相似模型、一线三等角模型中的角度相等，线段比值，直线垂直等.教学难度在于模型适用性的发掘，教学中建议教师需要在一些与模型相关的问题中，归纳总结出模型使用的特殊条件.

4 教学思考

在几何教学过程中，教师不能仅仅只分析问题、呈现解题过程，还要引导学生发掘几何条件，让学生思考如何处理图形.通常，单一的题型其理解方式也呈现出多样化，要求学生以较广的视野、较高的思维理解问题，因此以大单元微专题的形式总结图形构造的来路，发掘解决问题的出路，有利于学生的学习，同时也能帮助学生站在思维的最高点，享受提升数学核心素养后带来的高阶思维的优越性.