突出建模过程 培养模型意识

洪静

摘 要：在数学解题中发现，学生常因模型意识不强、对模型理解不深而出现“懂而不会”的情况.为了培养学生的模型意识，提高学生的建模能力，在教学中应带领学生经历数学模型的“形成—建立—求解”的全过程，以此帮助学生认识数学的本质，提高学生解决实际问题的能力，提升学生数学素养.

关键词：模型意识；建模能力；数学素养

1 提出问题

例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1） 若E為边OA边上的动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2） 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

例1为某校的模拟考试题，从得分上来看，问题（1）的正确率大约是60%，而问题（2）的正确率不到5%.问题（1）是一个典型的“将军饮马”的变式问题，此类问题在教学中重点讲解并练习过，故得分率较高.而问题（2）其本质与问题（1）相同，但是因为问题的背景发生了变化，学生找不到原型可以模仿，为此正确率不高.

2 分析问题

那么造成问题（2）失分过高的根源到底是什么呢？通过调研发现，学生对于此类的“最短路径”问题缺乏有效的方法，因此问题的背景略有变化，学生就表现得束手无策.

在实际教学中，受“讲授式”教学模式的影响，学生对“两点之间线段最短”这一模型并没有理解透彻，所以在解题时未能通过有效的图形变换构造“两点之间线段最短”这一基本模型，故在解题时受阻.

3 改进策略

基于以上分析，为了帮助学生建构“两点之间线段最短”这一基本模型，教师引导学生从不同背景“最短路径问题”的解决中提炼出解决问题的通法，通过循序渐进的引导，帮助学生认识模型、理解模型、应用模型.在具体教学中，笔者以学生实际学情为出发点，通过专题教学引导学生运用图形变换的观点去审视图形的构成，从而通过图形的变换，将问题转化为熟悉的模型，以此掌握模型的本质，提高学生应用模型解决问题的能力［1］.

3.1 明晰“两点之间线段最短”模型

例2 如图2，已知点A，B分别代表两个村庄，直线m表示小河，现欲在河边选一点P修个抽水站，向A，B两个村庄修建水渠，问点P选在哪里可以使水渠的总长最短？

【设计意图】让学生明晰利用“两点之间线段最短”这一基本模型是解决此类问题的基本方法，从而为接下来的问题解决做铺垫.

3.2 利用轴对称变换构造模型

例3 如图3，已知点A，B分别代表两个村庄，直线m表示小河，现欲在河边选一点P修个抽水站，向A，B两个村庄修建水渠，问点P选在哪里可以使水渠的总长最短？

问题1：请给出你的设计方案并说明理由；

问题2：根据例2，说一说为什么要用轴对称的方法解决问题呢？

例4 如图4，点A为某牧民家，他每天早上先要赶着牛羊去小河边喝水（m表示小河），然后再将牛羊赶到草地吃草（n表示草地），请问他怎么走可以确保行驶的总路程最短？请画出路线图，并说明理由.

【设计意图】在学习过程中发现，大多学生知道如何设计方案，但是却不知道为什么这样设计，可见学生在解决问题时还停留于简单的模仿阶段，并没有认清问题的本质.基于此，在教学过程中，教师可以安排自主探究、互动交流等环节，从而通过交流掌握学生对这一模型的理解情况，以便教师通过有效地引导让学生知道通过对称轴来转化的真正目的，从而让学生真正理解、掌握并可以应用模型解决问题［2］.例3是这一教学模块的核心，只有让学生理解了、学会了，才能继续后面模块的探究，因此在此环节教师要给学生充足的时间进行互动交流，总结反思，确保每个学生都能真懂真会.例4实则例2的变形，是在原有基础上的进一步拓展和延伸，其目的是通过巧妙的变化让学生熟练掌握模型，并在变化中理解不变的数学模型.

3.3 利用平移变换构造模型

例5 如图5，点A，B表示一条河两边的两个村庄，现要在小河上修建一座垂直于河岸的桥CD，问桥CD修建在何处从B村到A村路程B-D-C-A最短？（假定河的两岸是平行直线）

为了便于学生理解，在给出题目后，教师设计了如下问题链：

（1） 从B村到A村的路程由哪几条线段组成？

（2） 决定路程长短的是哪些线段？

（3） 点D选在何处BD+CA的值最小？解决这个问题可以用轴对称变换吗？

（4） 你能用其他图形变换将BD、CA转化为首尾相接的形式吗？

（5） 请给出你的详解解题思路，并说明理由.

【设计意图】借助问题链逐渐寻找解决问题的突破口.根据已知可知CD为定值，为此影响路径长短的线段为BD、CA，因此问题就转化为点D在何处使BD+CA取最小值.基于此，教师专门设计了问题（4），引导学生通过平移构造基本模型.从点D出发，每走1m，两河岸就靠近1m，当从D走到C时，相当于两河岸重合，这样问题逐渐转化为学生熟悉的模型.不过，根据平移的性质，此时B地也向河岸a平移了DC的距离到达点B′的位置.这样问题可以转化为：如图6，在直线a上找一点C，使得AC+B′C最小.连接AB′交直线a与点C，过点C作CD⊥直线b于点D，则CD就是桥的位置.

3.4 利用旋转变换构造模型

例6 如图7，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM.

（1） 求证：△AMB≌△ENB；

（2） 当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由.

问题（1）证明过程略，在解决问题（2）时需要思考这样几个问题：

问题1：若想AM+BM+CM的最小值，如何把AM、BM、CM这三条线段连接成一条线段呢？

问题2：根据△AMB≌△ENB，可以得到哪些有价值的信息呢？

（引导学生将AM转化为EN）

问题3：由“将BM绕点B逆時针旋转60°得到BN”这一条件能够得到什么呢？

（连接MN，易证△BMN是等边三角形，由此可以将BM转化为线段MN）

【设计意图】前面已经学习了利用轴对称变换和平移变换构造基本模型，在此基础上引导学生进一步探究基本模型，通过旋转来构造基本模型，以此通过不同变换解决同一问题（线段之和最短的问题），让学生进一步领悟基本模型在解决问题的价值，深化对基本模型的理解.

3.5 利用多种变换构造模型

有了前面的探究和铺垫，现在回归至原始问题，即回归例1.再次解题时，教师先让学生独立思考，尝试通过图形变换寻找解决问题的突破.从学生反馈来看，经历了前面的深层探究，现在已经有一大半的学生可以独立完成.不过因为本题第（2）问中涉及到两种变换，即平移和翻折，所以对于一些基本较弱的学生来讲仍具有一定的挑战性，为此在此阶段教师可以引导学生进行互动交流，通过分组讨论的方式寻找有效的解题路径.在互动交流中，教师了解了学生的实际困难，创设如下问题帮助学生突破难点：

问题1：在四边形CDEF中，哪几条线段定值呢？问题可以如何转化呢？

问题2：问题（2）中线段DE和CF的位置与问题（1）中线段DE和CE的位置有何不同呢？

问题3：通过何种图形变换可以将线段DE和CF的端点E和F重合呢？

【设计意图】对比问题（1），引导学生通过观察发现两者的区别在于端点是否重合，由此引导学生通过平移变换构造基本模型，即将问题（2）逐渐转化为问题（1），根据轴对称变换顺利解决问题.在解题时，既有教师的耐心引导，又有同学们的激烈争论，让学生进一步领悟数学的本质，深化对模型的理解.同时通过两种图形的变换，提高了学生分析和解决问题的能力.

4 教学反思

在初中数学教学中渗透模型思想能帮助学生认识数学的本质，提高学生解决实际问题的能力，对发展学生的思维能力等方面有着重要的价值.因此，在数学教学中，教师应带领学生经历模型建构、模型深化的过程，并通过具体应用提高学生的模型意识，提高学生建模能力，以此提高学生数学综合应用能力.

本节教学中，通过解题反馈发现问题（2）之所以得分低下，其主要原因就是学生没有将“两点之间线段最短”这一模型学懂、学透，这样在解决简单的问题时，学生可以通过模仿来解决，但是在面对复杂问题时就显得束手无策.因此，为了帮助学生突破这一难关，教师借助具体案例引导学生清晰地认识模型，并通过图形变换逐渐认清数学的本质，让学生体会不同变换方法解决问题中的相同之处，从而在变中领悟不变的原理，激发学生学习热情，提高学生数学素养.

总之，在教学中，不要急于就题论题式的讲解，要重视错因的分析，善于通过循序渐进地引导让学生将知识学懂学会.另外，在解题教学中，教师应重视模型思想的教学，突出建模过程，引导学生运用数学模型解决问题，以此提高学生解决实际问题的能力.

参考文献：

［1］ 陈德前.培养学生模型思想的实践与思考［J］.中学数学教学参考：中旬，2014（1）：124127.

［2］ 闫如明，吕吉华.对初中数学建模教学的几点思考——以解直角三角形为例［J］.山东教育，2021（3）：5152.

［3］ 周静君.课堂教学中培养学生主动会学策略探究［J］.数理化学习：教研版，2018（2）：2728.